2010北京一模数学试题汇编函数与导数

1、函数与导数1. （丰台文题 2）函数f(x)二r3 log2 6 x的定义域是()A . ：x|x .6?B . x|-3 ： x ： 6? C. 、x|x-3fD. ；x| -3 0x $ :3 w x ： 6 .6-x0x ：62.（海淀理题2）在同一坐标系中画出函数y=：logaX, y=ax , x a的图象，可能正确的是（【解析】D ；y=x a在B、C、D三个选项中对应的 a 1，只有选项D的图象正确.3.（宣武文题 3)下列函数中，既是奇函数又是区间（0,：）上的增函数的是（)1A. t =x2B. y =xC. y=x3D. y=2x【解析】C ；AD不是奇函数，B在（0, *

2、二）上是减函数.4. （西城文题4）若0 ： m : n，则下列结论正确的是（）C. log2 m log 2 nD. log1 m log 1 n【解析】D ；由指数函数与对数函数的单调性知D正确.5. （宣武理题4）(1 S 设函数f(x) 一 1，则其零点所在的区间为()吃丿A . ( 0, 1)B . (1, 2)C. (2, 3)D . ( 3, 4)【解析】B ；f(x)在R上单调增，f(1)=仁：0, f(2) =7 0，故零点所在区间(1,2).6. (丰台理题 4)(丰台文题 6)奇函数f(x)在一:：，0上单调递增，若f(_1)=0,则不等式f(x) ：0的解集是( )A.

3、 (-：，-1)U(0 ,1) B.(：，-1)U(1,：)C. (-1,0) (0 ,1)D. (-1,0) (1,二)【解析】A ；如图，根据f x所具有的性质可以画出 f x的草图，因此f x ：0二x ： -1或0，- x ： 1.7. (海淀文题 5)【解析】D ；)y二x，a在B、C、D三个选项中对应的 a 1，只有选项 D的图象正确.8. (宣武文题 6)设函数f (x) =log3 2 -a在区间(1,2)内有零点，则实数 a的取值范围是()xA. (T,Tog3 2)B . (0,log 3 2)C. (log32,1)D. (1,log 3 4)【解析】C ；f 2)f(x

4、)=log3 1 -a在(1,2)上是减函数，由题设有f(1) 0, f (2： 0，得解.V X丿9. (石景山理题 7)(石景山文题 7)【解析】A ;由f(x)的图象知0和-2是f (x)的极值点，且x 0时，f(x)单调递减，故选 A .10. (石景山理题 8)(石景山文题 8)已知函数f(x)二1 -log2x,正实数a,b,c是公差为正数的等差数列，且满足f(a)f(b)f(c)：0 .若实数d丿是方程f(x) =0的一个解，那么下列四个判断： d : a :d : b :d : c :d c中有可能成立的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】C ；f(x)在(0,

5、：)上单调减，值域为 R .又 a：b：c, f (a) f (b) f (c： 0，所以 f(a), f(b) 0 , f(c)：0 由 f(d) =0 可知,a : b : d : c，成立; f(a), f (b), f (c) :0 .此时 d : a ：b : c，成立.综上，可能成立的个数为3.11. (东城文题 8)已知函数f(t)是奇函数且是 R上的增函数，若x, y满足不等式f(x2-2x) - f(y2-2y)，则x2 y2的最 大值是()A .3B . 2 2C . 8D . 16【解析】C;由f (x)为奇函数得f(x2 -2x) w f(2y -y2),又f (x)为

6、增函数，有x2-2x 2y-y2 ,即(x -1)2 (y -1)2 w 2，它表示圆心在(1,1)，半径为.2的圆的内部(包括边界)，故到原点最远 的点为(2, 2)，从而x2 y8 .12. (东城理题 8)定义在R上的函数y=f(x)是减函数，且函数y = f(x_1)的图象关于(1, 0)成中心对称，若s , t满足不等式f (s2 _2s) w _f (2t -t2).则当1 s 0 且 2 X 015.(丰台文题 12)函数f (x) =lnx的图象在点 e , f (e)处的切线方程是 .【解析】x-ey=0 ;1 1 f(e)=,所求的切线方程为 y f (e)=fex e),

7、x x 土 e1即 y -1 nex e，化简为 x -ey =0 .e16.(西城文题12)已知 f （x）二 X -X, x 0，若 f（X）=2，则 x 二.|1 2lg x, x . 0【解析】-1或10 ；当 x 0时，由 x2 _x=2 得，x - _1 （正值舍）；当 x 0 时，1 2lg x=2，解得 x = 10 .17. (丰台文题 13)X已知函数f(x)二 ，x, f()=.J (x +3) , x w 0【解析】2 ；f -8 =f -5 = f -2 =f1 =21=2 .18. (丰台理题 14)函数y =x21(o w x w 1)图象上点P处的切线与直线 y

