成考高等数学二重点及解析

1、成考专升本高等数学（二）重点知识及解析（占130分左右） 第一章、函数、极限和连续（22分左右）第一节、函数（不单独考，了解即可）一、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成 的。例如：y In sin 2x是由y In u， u v2和v sin x这三个简单函数复合而成例如：y arctane3x是由y arctanu， u ev和v 3x这三个简单函数复合而成.该部分是后面求导的关键！二、基本初等函数：（1）常值函数：yc（ 2）幕函数：y x（3）指数函数：y ax（a 0,且a1)（4）对数函数：ylog ax( a 0,且a 1)（5）三角函数：ysin x， y

2、cosx， ytanx， y cotx， y secx，y cscx（6）反三角函数： y arcs in x， y arccosx， y arcta nx， y arccotx 其中：（正割函数）（余割函数）cosxsi nx三、初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算， 并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。他是高等数学的主要 研究对象！第二节、无穷小与无穷大 （有时选择题会单独考到，也是后面求极限的基 础）一、无穷小1、定义：以0为极限的量称为无穷小量。注意：（1） 一个变量否是无穷小量与他的自变量的变化趋势紧密相 关。（2）只有0能能作为无穷小的唯一常量，千万不能将无穷

3、小与 很小的常量混为一谈。例1： |极限lim x2 10,即当x 1时，变量x2 1是无穷小；但是当x 0时，x2 1就不是无穷小，因为此时他的极限值不为零。 所以表述无穷小时必须指明自变量的变化趋势。例2: |下例变量在给定的变化过程中为无穷小的是（）.1A.1 ( si n (x0)B、ex(x0) C、ln 12x 3x2 (x 0) D 2x 3xx 9E、1 cosx (x0)F、2x1(x 0)G1 2(x 1)H Sinx(x 0)x 1x答案：选C、E、F、H,因为上述选项页的极限值均为零！二、无穷大1、定义：当xX。（或x）时，f（x）无限地增大或无限减小，则称f（x）是当

4、x x （或x ）的无穷大。注意：（1）无穷大是变量，不能与 很大的常量混为一谈。（2）无限增大是正无穷大（），无限减小是负无穷大（）三、无穷小和无穷大的关系：若f（x）为无穷大，则 1为无穷小；若 f（x）f（x）为无穷小（f（x） 0），则丄为无穷大f （x）例如：|当x 2时，x2 4为无穷小，则亠为无穷大。x 4当x 时，2x 1为无穷大，则 丄为无穷小。2x 1第三节、极限的运算方法 （重中之重！选择、填空和解答题都会考到）、直接代入法：对于一般的极限式（即非未定式），只要将X。代入到函数表达式中，函数值即是极限值。注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关 .即limC

5、 C，C为任意常数xXo的时候，而x时则不能用代入法，因为是变量,并非实（2）求极限时首先考虑用代入法，但是该方法只能针对数!例1：Xim4 4，Xim13，Hmlg 2 lg2，limX6例2：3 dX1_lim -2=lim 2x 2 x2 5x 3 x 2 222317=lim =5 2 3 x 2 3例3：X叫(ex sinx)=y叫 e0 sino =1 0 1x23_3 3_0lim一2一 = lim=一 0x 3x21 x 33 14二、未定式极限的运算法 （重点，每年必考一题！ 1、未定式定义：我们把0、一，0例4：等极限式称为未定式，因为它们的极限值是不确定的，可能是无穷小，

6、可能是不为零的常数，也可能是无穷大。注意：确定，式是指极限值是确定的一个值，不用通过计算就可以推断出。2、四则运算中常见的几个未定式和确定式（1）0 0 0，0 0 0，0?0 0，0 为未定式0（2）为未定式，为未定式，为未定式上述和下述的0都代表无穷小，即极限值为零的量3、几个重要未定式的计算方法（1）对于0未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将0Xo代入后函数值即是极限值。（对于分子、分母有根号的特殊情况，要先消去根号，然后提取公因式）（2）对于未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幕，然后 利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。（3）对于未定式：先通分将转化成-或一

