【教育资料】圆的方程;空间两点的距离公式学习精品

1、教育资源 圆的方程；空间两点的距离公式 一 . 本周教学内容：圆的方程，空间两点的距离公 式 教学目的： 1. 理解并掌握圆的标准方程，会根据不同条件求得 圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练求出它的圆心和半 径; 能够运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题 ; 探索 并掌握圆的一般方程，会用待定系数法求圆的标准方程和一 般方程。 2. 能够根据给定直线、圆的方程，会用代数方法讨 论直线与圆的三种位置关系 ; 能够根据给定的圆的方程，判 断圆与圆的位置关系。 3. 掌握空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标找 相应的点，会写一些简单几何题的有关坐标 ; 掌握空间两点 的距离公式，会应用距离公式解

2、决有关问题。 二 . 重点、难点 重点： 1. 圆的标准方程以及会根据不同条件求得圆的标准 方程; 圆的一般方程和如何由圆的一般方程求圆的圆心坐标 和半径长，理解关于二元二次方程表示圆的条件。 2. 直线和圆的位置关系的判断和应用 ; 两圆位置关 系的判断。 3. 空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标 空间两点距离公式。 难点： 1. 圆的标准方程的探寻过程和对圆的一般方程的认 识。 2. 通过圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直 线与圆的位置关系 ; 通过两圆方程联立方程组的解来研究两 圆位置关系。 3. 确定点在空间直角坐标系中的坐标 ; 空间距离公 式的推导。 知识分析： （ 一

3、 ） 圆的标准方程 1. 圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点 的轨迹叫做圆。定点叫圆的圆心，定长叫做圆的半径。 2. 圆的标准方程：已知圆心为 （a ，b） ，半径为 r ， 则圆的方程为 ; 若点 M（x1，y1） 在圆内，则点到圆心的距离小于圆的 半径，即 （ 二 ） 圆的一般方程 任何一个圆的方程都可以写成下面的形式： 当）为圆心，以时，方程只有实数解）; 当 时，方程表示一个圆，方程叫做圆的一般方 程。 圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半 径，而一般方程突出了方程形式上的特点： (1) 0 和 1 的系数相同，且不 等于 0; (2) 没有 xy 这样的二次项。 以上

4、两点是二元二次方程 ; (2) 过圆 ; (3) 过圆 3. 直线与圆的位置关系中的三个基本问题 (1) 判定位置关系。方法是比较 d 与 r 的大小。 (2) 求切线方程。若已知切点 M(x0，y0) ，则切线方 程为 若已知切线上一点 N(x0，y0) ，则可设切线方程为 ( 四 ) 圆与圆的位置关系 1. 圆与圆的位置关系问题 判定两圆的位置关系的方法有二：第一种是代数法， 研究两圆的方程所组成的方程组的解的个数 ; 第二种是研究 两圆的圆心距与两圆半径之间的关系。第一种方法因涉及两 个二元二次方程组成的方程组，其解法一般较繁琐，故使用 较少，通常使用第二种方法，具体如下： 圆 的位置关

5、系，其中 当 时，两圆外离 ; 当 时，两圆外切 ; 当 时，两圆相交 ; 当 时，两圆内含 注意： 两圆的位置关系可表示在一条数轴上， 如图所 示： 两圆位置关系的问题同直线与圆的位置关系的问题 一样，一般要转化为距离间题来解决。另外，我们在解决有 关圆的问题时，应特别注意，圆的平面几何性质的应用。 2. 两圆相交问题 (1) 过两已知圆 即 ，表示过两圆的交点的直线 ( 当两圆是同心圆时， 此直线不存在 ) ，当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线 ; 当两圆相切时，此直线为两圆的公切线 ; 当两圆相离时，此 直线为与两圆连心线垂直的直线。 (2) 过直线与圆交点的圆系方程 设直线 相交，则

6、方程 l 与圆 C 的两个交点的圆系方 程。 ( 五 ) 空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点 0作原 点，过0点作三条两两垂直的数轴，通常用 x、y、z表示. 轴的方向通常这样选择：从 z 轴的正方向看， x 轴的正半轴 沿逆时针方向转 90 能与 y 轴的正半轴重合。这时，我 们在空间建立了一个直角坐标系O-xyz 。在这个过程中，三 条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础。 2. 点 P 的坐标 过点 P 作一个平面平行于平面 yOz（ 这样构造的平面 同样垂直于x轴）,这个平面与x轴的交点记为P,它在x轴 上的坐标为X,这个数x就叫做点P的

7、x坐标。你能试述点 P 的 y 坐标，点 P 的 z 坐标吗 ? 3. 坐标平面 每两条坐标轴分别确定的平面 yOz、xOz、xOy叫做坐 标平面。 4. 特殊点的坐标形式 xOy 平面是坐标形如 (x ， y， 0) 的点构成的点集， 其 丿、 中 x、 y 为任意实数 ; xOz 平面是坐标形如 (x ， 0， z) 的点构成的点集， 其 丿、 中 x、 z 为任意实数 ; yOz 平面是坐标形如 (0 ， y， z) 的点构成的点集， 其 丿、 中 y、 z 为任意实数 ; x 轴是坐标形如 （x ， 0， 0） 的点 构成的点集，其中 x 为任意实数 ; y 轴是坐标形如 （0 ， y