8、 =0 , x=o , x=1围成的梯形面积等于 S，则S的最 大值等于，此时点P的坐标是.【解析】5 ,1,5 ;4 (2 4 丿函数y =x2 1 0 w xw 1在P x , x2 1点处的切线方程为2 2y：ixD 1 =2x0 x怡，即 y =2x x-x12 2它与y轴的交点为1-xo，与x=1的交点为2沟-xo1 .于是题中梯形的面积1222155 1X。亠2xoX。1 1 = -XoXo 1 - - Xo - 2-1 5当X0时，S取得最大值为-，2 4一 11 (1 吟)1 5此时P点坐标为 一，.一 +1即-,-.(2 2 , a b . c，则 (a _1)(b -1)

9、1= ab a b , In a In b = l n( ab) In (a b) I n c,故满足；反例：a = b = 3 , c 时，a, b, c构成三角形，但 sina sinb ：1 =sin ，故sina, sinb, sine不构成三角形.2 220.(西城文题14)设函数f (x)的定义域为D ,若存在非零实数I使得对于任意x.二M (M二D),有x T二D ,且 f (x I)f( X则称f (x)为M上的I高调函数.现给出下列命题： 函数f(x)二- 为R上的1高调函数； 函数f(x) =si n2x为R上的n高调函数； 如果定义域为-1, ：)的函数f(x) =x2为

10、-1, ：)上m高调函数，那么实数m的取值范围是2, ：)；其中正确的命题是 .(写出所有正确命题的序号)【解析】； 中f (x)为减函数，故不可能是1高调函数；中，f(x n=f(x)，故正确；f(x)=x2(x-1)的图象如下图所示，要使得f (-1 m) f ( _1) =1，有m 2 ； x1时，恒有f (x 2) f (x),正确.21.(西城理题 14)设函数f (x)的定义域为D ,若存在非零实数I使得对于任意x M (M冬D),有x D ,且f (x T)f( x则称f (x)为M上的I高调函数.如果定义域为-1,；)的函数f(x)=x2为_1,：)上的m高调函数，那么实数 m

11、的取值范围是如果定义域为 R的函数f(x)是奇函数，当x0时，f (x) =|x-a2a2，且f (x)为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是.【解析】2,：) ; -1, 1；f(x) =x2(x-1)的图象如下图左所示，要使得f (T - m)f (-1)=1，有m2 ； x-1时，恒有 f (x 2) f (x)，故 m 2 即可;由f (x)为奇函数及x 0时的解析式知f (x)的图象如下图右所示, f (3a2) =a2 =f(V2)，由 f(2 十4) f(v j =a2 = f(3a 2 ，故a2 +4 3a2，从而 a2 f (x)，故a 1即可.22.(宣武文题 14)有

12、下列命题： x =0是函数y =x3的极值点； 三次函数f(x) =ax bx cx d有极值点的充要条件是 b -3ac 0 ; 奇函数f (x) =mx3 (m1)x2 48(m-2)x n在区间(-4,4)上是单调减函数.其中假命题的序号是.【解析】；y =x3在R上单调增，没有极值点，错；f (x3ax2 2bx c , f(x)有极值点的充要条件是f (x) =0有两个不相等的实根，2 2.： =4b -12ac 0,也即 b -3ac 0,正确；2 . _f(x)是奇函数，则 f(0) =0 =n=0,由 f(-x)=-f(x)，可得(m-1)x =0 ,因此 m=d，所以 f (

13、x) = x48x .当 X (-4,4)时，f(X)= 3x48 二 3(x 4)(x4) ： 0，故 f (x)在 x (-4,4)上是 单调减函数.23.(宣武理题 14)有下列命题： 若f(x)存在导函数，则 f(2x) =f(2x)；=1 ； 若函数 h(x) = cos4 x -sin4 x，则 h l n02丿 若函数 g(x) =(x 1)(x 2)HI(X 2009)(x 2010)，贝U g (2010) =2009!； 若三次函数f(x)二ax3 bx2 cx d，则“ a b 0 ”是“ f (x)有极值点”的充要条件.其中真命题的序号是【解析】;f (2x) I -