7、的形式，然后再0用上述0或-的计算方法进行计算。0例1 ：计算lim X2 22x 1 . 9未定式，提取公因式X 1 X2102解：原式=lim= lim x 1 =- 0x 1 x 1 x 1 x 1 x 1213 Qc例刃十算x“2汽.0未定式提取公因式2解:原式=寸裂22x 4）2=lim( x2x 4) 12例3：计算lim二 x 03x22x0未定式先去根号再提取公因式23X23X23X叫-H X23X(2X233XVTmo例石计算ximiH迸一未定式，分子分母同除以x3解:3原式=limXx22 1芬 X3 =01 =2x 7无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是2例5：计算li

8、m1n未定式，先求极限再开三次方2 n33lim13n2mil2n21n212n142-x2x4:24 ,x2 _-limlim2x4x2 22 x4x 21例6:计算limxx 2解：原式二limnn2 32n解：原式=|im xx 23=18未定式，先通分，后计算x 2=lim 12x2 x 2x 2注意常用的几个代数转换公式：a2 b2三、利用两个重要的极限(重点掌握公式1、公式：lim Sinxx 0，一般考选择、填空)=1 (把结论记住即可，重点掌握后面的等价无穷小当x 0时，t 0求出新变量的变化趋势的替换)2、公式 ：limx1 =e或 lim 1xx 01x x=e(1)适用范

9、围般用于“ 1 ”未定式的极限式(2)解题方法通常用换元法，先将复杂的变量换元成新变量t，再将原极限式中的变量x用新变量t的进行代换，然后转化为公式 的形式，最后进行计算。注意：由于换元时引入了新变量，要求出新变量的变化趋势。I11例1:计算lim 1 3x x.1未定式，先换元然后用公式求解 x 0解：令t 3x，得x -，即13将复杂的变量3x换元成新3 x t变量t313所以原式=lim 1 t t=iim 1 t t =e3转换成新变量的极限式后 t 0t 0再用公式求 1 X 1一例2:计算lim 1 一 1未定式，先换兀然后用公式求解 x 2x解：令t ，得x 丄，即x 1 丄1先

10、换元2x2t2t当x 时，t 0求出新变量的变化趋势1、 1 1 1 1-2 1所以原式=lim 1t 2t =lim1 t 2t?lim(1 t)1 =lim1 t t?1 =e 2t 0t 0t 0t 0四、利用等价无穷小的代换求极限(重点、每年必考一题！)1、等价无穷小的定义：设 和 是同一变化过程中的两个无穷小，即lim lim 0如果lim= 1，称 与 是等价无穷小，记作 .例1:由公式 可知极限lim sinx=1，所以当x 0时，sinx与x是等价 x 0 x无穷小.例2:当x 0时，函数f (x)与tanx是等价无穷小，则lim f(x)二丄.x 0 2ta nx 22、用等

11、价无穷小的代换求极限(1) 定理：设、均为无穷小，又,，且lim 存在II则 lim= lim或 lim ? lim ?I注意：利用等价无穷小的代换求极限能起到简化运算的作用，但是 等价无穷小的代换只能对分子、分母的乘除因子进行代换，不能对 分子、分母的加减式子进行代换。(2) 常用的等价无穷小代换(7个)：当x 0时，1 cosx丄x2,2ln(1 x)x ,ex 1 x , sinx x, tanx x, arcsinx x , arctanx x ,注意：这7个等价无穷小务必熟记，是我们做一些极限题目的必备“工具”。在使用时要注意这7个等价无穷小的代换前提是x时候，代换时也要根据题意要灵

12、活运用！例 1:当 x 0 时，sin2x 2x , tan( 3x) 3x, arcsin( x)x , arctan 4x2 4x2,1225xcosx 1 -x , 1 cos2x 2x , ln(1 2x) 2x , e 1 5x例 2:极限 lim sin2x =lim = lim = sin2x用 2x 等价代换x 0 5x x 0 5x x 0 5 5 极限 lim tan3x=lim 3x =lim3 3 tan3x用 3x等价代换x 0 x x 0 x x 0 例 3:计算 lim1 cos2x.x 0 x?sinx解：当x 0时，1 cos2x2x2, sinxx等价代换2

13、所以原式=lim 2笃Tim2 =2计算x 0 x x 0例 4:计算 lim ln(1 3x). x 0 sin2x解：当x 0时，ln(1 3x)3x , sin2x2x等价代换所以原式=lim 虫*=lim 虫 3计算x 0 2x x 0 22例5: 计算lim x 1.x 0 tan 2x解：当x 0时，tan2x2x等价代换所以原式=00七1 =limx 0.x 1 1. x 112x 、厂 1x2x x 1lim =丄先去根号，再计算x 02 .x 114第四节、函数的连续性 （每年考一题，都以选择或填空形式出现）一、函数的连续性（往往考已知函数在某点 沧处连续，求一个未知量常数）