8、， 0） 的点构成的点集，其中 y 为任意实数 ; z 轴是坐标形如 （0 ，0， z） 的点构成的点集，其中 z 为任意实数。 5. 卦限 三个坐标平面把空间分为八部分， 每一部分称为一个 卦限。 在坐标平面 xOy 上方分别对应该坐标平面上四个象 限的卦限称为第I、第H、第川、第W卦限；在下方的卦限 称为第V、第W,第、第忸卦限。在每个卦限内点的坐标 各分量的符号是不变的。例如在第I卦限，三个坐标分量x、 y、z都为正数；在第H卦限，x为负数，y、z均为正数。 （ 六 ） 空间两点的距离公式 空间两点 A（x1， y1， z1） ， B（x2， y2， z2） 的距离公 式是 特别的，点

9、A（x ， y， z） 到原点的距离为 【典型例题】 例 1. 求满足下列条件的各圆的方程： （1）圆心在原点，半径是 3； （2）圆心在点 C（3， 4） ，半径是 ； （3） 因为圆与坐标轴相切，故圆心满足 ， 又圆心在直线 ， 解方程组 ，得： 所以圆心坐标为 （4 ， 4） ，或（1 ， -1） 于是可得半径 或 。 （5） 设圆心为 （a,-2a） 由题意，圆与直线 解得： a=1 所以所求圆的圆心为 （1 ，-2） ，半径为 故圆的方程为 ，则 解得 法二：因为圆过 A（5，2），B（3，-2） 两点，所以圆心 一定在线段 AB的垂直平分线上，线段 AB的垂直平分线方程 为 解得

10、所求圆的方程为 又圆 C 与 y 轴相切得 又圆心在直线 上， 圆心 C（a， b） 到直线 联立解方程组可得 或 将 A（2， -2） ， B（5， 3） ， C（3， -1） 三点的坐标代入圆 的方程 得 点评：一般来说， 由题意知道所求的圆经过几点且不 易得知圆心换半径时，常用一般式。 例 5. 已知圆 由 消去 y ，得 即 (1) 令 当 或 ，即 时，直线与圆相交 (3) 令 或 或 ，即 ， 或 时，即 即 ，即 即 时直线与圆相离 点评： 解决直线与圆的位置关系， 几何法比代数法简 单。 例 6. 已知直线 ，曲线 ，它们有两个公共点，求 b 的取值范围。 解析：法一，曲线 C

11、中，I和C有两个公共点，等价 于方程组 有两组不同解，又等价于 ，有两组不同解，消去 x 得 I 有两个公共点，等价方程有两个不等非负实数解 于是 解得 表示单位圆位于 x 轴及其上方的半圆，如图所 示。当I与C有两交点，此时b=1，记为 与半圆相切时，切 线记为 ; 当 与 之间时， 。 ， 解析：法一 解方程组 得交点坐标分别为 (0 ， 2)(-4 ， 0) 设所求圆心坐标为 （a ，-a） 则 解得 法二：同法一，得两已知圆的交点的坐标为（0 ，2） ， （-4 ， 0） 设所求的圆的方程为 解得 法三，设所求圆的方程为 因为这个圆的圆心在直线 上 所以 圆的方程为 1、点 （2 ，

12、0， 3）在空间直角坐标系中的 位置是在 （ ） A. y 轴上 B. xOy 平面上 C. xOz 平面上 D. 第一卦 限内 2、点 M（2，-3 ， 1）关于坐标原点的对称点是 （ ） A. （-2 ，3，-1） B. （-2， -3 ， -1） C. （2 ，-3 ， -1） D. （-2，3，1） 3、设点B是点A（2 , -3 , 5）关于xOy面的对称点， 则|AB|等于（） A. 10 B. D. 38 4、设有圆 M： ，点 P（2， 1），那么（ ） A.点P在直线I上，但在圆M上 C.点P在直线I上，也不在圆 M上 5、设M是圆 上的点，贝U M到直线 的最小距离是（）

13、A. 9 B. 8 C. 5 D. 2 6、方程 A. C. 7、过点 P（3， 0） 能有多少条直线与圆 A. 0 条 B. 1 条 C. 2 条 D. 1 条或 2 条 8、直线 被圆 A. B. 2 C. D. 9、直线 所截得线段的中点坐标是 （ ） A. D. 10 、若圆 关于直线 对称，那么直线 的方程 是（ ） A. B. C. D. 11、与两坐标轴都相切，且过点 （2 ， 1） 的圆的方程是 12、过点 （0 ， 0） ， （1 ， 0） ， （0 ， 2） 的圆的方程是 13、若实数 x ， y 满足 ，贝 ，贝 的最大值为 15、一圆过点 P（-4 ， 3） ，圆心在直线 相切，且和直 线 ，求该圆的方程。 【试题答案】 1 10: C A A A D D A C A D 11、 13、 14、 ， 依题意，得： 解得： 所以所求圆的方程为 16 、设此圆的方程为 ， 解得： 所以所求圆的方程是