14、f(2x)(2x): =2f (2x)，错误;错;33i n 1h (x) =4cos x( -sin x) -4sin xcosx - -4sin xcosx - -2sin 2x，贝h1 ,(12丿g (x)二(x 1)(x 2) H(x 2009) (x 2010) l(x1)(x 2)Hl(x 2009)，正确；f (x) =3ax2 2bx c，二=4b2 -12ac =4(b2 -3ac),只需 b2_3ac 0 即可，a bc = 0 是2 b -3ac 0的充分不必要条件.24.(丰台文题 18)设 f (x) =x a 1 x 3ax 1 .2若函数f (x)在区间1 , 4

15、内单调递减，求 a的取值范围;若函数f(x)在x “处取得极小值是1，求a的值，并说明在区间 1 , 4内函数f(x)的单调性.【解析】f x =3x2 -3 a -1 x3a=3x-1 x-a函数f x在区间1 , 4内单调递减，T f (4) 0故函数在其定义域 0, :上是单调递增的.在1 ,e 上，发如下情况讨论： 当a d时，f(x) .0，函数f(x)单调递增，其 最小值为f(1) = a：1 , 这与函数在1 , e 上的最小值是3相矛盾；2 当a =1时，函数f x在1 , e 单调递增，其最小值为f(1)=1，同样与最小值是3相矛盾； 当1 ：:a :：:e时，函数f(x)在

16、11 , a上有f x ：0 ,单调递减，在a , e上有f(x) .0，单调递增，所以函数 f(x)满足最小值为f(a)=lna 1由 In a 1 =3，得 a 二.e .2 当a =e时，函数f x在1 , e上有f x ：0 ,单调递减，其最小值为f (e) =2，还与最小值3是3相矛盾；2 当a e时，显然函数f x在11, e 上单调递减，其最小值为f(e1 - 2 ,e3仍与最小值是-相矛盾；2综上所述，a的值为e .26.(海淀文题 18)已知函数f(x) =x -1与函数g(x) =aln x(a严0).若f(x) , g(x)的图象在点1 , 0处有公共的切线，求实数 a的

17、值；设F(x)二f(x) 2g(x)，求函数F(x)的极值.【解析】因为f(1)=0, g(1)=0,所以点1 , 0同时在函数f (x) , g(x)的图象上因为 f (x) =x2 -1 , g(x) =aln x , f (x) =2x , g (x) =?,x由已知，得f(1)=g(1)，所以2=a，即a =21i I 2因为 F(x) = f(x) -2g(x) =x -1 -2aln x ( x 0)22a 2(x -a)所以 F (x) =2x -xx当a ：0时，因为x 0，且x2 -a 0,所以f (x)0对x 0恒成立,所以F(x)在0, :上单调递增，F(x)无极值当 a

18、 0 时，令 F (x) =0 ,解得 . a , x2 二- a (舍)所以当x 0时，F(x) , F(x)的变化情况如下表：x(0,阳(需,Z)F(x)0+F(x)极小值所以当时，F(x)取得极小值，且F (、a) = ( . a)2 -1 2aln 一 a = a -1 -a In a .2所以有e 2a w e-1，即a w若易知函数f(x)在e , -a上为减函数，在-a,e2上为增函数，a w-1-e2 e -1，22 2 2 2-e e_1,八 e e 1e e_1,2 e e_1“_(一1) =02 2 22 一 -e2 e-1-e: a w22 :-ae，即 a w -e若

19、此时，f (x)max所以有e a w e-1,即2，易得函数f(x)在e ,e上为减函数，=f (e)，要使f (x) w e-1对e , e2恒成立，只需 a w -1，又因为 a w -e2，所以 a w -e2.-e2+e_1 I2综合上述，实数a的取值范围是-COf (e) w e-1 即可,28.(东城文题 18)已知函数f(x)x a(a r),综上，当a ：0时，函数F(x)在0 ,川匚打上无极值；当a 0时，函数F(x)在x=.a处取得极小值a-1-al na .27.(海淀理题 18)已知函数f(x) =x alnx，其中a为常数，且a -1 .当 a -1 时，求 f (

20、x)在e,e2 ( e =2.71828)上的值域；若f (x) 1时，证明：f (x) w 1 .【解析】函数f(x)的定义域为x|x .0?,所以f (x) J 小严 ,x又曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线与直线x y_1=0平行， 所以 f (1) =1 -a =1，即 a =0 .令 f (x)=0 得 x 二.当x变化时，f(X), f (x)的变化情况如下表:xs1 a、(0, e-)1 ae _“1a,、(e 一，+f (x)+0f(x)极大值由表可知：f(x)的单调递增区间是(0, e1)，单调递减区间是(e1，：)所以f(x)在xF1处取得极大值，f (x)极大值