14、1、函数在点x0处的连续定义：设函数f(x)在X0的某范围内有定义，如果函数f(x)满足lim f (x) f(Xo)，则称f(x)在点xo处连续X x02、函数在点x0处连续的充要条件lim f (x) lim f (x) f (x0)x xox xo即函数在xo既满足左连续又满足右连续(左连续对应左极限，右连续对应右极限)例1:设函数f(齐二在x 0处连续，求k.(分段函数)解：因为函数f(x)在x 0处连续，即满足lim f (x)f(0)x 0因为叽仙=犯 巳诃：啟守叫”、代3)=； 且 f(0) =k，所以 k = -.6ke2x, x V 0例2：设函数fJx)二在x 0处连续，求

15、k.(分段函数)1 cosx , x 0解：因为函数f (x)在x 0处连续，lim f (x) lim f (x) f (0)x 0x 0因为 lim f (x) = lim ke2xk , lim f (x) = lim(1cosx) 2，且 f (0) =2x 0x 0x 0x 0所以k 2.沁,x V 0x例3: |设函数fjx)二在x 0处连续，求a.23x 2x a , x 0 解：因为函数f(x)在x 0处连续，lim f(x) lim f(x) f (0)x 0x 0=2 , lim f(x) = lim(3x2 2x a) axx 0x 0因为 lim f (x) = lim

16、 Sin2x = lim 2xx 0x 0 xx 0且f(0)=a，所以a 2注：以上三题均为分段函数，由于数学编辑器问题，大括号打不出来，请同学们自己填加！第二章、一元函数微分学（45分左右）第一节、导数与微分一、导数的概念（知道导数的符号如何表示即可）1、导数的表示符号（1）函数f （x）在点X。处的导数记作：f（X0），y|,巴或业2|yixq， dx x xdx 1 x x（2）函数f（x）在区间（a,b ）内的导数记作：f（x），y，dy 或 dfd（x）dx dx二、求导公式（重点，是解题的关键，必须记住！）（1）（c）0 （ C为常数）（2）（x ）x1（3）(ax)axln a

17、，(ex) ex( 4) (log aX)1x ln a 1(ln x)x（5）(sin x)cosx ( 6) (cosx)sinx（7）(tan x) sec2 x ( 8) (cot x) cos x2 csc x1 2 sin x（9）(arcsin x)” 1( 10) (arccosx)v1 x21&x2（11）(arctan x)2 ( 12) (arccot x)1 x11 x2例:1、x3 =3x2 2Vxx3、 sin 2 61=04、(2x) 2x ln 2 5、lg2 06、 lg x =log 10 x=1x ln10三、导数的四则运算（必考题型，选择、填空、解答题均

18、有可能出现）1、运算公式（设U, V是关于X的函数，求解时把已知题目中的函数 代入公式中的U和V即可，代入后用导数公式求解.）（1） （u v） u v （2）（u?v） uv uv(3) (Cu) Cu( C 为常数)(4)(与v v例1 ： |已知函数y X4 3C0SX 2，求y.解：y = x43 cosx 2 =4x3 3sin x 0 =4x3 3sinx例2：已知函数f (x)x21n x，求f (e).解： f(x) = x2 In x x2 In x =2x In x x2 丄=2x In x x x所以 f (e) = 2e ln e e2e e3e例3：已知函数f（x）x

19、1 X2，求 f(1).X 1 X2解：f (x)=X 1 X21 x21X2 2X 2x 1 x21 X2 2所以 f（1）= 1 1 2 =01 12四、复合函数的求导法则（必考题型，选择、填空、解答题均有可能出现）1、方法一：例如求复合函数y sin x2的导数.（1） 首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的.如y sin x2由y sin u和u x2这两个简单函数复合而成（2） 用导数公式求出每个简单函数的导数即业二cosu，屯=2x dudx（3）每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量 要用原变量X替代回去.所以 dy? du =2x cos u =2 x

