[2018年整理]恰当方程与积分因子.doc(20210430083631)

1、 2.3恰当方程与积分因子1恰当方程的定义将一阶微分方程乎=f(x,y)dx写成微分的形式f (x, y)dx -dy = 0把x,y平等看待，对称形式的一阶微分方程的一般式为M (x, y)dx N (x, y)dy = 0(2.43)假设M (x, y), N (x, y)在某区域G内是x, y的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数如果存在可微函数u(x, y),使得du = M (x, y)dx N (x, y)dy(2.44)即=M (x, y), = N (x, y).x: y(2.45)则称方程(2.43)为恰当方程，或称全微分方程.在上述情形，方程(2.43)可写成du(x,y)三

2、0,于是u(x, y) = C就是方程(2.43)的隐式通解，这里C是任意常数(应使函数有意义).2、恰当方程的判定准则定理1设M (x,y), N(x, y)在某区域G内连续可微，则方程(2.43)是恰当方程的充要条件是.:M ；:Ny-：x(x, y) G(2.46)而且当(2.46)成立时，相应的原函数可取为xyu(x,y) = J M(s,y)ds+J N(x,t)dtx0y0(2.47)或者也可取为yxu(x,y)二N(x0,t)dtM(s,y)dsy00(2.48)其中(x(), y0) G是任意取定的一点证明先证必要性因为(2.43)是恰当方程，则有可微函数u(x,y)满足(2.

3、45),又知M (x, y), N (x, y)是连续可微的，从而有2 2u u N:y:y :x. x :y:x下面证明定理的充分性，即由条件(2.46),寻找函数u(x,y),使其适合方程(2.45).从(2.47)可知:u； yyoM(x, y。)y N(x,t)dt.x:X yo=M (x, y) y Nx(x,t)dty0=M (x, y)My(x,t)dt =M (x, y)y0即(2.45)成立,同理也可从(2.48)推出(2.45).例1. 解方程x21xydx q 評“0(2.49)x21解 这里M二xy, N=(),则My二x二Nx,所以(2.49)是恰当方程.因为N于2

4、yy =0处无意义，所以应分别在y0和y 0区域上应用定理2.3,可按任意一条途径去求 相应的原函数u(x, y).先选取(x0,y0) =(0,1),代入公式(2.47)有u = xxdx y(疋)dy 二三 y Iny片 2 y2再选取(心y) =(0, -1),代入公式(2.47)有ui0(-x)dx斗( )dy y In(-y)2 “ 2y x 1、 xx可见不论y . 0和y ： 0,都有2x故方程的通解为y ln | y | = C .23、恰当方程的解法上述定理已给出恰当方程的解法，下面给出恰当方程的另两种常用解法解法1.已经验证方程为恰当方程，从ux =M(x,y)出发，有x2

5、 u(x, y)三 M (x, y)dx (y)=刁 y (y)(2.50)其中(y)为待定函数，再利用uy = N(x, y),有2 2X “、 X 1(y)=22 y1从而 (y)=y于是有(y) =1 n | y |只需要求出一个u(x, y),因而省略了积分常数把它代入(2.50)便得方程的通解为解法2.分项组合的方法对(2.49)式重新组合变为x21(xydx dy) dy = 0于是2xd(x y) dln | y| = 0 2从而得到方程的通解为4、积分因子的定义及判别对于微分形式的微分方程(2.43)M (x, y)dx N (x, y)dy 二 0如果方程(2.43 )不是恰

6、当方程，而存在连续可微的函数- - (x, y) = 0，使得(x, y)dxN(x,y)dy =0(2.51)为一恰当方程，即存在函数v(x, y)，使JM (x, y)dx：N(x, y)dy 三 dv则称 叫x,y)是方程(2.43)的积分因子.此时v(x,y)=C是(2.51)的通解，因而也就是(2.43) 的通解.如果函数 M (x, y), N( x, y)和叫x, y)都是连续可微的，则由恰当方程的判别准则知道 ,J(x, y)为(2.43)积分因子的充要条件是-IM2Ny；:xM j N x .即N-M=()J；x 鋼 :y :x(2.52)5、积分因子的求法方程(2.52)的