21、二f(e1a)=ea当 a=1 时，f(x)=3 ,x由于X，1,二)，要证f (x)n x 1 w 1，只需证明lnx 1 w x ,x1 X 1 令 h(x) =x -In x -1，则 h (x) =1 -x x因为x 1，所以h (x) 0 ,故h(x)在1, ：)上单调递增，当 x 1 , h(x) h(1)=0,即卩 lnx 1w x成立.故当x 1时，有w 1 ,即f (x) w 1 .x29.(东城理题 18)1已知函数 f(x) =alnx, a R .x若曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线与直线 x，2y=0垂直，求a的值;求函数f(x)的单调区间；当 a =1，

22、且 x 2 时，证明：f (x T) w 2x-5 .【解析】函数f (x)的定义域为x|x 0rf, f (x- -1 .x x又曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线与直线 x 20垂直,所以f=a 1=2，即a =1 由于f (x)=呻.x当a 0时，对于x(0,：)，有f(x) .0在定义域上恒成立,即f(x)在(0,：)上是增函数.1当 a : 0 时，由 f (x) =0，得 x(0,-).a当x(0,-)时，f (x)0 , f (x)单调递增；a1当x三(，亠)时，f (x) ： 0 , f (x)单调递减.a当 a =1 时，f(x1)=ln(x1)_二 ,x：=|2,

23、 x 11令 g(x) =1 n(x -1)2x 5 .x -1g(x)二1x -11(x -1)2(2x -1)(x -2)(x-1)2当 x 2 时，g(x) ：0, g(x)在(2,：)单调递减.又g(2) =0，所以g(x)在(2,-：-)恒为负.所以当 x 2,：)时，g(x) 2时，f (x T) w 2x-5成立.30.(宣武文题 18)已知函数 f(x) Jx? ax2 (a2-1)x b(a,b R)3若x =1为f (x)的极值点，求a的值；若y =f (x)的图象在点(1, f(1)处的切线方程为x y -3=0 ,求f (x)在区间-2,4上的最大值;当a =0时，若f

24、(x)在区间(-1,1)上不单调，求a的取值范围.【解析】f (x) =x2 -2ax a2 -1 x =1是f(x)的极值点， f (1) = 0，即 a22a =0 ,解得 a = 0或 2. v(1, f(1)在 x y-3=0 上. f(1)=21 2(1,2)在 y =f (x)上， 2 a a -1 b3又 f - -1 ,二1 _2a a2282小 - f (x) x -x , f (x) =x -2x ; _1 二12 8 a 2a 亠1 二 0，解得 a 二1,b 二31 2 2 8 2 f (x) x _x , f (x) =x _2x33由f (x) =0可知x=0和x

25、=2是f(x)的极值点.84v f(0) =-，f (2)(4)=83 3 f (x)在区间-2,4上的最大值为 &因为函数f(x)在区间(一1,1)不单调，所以函数 f(x)在(一1,1)上存在零点. 而f (x) =0的两根为a -1 , a 1，区间长为2 ,在区间(-1,1)上不可能有2个零点.所以 f (-1)f (1)：0，即 a2(a 2)(a -2) ：0 .2a0 ,.(a 2)(a -2) ：0, -2 :a ：2 .又Ta =0,.a (-2,0) U(0,2).31.(宣武理题 18)1已知函数 f(x)x3 由f(x)=0可知x=0和x=2是f(x)的极值点.84-f

26、(0), f(2),f(2)=Y, f (4)=833 f (x)在区间-2,4上的最大值为 & G(x) =(x mx m)e ,G (x) =(2x m)e* _e(x2 mx m) =e_x2 (2 _m)x令 G (x) =0，得 x =0, x = 2m -ax2 (a2-1)x b(a,b R)3若x =1为f (x)的极值点，求a的值；若y=f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程为xy3=0, 求f (x)在区间_2,4上的最大值； 求函数G(xf (x) (m 2)x me( R)的单调区间.【解析】f (xx2 -2ax a2 -1 .2是极值点， f (1)=0,即卩

27、 a 2a=0 .a =0或 2. v(1, f(1)在 x y-3=0 上. f(1)=21 2(1,2)在 y =f (x)上， 2 a a2 -1 b3又 f (1) - -1 , 1 -2a a2 1 =12 8a -2a V =0，解得 a =1,b 二3当m=2时，G (x) w 0,此时G(x)在(_：,：)单调递减当m 2时：x(_oo,2 _m)2 _m(2 -m,0)0(0, +辺)G(x)0+0G(x)极小值/极大值此时G(x)在(_：,2 -m)U(0,，：)上单调递减，在(2-m,0)上单调递增.当m ： 2时：x(q,0)0(0,2 -m)2 m(2 m, +o)G