20、cosxdx du dx2、方法二（直接求导法）：如果对导数公式很熟悉，对复合函数的过程十分清楚，可以不必写 出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.I例如(sin x2) =cosx2 ?(x2) =2x cosx2例1: |设函数y Ji x2，求y.(用方法一求解)解：该函数是由x2复合而成,且 dy=1u1= 1 du 22u，du _dx2x.所以dy dy?巴二丄dx du dx 2 駅2x =x _ xJu .； 1 x2例2：设函数i 1y e呱，求y.(用方法二求解).1. 1sinsi n_1解：y = e x =e x (sinx1 1 si n _111 sinxx=e

21、 cos_ = 2 e xx x x1cos-x注意：同学们在解题是要结合自己的基础以及对公式的熟练程度选择其中的一种求解方法.五、导数的几何意义(可能会考到选择、填空)1、导数的几何意义：y f(x)在点X。处的导数f(x。)就是曲线在点X。处切线的斜率，即k切=f(xo)2、切线方程的求法：用点斜式(即已知点和斜率)去求切线方程 设函数y f(x)，则该函数在点X0,y。处的切线方程为：y Yo f，x。x x。例求函数y e2x在点M(0,1)处的切线方程.解:因为2x=e 2x2x，= 2e 2x先求导即k切=y，x o = 2e 2x x o = 2再求切线斜率，即把x。代入导数中所

22、以切线方程为：y 12 x 0，即y2x 1用点斜式求出切线方程六、高阶导数(每年考一题，一般考求二阶或三阶导数)1、定义：如果函数y f(x)的导数f(x)在点x处可导，就称f(x)的22导数为函数y f(x)的二阶导数，记作：y, f(x)，雪 或df dxdx我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数,.,2、求法：(1)二阶导数就是对一阶导数再求一次导(2) 三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导(3) 同理得四阶、五阶导数的求法例 1:已知 y 5sin x，求 d-yy. dx3解：因为 =5cosx，且 dy= 5sinx,所以 d-y = 5cosx dxdx2dx3例

23、2:已知 y e2x，求 y|X0.解：y二e2x 2x =2e2x，所以 y=2 e2x 2x =4e2x即 yxo = 4七、微分(每年考一题，考选择、填空或者解答题)1、微分的求法：(1) 求出函数y f(x)的导数f(x).(2) 再乘以dx即可.即dy f(x)dx .(因为我们习惯用dx表示x )例1:已知y In x2，求dy和d x 1 .解：因为 y二 In x2 =2 x2 =2 2x =2xxx所以dy = 2dx，即dy x1=2dx ( dx是微分的一个标志，故切勿将x 1代x入dx中)例2: |设函数 y x4 cosx， 求dy .解：因为 y = x4 cosx

24、 x4 cosx 4x3 cosx x4 sin x所以dy = 4x3 cosx x4 sin x dx第二节、洛必达法则(考的话考解答题，考的可能性为百分之 50左右)xe- 2上式还是0未定式故继续使用洛必达法则2 2上式不是未定式，故将x=0代入函数中例2：求limxIn x未定式，故用洛必达法则1、洛必达法则介绍：在一定条件下通过分子、分母分别求导，再求极限来确定未定式的 值的方法称为洛必达法则I公式：limf（x） lim 1以）A（或） g（x） g（x）2、使用洛必达法则应当注意的地方：（1） 只能对0或一才能使用洛必达法则，如果是未定式一定要0先通分化成0或一才能使用洛必达法

25、则.0（2）在使用洛必达法则时，是对未定式的分子、分母分别同时求8 * *） !导，再求极限.（3）在应用一次洛必达法则后，仍然是 0/0或/ ，则可继续使用 洛必达法则，如此继续下去直到求出极限为止。在重复使用洛 必达法则时，必须一步一检查，一旦发现不是未定式，就要停 止使用.（4）洛必达法则是求未定式的重要方法之一，使用时最好与等价无 穷小代换等求极限的方法一起使用，这样才能较快、简便地求 极限.x 彳例1：求 limF0未定式，因不能提取公因式，故用洛必达r = lim用洛必达法则，分子、分母同时求导X 0 2x 0 sirix0法则x 彳解：原式=lime 1 x为了简化计算，先将si

