中考数学复习知识点专题讲解-分类剖析半角旋转问题

1、中考数学复习知识点专题讲解分类剖析半角旋转问题本文所述“半角旋转问题”是指，A角的大小和位置固定时，B角的顶点与A角的 顶点重合，且数量是A角的一半，当B角绕公共顶点旋转时，所产生的儿何问题.这些数 学题的解决能够考察学生对全等、相似等基本知识技能的掌握，以及对转化、数形结合 等数学思想的应用，所以半角旋转问题成为2016年中考中的热点.笔者撷取部分题 分类作出分析，供各位读者参考.一、45。角在90。角内”的旋转例1如图1,正方形ABCD的对角线交于O,点M、N分别为BC、CD边上的 动点(不与点3、C、D重合)，AM . AN分别交于点E、F ,且乙MAN = 45。始终不变.(1)求证:

2、AFAAf一亘2，1 / 6(2)求证:AF丄加;(3)请探索:在ZM4N旋转过程中，当Z3AM等于多少度时，ZFMN = ABAM ,写出 你的探索结论，并加以说明.BM C图1分析 由ZMAN = 45和 ZC4D = 45 、 可得 ZM4C = ZNAD ,继而可证LMAC NF AD , 所 以 V =, 再根据 AMAN = 45 , 可 得AM AC 2sin AMAN =,进而可得 AF 丄加，ZMAC = ZNAD.2 AMDNr)N DN NF由于tanZNAD = ,)CAD = AB,而且 AFBfNFD,所以=， ADAD AB AFFN乂因为44加为等腰直角三角形，

3、所以AF = MF,所以tanZNAD =MFFN在 RtHMFN 中，tan AFMN =，所以 ZMAC = ZFMN,故ZFM7V + ZB4M = 45。， MF所以当 ZM4C = ZBAM = 22.5 时，ZFMN = ZBAM = 22.5.注 本题首先要观察ZM4N在圉绕A点旋转过程中两组始终相等的角，然后结合待 证结论和题忖隐含的条件ZADB = ZACM证明M4CA FAD,而且无论M、N怎样 运动，aMAC和龙4Q始终保持相似.这种相似也可称之为动态相似，动态相似是半角 旋转现象的一个突出的特点，也是在解决这类问题中表现出的通性通法通性通法是有效 解题教学的根本保证.例

4、2已知正方形ABCD的边长为4, 一个以点A为顶点的45。角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F ,连结EF,设CE = a, CF=b.(1) 如图2,当ZEAF被对角线AC平分时，求、方的值；(2) 当AEF是直角三角形时，借助图3求、b的值；5/6(3) 如图4,探萦乙EAF绕点A旋转的过程中、b满足的关系式，并说明理由.分析 当ZEAF被对角线AC平分时，可证CE = CF = AC = 4迈.当*EF是直角三 角形时，可分为两种情况:第一种ZAEF = 90。，氐FCE三氐EBA ,可得a = 4, b = 8;第二 种ZAFE = 90, AECF =FDA

5、,可得 = 8, b = 4.而在ZEAF绕点4旋转的过程中， 都冇ACEZFC4,=即 “&,故可得“/” = 32.CF AC b 4 迈注 例2是在例1基础上，将M、N两点的活动范围扩大为在射线BC、CD上运 动得到的.本题的解题突破口还是要找到半角旋转现象中始终相等的角，与例1不同的 是，解决第(2)问用到全等而非形似，是增加条件AEF是直角三角形时”的特殊情况. 而解决第(3)问则保持了与解决例1时相同的方法一一动态相似.半角旋转作为一种广义 数学结构、数学模型具有内部的等价性、关联性、差异性，研究其等价性和关联性有助 于学生快速寻找解题思路研究差异性，有助于学生迅速调整解题思路，避

6、免进人思维 定式，所以对半角旋转的精致研究不可或缺.二、60。角在120。角内的旋转例 3 如图 5.菱形 ABCD,已知 ABAD = 20, ZEGF = 60 ,ZEGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交BC、CD于点E、F.C图5图6(1) 如图6,当顶点G运动到与A点重合时，求证:C + CF = BC;(2) 知识探究:如图7,当顶点G运动到AC中点时，探究EC、CF与3C的数量关系;图8请直接写出线段EC、CF与3C的数量关系(不需写出证明过程);(3) 问题解决:如图&已知菱形边长为8, BG = 7 , CF = 1.2,当/2时，求EC的长度.分析 当顶点G运动

7、到与A点重合时，可证AACE =ADF ,继而可得DF = CE,所以EC + CF = BC;当顶点G运动到AC中点时满足EC + CF = -BC,其证明过程如下, 2过G 作 GH/AB 交 BC于 H ,所以 CH = -BC.由于 GC = GH, ZGHC = ZGCF = 60 , 2ZEGH = ZCGF ,所以 GHE = AGCF ,所以 EC + CF = CH =-BC.仿照此证法可得， 2在定点G的运动过程中，若 =/,则有EC + CF = -BC.当菱形边长为8, BG = 7, CG2CF = 12,且/2时，过B作3M丄AC，垂足为M ,根据勾股定理，可求GM

8、 = 1, GC = 3,又 EC = 1.8.注本题中半角旋转所产生的是动态全等，而动态相似和动态全等产生的区别在于 半角旋转所在的具体环境”不同，也即半角旋转所附着的特殊图形的性质不一样，这是半 角旋转差异性的具体表现.在解决问题时要及时察觉这些差异性，并山此而思考在解题方 法上应该继续坚持什么，调整什么，这样才能发挥半角旋转模型的现实意义和数学价值.例4 数学活动课上，某学习小组对有一内角为120。的平行四边形ABCD( ZBAD = 120)进行探究将一块含&0。的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60。角的顶点始终与点C重合，较短的直角边分别交线段AB. AQ于

9、点E、F (不包括线段端点).(1)初步尝试如图9,若=(2)类比发现如图10, A)= 2AB过C作CH丄AD于点求证:A = 2阳;(3)深入探究如图 11,若=探究得彎甞的值为常数,，则匸.分析 若AD = AB ,四边形ABCD即为菱形，乂因ZBAD = 20Q ,所以ZBAC = AD = 6O , AC = CD , 乂因为 ZECF = ZECA + ZACF = 60 , 而ZACF + ZFCZ) = 6O,可得ZACE = ADCF就此可证 AACE = aDCF , AE = DF ,所以 AE + AF = AC .当= 时，过C作CH丄AD于点则可证ZACQ = 90

10、。.设 DH=b,则CD = 2b, CH = ,由 ZECF = ZC4 = 60,可证4/7 r 继而有= _, AD = 3AB,过C作CG丄AB,垂足为G,过C作GV丄4D垂 FH CH 2足为 N,设 DN=c，贝 ij)C = 2c, BC = 6c , NC = JJc.乂因 ZGCB = 30,所以 GB = 3c , GA = c , GC = 3 辰，根据勾股定理，# AC = y)GC2+AG2 =2y/lc , 乂 因为ZGC7V = ZGCF + ZNCF = 60 , ZECF = ZECG + ZGCF = 60。,所以 ZECG = ZFCN ,所 以 ECG FCN ,竺= =今住=3 . 所 以 EG = 3FN ,FN NC 辰AE + 3AF = EG-AG + 3AF = EG-AG + 3(AN-FN)=EG-AG+3AN3NFAF + 3AF 14c=3 AN -AG =3x5c-c = 14c, 所以/ =: = =- = J7 AC 2y/7c注 本题中通过控制特殊四边形一组临边比值的方式，让半角旋