28、(x)0+0G(x)极小值/极大值此时G(x)在(-“,0) U (2上单调递减，在(0,2 -m)上单调递增，综上所述：当m = 2时,G(x)在(-：,：)单调递减；m 2时，G(x)在(-：,2 _m)U(0,=)单调递减，在(2 _m,0)单调递增；m ：2 时，G(x)在(-：,0) U(2-m, 二)单调递减，在(0,2 -m)单调递增.32.(西城理题19)已知函数f(x 1- ex，其中a 0 .I x丿求函数f(x)的零点；讨论y = f(x)在区间(：，0)上的单调性；在区间 ：，-色上，f (x)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由. I 2【解析】令

29、f (x) =0，得x二-a，所以函数f (x)的零点为-a .函数f (x)在区域(-：，0)上有意义，f (x) =x ax_a ex,x令 f (x) =0 得 Xi =-aa 4a2X22因为 a 0，所以 x1 : 0, x20 ,当x在定义域上变化时，f (x)的变化情况如下:x(-00, Xi)(Xi, 0)f (x)+f(x)a (a? +4a所以在区间|皿，上f(x)是增函数,I2在区间,0上f (x)是减函数.在区间(-:,上f(X)存在最小值证明：由知_a是函数f(x)的零点,因为-a 一 X二a-aa 4a -a 亠. a 4a “0 2 2所以为：:：-a: 0 .由

30、 f (x) = 1- ex 知，当 x ： -a 时，f(x) 0 .I x丿a又函数在(, 0)上是减函数，且 为：0 .2所以函数在区间洛，-上的最小值为f -，且f - ：:0.12J 2丿 J 2丿所以函数在区间-：，-a上的最小值为f -a .I 2一I 2丿计算得f -a.I 2丿33.(西城文题 20)已知函数f(x) =(x2 -mx亠m)ex，其中m三R .若函数f (x)存在零点，求实数 m的取值 范围；当m ：0时，求函数f (x)的单调区间，并确定此时f (x)是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由.【解析】设f (x)有零点，即函数g(x) =

31、x2 - mx m有零点，所以m2 4m 0 ,解得m 4或m =! = =1 0 ,2 2 2即 Xim -2 ,综上，在区间(-q, Xi)和 区，：)上，f (x) 0 , f (x)在区间(m-2,)上的最小值为m ： 0 ,所以，当m ：0时f (x)存在最小值，最小值为m .34.(石景山文题 20)32已知函数f(x)二ax bx -3x(a,bR)，在点(1,f(1)处的切线方程为 y 2 =0 .求函数f (x)的解析式；若对于区间12,2 上任意两个自变量的值 xi ,X2，都有f(Xi)-f(X2)w c，求实数c的最小值;若过点M(2, m) (m=2)，可作曲线y=f

32、(x)的三条切线，求实数 m的取值范围.【解析】 t f (x) =3ax2 2bx3 ,根据题意，得f(i) 一 2,.f (i)=0,即一3,3a 2b 3 =0,解得a =i, b =0.3/ f (x) =x -3x .令 f (x) =3x2 -3=0,即卩 3x2 一3=0，解得 x h.X-2(-2,-i)(T,i)i(i,2)2f (x)+00+f(x)-2/极大值极小值/0t f(T)=2 , f(I)=-2 ,当X 2,2 时，f(X)max =2 , f(X)min=-2 .则对于区间1-2, 2 1上任意两个自变量的值Xi,X2，都有=4，所以 c 4 .f(X1)-

33、f(X2)W f (X)max - f(X)min所以c的最小值为4 .点M(2, m) (m=2)不在曲线y = f (x)上，设切点为(Xq, yo).则 yo =X03X0. f (Xq) =3Xq2 -3，切线的斜率为 3Xq2 -3 .则32_3=勺逖口Xq -232，即 2xo -6xq 6 m =0 .因为过点M (2, m) (m =2)，可作曲线y = f (x)的三条切线,32所以方程2xo -6xo6 -mO有三个不同的实数解.即函数g(x) =2x3 -6x2 6 m有三个不同的零点.x(皿,0)0(0,2)2(2, +闵)g(x)+00+g(x)/极大值极小值/:g(2)曬即6 m 0,一mg 解得 m：2 .则 g (x) =6x2 -12x .令 g (x) =0 ,解得 x =0或 x =2