26、nx用x作等价替换X 0 x2x1解：原式=佃冬=佃丄=0分子、分母同时求导x 2x x2x2第三节、导数的应用(非常重要，每年必考，选择、填空和解答都会考到)一、函数的单调性及单调区间的求法1、定理：设函数f(x)在区间(a,b)内可导(1) 如果在(a,b)内，恒有f(x) 0,则f(x)在(a,b)内单调递增.(2) 如果在(a,b)内，恒有f(x) V 0,则f(x)在(a,b)内单调递减.2、单调区间的求法(重点)：(1) 求出f(x)的导数f(x).(2) 令f(x)=0,求出函数f(x)的驻点.(3) 可以通过数轴，判断出上述驻点将函数的定义域划分成了几个 部分区间.(4) 判断

27、f(x)在每个部分区间的符号，如果f(x) 0,则该区间为单调递增区间，如果f(x) V 0,则该区间为单调递减区间.例1 ：求函数y x3 3x2 1的单调区间.解：y 3x2 6x=3x x 2，令 y 0 ,得驻点,x1 0 和 x2 2因为函数y的定义域为，故驻点为,X2将定义域划分成,0 , 0,2和2,三个区间.当xV 0时，y 0,所以y在区间 ,0上单调递增.当0V x V 2时，yV 0,所以y在区间0,2上单调递减.当x2时，y0,所以y在区间2,上单调递增.例2: |求函数y x ln(x 1)的单调区间.解：y 1丄二亠，令y 0，得驻点,人0x 1 x 1因为函数y的

28、定义域为1,，故驻点X! 0将定义域划分成1,0和0,两个部分区间.当-1 V XV 0时，y V 0,所以y在区间1,0上单调递减.当X0时，y 0,所以y在区间0,上单调递增.注意：因为对数函数的定义域大于零，所以题目中的对数函数ln(x 1)的定义域为X+10,即X-1.二、函数的极值及其求法1、极值的定义：极大值点对应的函数值是极大值，极小值点对应的函 数值是极小值.2、 驻点的定义：我们把满足f(x) 0的点X0称为函数的驻点.3、极值的必要条件：对于可导函数而言，极值点一定是驻点，但是驻 点未必是极值点4、极值的第一充分条件(必须掌握)：若X0是可导函数f(X)的驻点，则有以下三种

29、情况：(1) 若 X V X。时，f(x) 0； x X 时，f(X)V 0,则 f(X0)为 f(X)的极大值，X0为极大值点(2) 若 X V X0 时，f (x) V 0； X X 时，f(x) 0,则 f (X0)为 f (x)的极小值，X0为极小值点(3) 若x V X0和X X0时，f(X)不变号，那么f(x)不是极值，X0不 是极值点5、求极值的步骤(重点)(1) 求出f(x)的导数f(x)(2) 令f(x)=0，求出f(x)的驻点，记为Xi ( i 1,2,3)(3) 再用第一充分条件去判断，若f(x)在Xi的左右两侧互为异号的，则Xi是极值点，(左正右负是极大值点，左负右正是

30、极小值点，可根据实际题意作图判断)；若f(x)在Xi的左右两侧互为同号的，则Xi不是极值点。(4) 将极值点代入函数表达式中，极大值点对应的是极大值，极小 值点对应的是极小值。例1 ： |求函数y x3 3x2 1的极值.解：y 3x2 6x=3x x 2，令 y 0 ,得驻点 x1 0 和 x2 2a *aa因为函数y的定义域为，故驻点xi，X2将定义域划分成,0，0,2和2, 三个部分区间.当x V 0时，y 0,当0v x V 2时，yV 0,故x1 0是极大值点.当x 2时，y 0,故X2 2是极小值点.所以函数的极大值为f(0)1,极小值为f(2)5.例2：求函数y xe x的极值.

31、解：y xe x x e x =e x xe x = e x(1 x)，令 y 0,得驻点” x1 1 因此为1将函数定义域， 划分成 ,1和1,两个部分区间.当xp 1时，yf 0，当xf 1时，ypO，故为1是极大值点.所以函数的极大值为f(1) e1.三、曲线的的凹凸性及拐点1、定理：设f (x)在(a,b)内二阶可导(1) 如果在(a,b)内的每一点x，恒有f(x) 0,贝卩曲线在(a,b)内是 凹(下凸)的.(2) 如果在(a,b)内的每一点x，恒有f(x) V0,贝卩曲线在(a,b)内是 凸(上凸)的.2、拐点的定义：把曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点3、曲线凹凸区间和拐点的求法(

