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1、2010高三数学一轮复习精品(二)：导数的应用(1)一、内容归纳-知识精讲：(1) 函数的单调性如果函数y=f(x)在某个区间内可导，那么若 f(x)0，贝y f(x)为增函数；若f (x)0则f (x)为减函数；若f (x)=0则f (x)为常数；(2) 函数的极值 极值定义如果函数f (x)在点X。附近有定义，那么对X。附近的点，都有f(x) f(x)我们就说f(x)函数的一个极小值，记作y极小值= f(x)；极大值与极小值统称为极值。 极值判别法当函数f (x)在点X处连续时，极值判断法是：如果在x附近的左侧f (x)0,右侧f(x)0,那么f(X)是极大值；如果在X0附近的左侧f (x

2、)0,那么f(x)是极小值。 求可导函数极值的步骤：首先：求导数f(x)；再求导数f(x)=0的根；最后：检查f(x)在方程根左右的值的符号， 如果左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取极小值。(3 )函数的最大值与最小值在闭区间a,b上连续，在(a,b )内可导，f (x)在a,b上求最大值与最小值的步骤：先求f(x)在(a,b )内的极值；再将 f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。2 重点难点：多项式导数的求法，利用导数求函数的极值与最值。3.思维方式：求导、解不等式。4 特别注意：要注意区分

3、函数最值与极值的区别、联系。二、问题讨论解: 例1、研究函数 f (x) =ax3 - bx2 _lx - 1的单调性，其中a工0。 af (x) = 3ax2 2bxa当 a0 时，f (x)o，则 x-b ,b233a3af(x)0 时，卫 L3ax :-b 、b233a所以f(x)在( -m2-b - b 33a-b b23 3a,+8)上单调递增;3a b23上单调递减。3a23。，当a0：= 0t1 或 x0，当-1 x1 时 f (x) 0,函数f (x)在(s, -1) ( 1 , +s)上是增函数，(-1 , 1 )上是减函数。因此，x=-1时，函数取得极大值f ( -1)=1

4、。当x =1时，函数取得极小值f (1) =-1 O思维点拔根据题设结构进行逆向联想，合理地实实现现问题的转化，使抽象问题具体化。例5已知二次函数f (x) =a ( x2-1) +b x，在X 卜1，1的最大值为m，最小值为n，且I m|丰丨n| ob5(1)求证： 一 0，求 a， b。a2【解】(1) f (1)=b， f (-1)=-b，又 I b |=卜 b| 而| m | 丰 | n |.在x=-1或x=1处只会有一个最值点，当(-1，1 )时,f (x)有一个最值点f (x) =2 ax b =0，bbx/ -10,所以f (一-)= _b _4a必是最小值2a4ab25一 w而且a 0 b=2a=2 亠a =2或丿或lb =2A = -2a =2 或 a =12=

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