高一数学必修二《圆与方程》知识点整理

1、高一数学必修二圆与方程知识点整理一、标准方程222x ay br1.a, b和半径 r求标准方程的方法关键是求出圆心待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材p119 例 2利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件方程形式圆心在原点x2y2r 2r 0x2y2a2b2a2b20过原点ab圆心在 x 轴上x2y2r 2r0a圆心在 y 轴上x2y2r 2r0b圆心在 x 轴上且过原点x2y2a2a0a圆心在 y 轴上且过原点x2y2b2b0b与

2、 x 轴相切x2y2b2b0ab与 y 轴相切x2y2a2a0ab与两坐标轴都相切x2y2a2ab0ab二、一般方程x2y2dx ey f 0 d 2e 24f 01. ax2by2cxy dx eyf0表示圆方程则ab0ab0c0c022d2e24af 0de4 f0aaa2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材p例 r 41223. d 2 e 2 4f 0 常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系d1.与半径 r 的大小关系判断方法：点到圆心的距离d r 点在圆内； d r点在圆上； d r点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点b ，圆上一动点p ，讨论 pb 的最值pb min

3、bnbcrpb maxbmbcr（2）圆内一点a ，圆上一动点p ，讨论 pa 的最值pa minan racpa maxamr ac思考：过此 a 点作最短的弦？（此弦垂直ac ）四、直线与圆的位置关系1.判断方法（ d 为圆心到直线的距离）（1）相离没有公共点0dr（2）相切只有一个公共点0d r（3）相交有两个公共点0dr这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.2.直线与圆相切（ 1）知识要点基本图形主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线 l 与圆 c 相切意味着什么？圆心 c 到直线 l 的距离 恰好等于半径r（2）常见题型求过定点的切线方程切线条数

4、点在圆外两条；点在圆上一条；点在圆内无求切线方程的方法及注意点i ）点在圆外如定点 p x0 , y0x2y222，圆：abr 2 ， x0 ay0 br2第一步：设切线l 方程 yyk xx00第二步：通过 dr k ，从而得到切线方程特别注意： 以上解题步骤仅对k 存在有效，当 k 不存在时，应补上千万不要漏了！如：过点 p 1,1作圆 x2y24x6 y120 的切线，求切线方程 .答案： 3x4 y10和 x1ii ）点在圆上1） 若点x0，y0在圆 x2y2r 2 上，则切线方程为 x0 x y0 y r 2会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.2） 若点x0，y0在圆 x22

5、ay br 2上，则切线方程为x0a x ay0b y b r 2碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析， 我们知道： 过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.222ap22求切线长：利用基本图形，apcprcp r求切点坐标：利用两个关系列出两个方程ac rkack ap13.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题垂径定理 及勾股定理常用弦长公式： l1k 2 x1x21 k 2x1 x224x1x2（暂作了解，无需掌握）（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内 .（3）关于点的个数

6、问题例：若圆 x2y 522 上有且仅有两个点到直线4 x3y 2 0 的距离为 1，则3r半径 r 的取值范围是 _.答案： 4, 64.直线与圆相离会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、对称问题1.xym1 x2mym0，关于直线x y 10，则实数 m的值为_.若圆222答案： 3（注意： m1时， d 2e 24f0 ，故舍去）变式：已知点 a 是圆 c : x2y2ax4y50 上任意一点， a 点关于直线 x2 y 1 0的对称点在圆 c 上，则实数 a _.2.圆 x12y32y0 对称的曲线方程是 _.1关于直线 x变式： 已知圆 c1 ： x2y22y2421与

7、圆 c2 ： x 241关于直线 l 对称，则直线 l的方程为 _.3.圆 x32y122, 3对称的曲线方程是 _.1关于点4.已知直线 l ： yxb 与圆 c ： x2y 21，问：是否存在实数b 使自 a 3,3 发出的光线被直线 l 反射后与圆 c 相切于点 b 24 ,7？若存在，求出b 的值；若不存在，试说明2525理由 .六、最值问题方法主要有三种： （ 1）数形结合；（ 2）代换；（ 3）参数方程1.x ，y满足方程x2y24x 1 0，求：已知实数（ 1） y 的最大值和最小值； 看作斜率x 5（ 2） y x 的最小值； 截距（线性规划）（ 3） x2 y2 的最大值和最