32、重点，出现在解答题的概率较大)(1) 求出函数f(x)的二阶导数f(x)(2) 求出 f(x)=0 的点，记为 Xi ( i 1,2,3 )(3) 检验f(x)在上述每个点N两侧的符号，若在x的两侧，f(x) 互为异号，则x，f (x)为曲线的拐点；若在Xi的两侧，f(x)互 为同号，则Xi，f(xJ不是曲线的拐点.(4) 使f(x) 0的x的取值范围，为f(x)的凹区间；使f(x) V 0的x 的取值范围，为f(x)凸区间.例1 ：求函数y x3当x e2时，f(x) 0,故e2,是函数的凹区间 3x2 1的凹凸区间和拐点.解：y 3x2 6x，贝卩 y = 6x 6，令 y=0，得为 1当

33、xV 1时，y V 0,所以 ,1是函数的凸区间.当x 1时，y0,所以1,是函数的凹区间.所以拐点坐标为1, 3 .例2：求函数y 皿的凹凸区间和拐点x解:f (x)2一 2xxIn x x In x x4 x1 In x jx21 In x x2则 f (x)=2Inx 3.令 f(x)=0,得3因此为e2将函数定义域0,分成两个区间:330於和e2,33当0VxV e2时，f (x) V0，故0,e2是函数的凸区间所以拐点坐标为332 3 2e , e2注意：对数函数的定义域大于零，切记！例3:曲线y ax3 bx2 1以1,3为拐点，求a、b.解：由题意得 y 3ax2 2bx， y

34、= 6ax 2b因为该曲线以1,3为拐点，得方程组a b 1 3 ( 1)6a 2b 0 ( 2)由(1)、( 2)方程解得a 1和b 3.注意：拐点不仅是函数坐标上的点，也一定是函数二阶导数等于零 的点！12得 f(x)二x2例3: |函数f(x)=ex的一个原函数是(C .A exB、exC、exDex解：可以用逐项排除法，只有ex =ex，故选C.二、不定积分1、定义：我们把f(x)带有任意常数项的原函数(或称原函数的全体)称为f(x)在区间I上的不定积分，记作：f(x)dx F(x) C其中：为积分号，f (x)为被积函数，f (x)dx为被积表达式，x为积分变量，F(x)为f(x)的

35、一个原函数，C为任意常数.注意：不定积分是原函数的的全体，因此计算结果常数 C勿忘！2、不定积分的性质1 f(x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx2 kf (x)dx k f (x)dx ( k 为常数)3、基本积分公式(一定要熟记，可以结合求导公式去记忆)1 0dx C 2 kdx kx C ( k 为常数)x 113x dx C (1) 4-dx In x C1x5cosxdx sinx C 6sinxdx cosx C1 172一dx tanx C 8 2dxcotx Ccos xsin xx9axdx C 10exdx ex CIn a11dxarcs in xC 12d

36、xarcta nxC41 x21 x2例1：3dx 3xC 2xdx2xC2sin xdx-2cosxCIn 2例2:tan 2xd tan x 沁 C3(前后变量都是tanx，故计算此类积分将tan x看成一个整体变量u，套用公式3进行计算！)又如:例 3：设 f(x)dx cos2x C，求 f(x).解：因为f (x)的原函数为cos2x C，即F(x)cos2x C所以 f(x) = f(x)= cos2x C = 2sin2x.三、不定积分的计算方法(重中之重，选择、填空，1、直接积分法：对被积函数进行恒等变形，并用积分性质和积分公式 进行积分的方法.通常用到的变形有(1)将有带有根

37、号的函数去根号从而转换为幕函数的形式 .然后利用 积分公式进行积分.23 x2dx x3dx计算都会考到)例如:3x3+cZdx 2 x2dx 4G C5、一 x(2)被积函数为假分式时，可以通过把分子拆成 2项或者分子加、 减某一项后，使被积函数化成2个分式之和.然后利用积分公式进行 积分.例如:2 21上(分子+11)=x11 1 12 dx= (12)dx = x arctanx Cx1 x(3)此外还会经常用到对数函数和指数函数的运算法则例如:2xexdx公式:axbx (a?b)x= (2e)xdx(2e)xln(2 e)例1:x22dx = x42x2 1 dx = x4dx 2x