7、非零解总是存在的，但这是一个以J为未知函数的一阶线性偏微分方程，求解很困难，我们只求某些特殊情形的积分因子定理2设M =M (x,y), N =N(x, y)和，二(x, y)在某区域内都是连续可微的，则方程(2.43)有形如二(x, y)的积分因子的充要条件是：函数My(x,y) Nx(x, y)N(x, y) X(x, yM(x, y) y(x, y)(2.53)仅是 (x, y)的函数，此外，如果(2.53)仅是 (x, y)的函数f二f C (x, y)，而G(u)二 f (u)du，则函数J. _ eG( (x,y)(2.54)就是方程(2.43)的积分因子.证明因为如果方程(2.4

8、3)有积分因子二J(：)，则由(2.52)进一步知字（NMT二申戸dx -.xd My_Nx由-（）可知左端是:的函数，可见右端 My _ Nx 也是的函数，即Nx- MyMy-Nx-M y=f(),曰是，从而-ef(m= eG()反之,如果（2.53）仅是;：的函数,My-Nx二f（），则函数（2.54）是方程（2.52）的解事实上,因为-M:x ；:y=(N x-M y)f( ：)eG()=(My-Nx尸的确是方程（2.43）的积分因子.因此函数（2.54）为了方便应用这个定理，我们就若干特殊情形列简表如下:类型条件积分因子2.J(x)My 7三 f (x)NMy 7-三f(y) -MI

9、f (x) dxef (y)dyeu/ a艮(x y )M y Nx1-1 I：三 f(x：y ):x N y M x y|f (u)due十(x,y)My NxN-MCf(；：(x，y)|f (u)due|u= (x,y)2这里 M = y2 - 3xy 1, N = xy - x2,注意(y2-3xy 1)dx (xy - x )dy =0My -Nx 二 y-X所以方程不是恰当的，但是My-/1N - x它仅是依赖与x，因此有积分因子r dx11 = e x 二x给方程两边乘以因子亠=x得到2223(xy -3x y x)dx (x y _ x )dy 二 0从而可得到隐式通解例 3.解

10、方程(xy y2)dx (xy y 1)dy = 0解 这里M xy y2, N =xy y 1方程不是恰当的.但是-Ny它有仅依赖于y的积分因子y1方程两边乘以积分因子-丄得到y(x y)dx (x 1dy =0y从而可得到隐式通解xy y l n | y| = C另外，还有特解y =0.它是用积分因子乘方程时丢失的解例4. 解方程223(y+ 2x y)dx ( xp x dy0解 这里M = y2 2x2y,N =xy x3，不是恰当方程.设想方程有积分因子=J (x y )，其中：，是待定实数.于是My -也1 _ _y -x2 1 .：xJN-：yM x：y一(： - Jy (： -

11、2 Jx2 x、只须取】=3,2 -2.由上述简表知原方程有积分因子从而容易求得其通解为:x3y2u=x4y4x6y3=C3六、积分因子的其他求法以例4为例，方程的积分因子也可以这样来求：把原方程改写为如下两组和的形式:前一组有积分因子Ji丄，并且y(y2dx xydx) (2x2ydx x3dy) =0i 2(y dx xydy)二 d (xy) y后一组有积分因子J2，并且i232(2x ydx x dy)二 d (x y) x设想原方程有积分因子容易看出只须-=3,1 -2，上述函数确实是积分因子，其实就是上面找到一个例5. 解方程M1(x)M2(y)dx N1(x)N2(y)d0其中M

12、i，M2，Ni，N2均为连续函数 解 这里M二Mi(x)M2(y)，N = Ni(x)N2(y) 写成微商形式就形式上方程是变量可分 离方程，若有yo使得M2(y) =0,则y = yo是此方程的解；若有 冷使得 汕(冷)=0，则x = x0是此方程的解；若 M 2 (y) Ni (x) = 0，则有积分因子卩=M2(y)Ni(x)并且通解为N2(y)dyM2(y)例6、试用积分因子法解线性方程(2.28). 解 将(2.28)改写为微分方程P(x)y Q(x)dx-dy = 0(2.55)这里 M 二 P(x)y Q(x), N = 一1，而.:M ；:NN一 P(x)则线性方程只有与x有关的积分因子-P(x)dx二 e.P(x) dx方程(2.55)两边乘以e ，得_|P(x) dx_P(x)dx_P(x)dxxP(x)e ydx-e dy Q(x)e dx