8、小值 .两点间的距离的平方2.已知aob 中， ob3 ， oa4 ， ab5 ，点 p 是aob 内切圆上一点， 求以 pa ，pb ， po 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.数形结合和参数方程两种方法均可！3.p x, y为圆xy 11上的任一点，欲使不等式x y c 0恒成立，则c 的取设22值范围是 _.答案： c21 （数形结合和参数方程两种方法均可！ ）七、圆的参数方程x2y2r 2r0xr cos，为参数yr sinx2yb2r2r0xar cosayb， 为参数r sin八、相关应用1.若直线 mx 2ny 40 （ m ， nr），始终平分圆 x2y24x 2y 4

9、0 的周长，则 m n 的取值范围是 _.2.已知圆 c ： x2y22x4y40 ，问：是否存在斜率为1 的直线 l ，使 l 被圆 c 截得的弦为 ab ，以 ab 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程，若不存在，说明理由.提示： x1 x2y1 y20或弦长公式 d1k2 x1x2 .答案： xy 1 0或 x y 4 03.已知圆 c ： x3221 ，点 a 0,1， b 0, 1，设 p 点是圆 c 上的动点，y4d pa22，求 d 的最值及对应的p 点坐标 .pb4.已知圆 c ： x2y2225 ，直线 l ： 2m1 xm 1 y 7m4 0（ m r ）1（1）

10、证明：不论 m 取什么值，直线l 与圆 c 均有两个交点；（2）求其中弦长最短的直线方程 .5.若直线 yxk 与曲线 x1y2恰有一个公共点，则k 的取值范围 .6.x2y2x6 ym0与直线x 2y30交于p，q两点，o为坐标原点，已知圆问：是否存在实数m ，使 opoq ，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由 .九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d 为圆心距）（1） dr1r2外离（ 2） d r1r2外切（3） rr2drr相交（ 4） drr2内切1121（5） dr1r2内含2.两圆公共弦所在直线方程圆 c1 ： x2y2d1 x e1 y f10 ，圆 c2 ： x2

11、y2d2 x e2 y f20 ，则 d1d2xe1e2yf1f20 为两相交圆公共弦方程 .补充说明：若 c1 与 c2 相切，则表示其中一条公切线方程；若 c1 与 c2 相离，则表示连心线的中垂线方程.3 圆系问题（1）过两圆 c1 ： x2y2d1xe1 yf10 和 c2 ： x2y2d 2 xe2 yf20 交点的圆系方程为 x2y2d1xe1 y f1x2y2d2 x e2 y f2 0 （1 ）说明： 1）上述圆系不包括c2 ； 2）当1 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（ 2 ） 过 直 线 ax byc 0 与 圆 x2y2dx ey f 0 交 点 的 圆 系 方

12、程 为x2y2dxeyfax byc0（ 3）有关圆系的简单应用（ 4）两圆公切线的条数问题相内切时，有一条公切线；相外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线；相离时，有四条公切线十、轨迹方程（ 1）定义法（圆的定义） ：略（ 2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式轨迹方程 .例：过圆 x2y21外一点 a 2, 0 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.2ap22分析： opoa（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动动点主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.例 1.如图，已知定点a 2,

13、 0 ，点 q 是圆 x2y21上的动点，aoq 的平分线交aq 于m ，当 q 点在圆上移动时，求动点m 的轨迹方程 .分析：角平分线定理和定比分点公式.例 2.已知圆 o ： x2y29 ，点 a3,0 ， b 、 c 是圆 o 上的两个动点，a 、 b 、 c 呈逆时针方向排列，且bac，求abc 的重心 g 的轨迹方程 .3法 1： q bac，bc 为定长且等于 3 33xxaxbxc3 xbxc33设 g x, y ，则yaybycybycy33取 bc 的中点为 xe3 , 3， ye33 , 32442222ye9l l （ 1）q oeceoc ， xe 224xexbxcxbxc2xex3 2xexe3x 3232，ybycybyc2 ye2 ye3yeyye23y222故由（ 1）得：法 2：（参数法）3x 33 y9x 1y21 x 0, 3, y3 , 1222422设 b 3cos, 3sin，由 boc 2bac2，则3c 3cos2, 3sin233设 g x, y，则3 3cos3cos2xaxbxc321cosl 1x33cos33sin3sin2yaybyc32sinsin2y33l l3, 4，由1 12 得：