38、2dx5dx=5-x3x C313dx 2dx = 3xcos x2、第一类换元法(又称凑微分法)(重点掌握，(1) 适用范围：如果被积函数是两个函数相乘、相除或者被积函数中含有复合函数的情况，此时可以考虑用第一类换元法.(2) 第一类换元解法步骤1将被积函数中的复合函数的复合部分换元成简单函数u.例2:(3 22ta n x每年都会考到)2对换元后的简单函数u求微分.3由于引入了新变量u，此时要将对原变量x的积分形式转换成对 新变量u的积分形式.4用直接积分法求出新变量u的积分.5最后的计算结果中的新变量u用原变量x替代回去.该方法又称为变量代换法.例1:求不定积分 xcosx2dx解：令u

39、 x2（第一步，换元）得du 2xdx xdx 1du （第二步，求微分）原式=-cosudu（第三步，转换）2=-cosudu = sinu C （第四步，求积分）2 2= 2sinx2 C （第五步，反换元）解：令u例2:求不定积分丘，得 du dx，即-y=2du原式=2 sinudu = 2cosu C = 2cos , x C注意：如果能熟练掌握变量代换法，且对积分公式铭记于心，此时 就可以不必写出中间变量而直接用 凑微分法进行积分。凑微分时要 注意凑完微分后前后变量要统一！同学们结合自己的实际情况在解 题时选择变量代换法或凑微分法。例3: |叵dx= I n2xd（l nx）二C

40、（将直凑成dl nx，此时前后变量 x3x均In x为）例 4: | e3x2dx = - e3x 2d（3x 2）=-e3x 2 C （将 dx凑成丄d 3x 2 ） 333例5:C (将1 sinx dx凑成1 sinx ,d(x cosx),dx二 =ln x cosxx cosxx cosxd（x cosx）3、第二类换元法（了解下即可，考的不多）（1）适用范围：如果被积函数中带有根号，直接积分法和第一类换元 法又不能适用，此时考虑用第二类换元法。第二类换元法的目的就 是去掉被积函数中带有根号的式子。（2）第二类换元法解法步骤.1令被积函数中带有根式的式子换元成简单函数u.2由于引入了

41、新变量u，再将对原变量x的积分转换成对新变量u的积分.3用直接积分法或第一类换元法求出对新变量的积分.4最后将计算结果中的新变量u用原变量x替代回去例1：求不定积分dxV2x 11解：令t J2x 1，得x -1， dx tdt（第一步，换元去根号）2则原式二tdt（第二步，转化）t 1= = 1 dt = 1dt d（t 1）=t ln|t 1 C （第三步，求t 1t 1t 11积分）=v2x 1 In 2x 1 1 C（第四步，反换元）4、分部积分法（重点掌握，很重要）.（1）适用范围：当两个可导函数相乘 时，如果第一类换元不能用，则 考虑用分部积分法.公式： udv uv vdu（2）

42、选取U的常用方法1、当被积函数是幕函数与指数函数或幕函数与三角函数相乘 时，通常选幂函数为u.2、当被积函数是幕函数与对数函数或幕函数与反三角函数相乘时，通常选对数函数和反三角函数为u.（3）分部积分法解法步骤1根据上面u的选取方法，找出是u的那个函数2然后求出v3套用公式进行积分.注意u是写在被积函数的位置上（即d的左 边），v是写在微分符号的位置上（即d的右边），例瓦求不定积分xexdx （被积函数是幕函数与指数函数相乘，故选 幕函数X为u ）解：令 u =x，则 dv eXdx，即 v=ex原式= xdex = xexexdx = xex ex C例2:求不定积分In 2=xln x 2

43、xlnx + 2x C =x（ln x 2lnx 2） C例3:求不定积分x cosxdx （被积函数是幕函数与三角函数相乘，故 选幕函数x为u ）解：令 u x，贝y dv cosxdx，即 v sin x原式=xd sinx = xsinx sinxdx=xsinx cosx C第二节、定积分一、定积分的概念（每年至少考一题选择或填空）1、定积分的定义：由曲边梯形的面积引出定义公式xdx （对照公式和u的选取方法，可很容易发现u =ln x， v =x）解：原式=xln 2x xdln2x=xln 2x 2 In xdx （因为 dln2x -dx）x=xln 2X 2 xlnx xd l

44、nx （对积分 ln xdx，选 Inx 为 u，x 为 v）_ 2= xln x 2 xlnx1dxA=bf(x)dx (A为曲边梯形的面积)a其中f (x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量，a,b为 积分区间，a为积分下限，b为积分上限.2、定积分的几何意义：它是由x轴、曲线y f(x)、直线x=a和x=b所 围成的曲边梯形的面积的代数和.在x轴上方的面积取正，在x轴下 方的面积取负.3、定积分所要注意的三个事项(1) 因为定积分是曲边梯形的面积，因此定积分的值一定是一个常 数，且值仅与被积函数f (x)和积分区间a,b有关，与积分变量的字 母无关，即b f(x)dx=

45、bf(t)dt.并且对定积分求导，导数值必为零。aa例如：lndxln-dt， arctanxdx 0，t2 sintdt00 x 0 tdx 0a(2) 当 a=b 时， (x)dx=0aba因为定积分上限ba,当bv a时，f(x)dx= f (x)dxab例如：Sin =dx 0 , f (x)dxf (x)dx1 1 cosx23(3) 由定积分的几何意义可得出下列重要结论： a当f (x)在a, a上连续，当f (x)为奇函数时，f (x)dx=0a aa当f (x)在a, a上连续，当f (x)为偶函数时，f(x)dx = 2 0 f(x)dxa0例如：x4 sin xdx =0

46、xcos xdx 0 2 dx 022 1 cos x注意：三角函数中sinx、tanx、cotx为奇函数，cosx为偶函数，所以可判断出上题中的x4sinx , xcosx ,均为奇函数，由于积1 cos x分区间对称，故积分值必为零。4、定积分的性质(了解即可)f(x)ag(x)2bkf (x)dxakbc3f (x)dx :aa4b1dx baa5若在区间a,bbbdx f (x) dx g(x)dxaabf(x)dxabf (x)dxcf (x)dx, a c bb上总有f (x) g(x)，贝卩 b f (x)dxa每年至少考两至三题)ba g(x)dx二、定积分的计算(重中之重，1

47、、变上限积分的计算(1) 定义：积分上限x为变量时的定积分称为变上限积分，变上限积 分是上限x的函数，记作(x) Xf (t)dta(2) 变上限积分的导数(是每年选择、填空的必考题)b(x)f(t)dtab(x) b(x)xf (t)dt f (x) ii、 aiii、bx f(t)dt f(x) iv、ba(J(t)dtf a(x) a (x)例1:设f (x)解：因为f(x)in tdt，求 f (?). Sx，所以 f(I)=Sin?xsino例2:tan x .e dt0tanx1tanx=e(tan x)=?ecos x2、牛顿一莱布尼茨公式(重点)(1)公式：如果F(x)是连续函

48、数f(x)在a,b上的一个原函数，则有f (x)dx = F(b) F(a) = F(x)：(2)由公式可知：连续函数f(x)在a,b上定积分，就是f(x)的一个原函数F(x)在a,b上的增量(上限值减下限值)。而连续函数 f(x)的不定积分，就是f(x)的全体原函数(原函数后面加常数 C)。可见定积分和不定积分的计算都是围绕求原函数进行的。1 dx27解：因为In x是* 1的一个原函数.则原式=lnx例1:求定积分In 2 =l n1ln2= In 2X， X 0,2 ，例2:设分段函数f（x）二求21 f (x)dx.x 1,0，解:2 0 2 0 21 f (x)dx= 1 f (x)

49、dx + q f (x)dx = /dx +2xdx02=70 E例3:求定积分解：原式=0 1 =133例4:求定积分注意：求分段函数的定积分，需根据积分区间进行分段积分。分段ii、定积分第二类换元法省略了不定积分后的反换元过程，就是说原函数求完后，不必用原变量替代回去，只要将积分上限和积分下限代入原函数中，相减即可.例1:求定积分4 x 2 ,dX02x 1解：令 u ,2x 1，u 1，且 dx udu2当x 0时，u 1，4时，uu2 1所以原式二3 21 u2udu=123du=23 u3u33_1 541 2 21032234、定积分的分部积分法uvbvduab（1）计算公式：udva（2）注意：u的选取方法以及计算方法与不定积分的分部积分法一 样，只是在求出原函数后要按上面的公式把上、下限代进去进行计 算 例1 ：求定积分jx?sinxdx （被积函数是幕函数与三角函数相