2010年广东珠海普通高中第二次高考模拟考试数学理

1、珠海市2009-2010学年度第二学期高考模拟测试理科数学试题一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项1 _ 2i1.已知i是虚数单位，复数 Z与复平面内的点(2 , -1)对应，则复数 ZD .第四象限A.第一象限B .第二象限2 已知：是三角形的一个内角,C .第三象限43tan :4，则 cos(：对应的点在A. 一 10B .10C.10D.二103.等差数列an的前3项的和为15,最后3项的和为123，所有项的和是345，这个数列的项数是A. 13B . 14.15D. 164.已知a、b是实

2、数，则“ a 1, b 1 ”是“ a b 2且ab 1 ”的A.充分而不必要条件B .必要而不充分条件C.充分必要条件5.二为三角形的内角,D.既不充分也不必要条件a=(cos 日,si nl) , b = (J3,_1),A.6.从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方 体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积为A. 8C.2722537.定义在R上的函数f(x)满足下列三个条件:f (x 3)=1f(x)；俯视图2 -453对任意 3 _ x! ”： x2 _ 6，都有 f (xj ： f (x2)；y = f(x 3)的图像关于y轴对称。则下列结论中正确的是A.

3、f(3) ： f(7) ： f(4.5) B .f(3) ： f(4.5) ： f C.f (7) ： f (4.5) ： f (3) D . f (7) ： f (3) ： f (4.5)4x 5y 20 _ 0&已知点M (；,0), N(3,0),设P(x,y)是区域4x 5y 20 一边界上的点，则下列式子恒成4x +5y _20 兰04x -5y - 20 込0立的是A. | PM | PN |_10=10C. | PM | PN 比 10第二卷非选择题（共110分）7小题，每小题5分，满分30分.其中1415题是选做题，考生二、填空题：本大题共只能选做一题，两题全答的，只计算前一题

4、得分.请将答案填在答题卡相应位置9.某项测量中，测量结果E服从正态分布N（1,二2）（二 0），若E在（0 ,1）内取值的概率 为0.4，则E在（0,2）内取值的概率为 .6展开式中，含x2项的系数是11.已知R、F2分别为椭圆x2b2y7 =1（a b 0）的左、右焦点，M为椭圆上一点且MF1 _ x轴，一 F1MF2 =45，则椭圆的离心率是12.甲乙两艘船都要在某个泊位停靠，若分别停靠6小时、8小时。假定它们在一昼夜的时间段内任意时刻到达，则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为.13.方程x y 12的正整数解的个数为14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程是卜=1

5、,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线I的参数方程是丿x = _1 4t、y = 3t（t为参数），则直线I与曲线C相交所成的弦的弦长为15. （几何证明选讲选做题）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为 P，过B的切线交过C的切线于T , PB交圆O于Q，若.BTC =120 ,AB =4，贝U PQ PB =TB三、解答题：本大题共 6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题满分12分)如图，已知平面四边形 ABCD中，GBCD为正三角形，AB = AD = 2 ,. BAD二2二，记四

6、边形 ABCD的面积为S.(1) 将S表示为v的函数；(2) 求S的最大值及单调增区间.BAD17. (本小题满分12分)如图是两个独立的转盘 (A)、(B)，在两个图中的四个扇形区域的圆心角分别为601120】、9O9Ol用这两个转盘进行玩游戏， 规则是：同时转动两个转盘待指针停下 (当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始)，记转盘(A)指针所对的区域数为 x，转盘(B)指针所对的区域数为y , x、y 1,2,3,4,设 x y 的值为，每一次游戏得到奖励分为 匕.求x ：3且y 2的概率；某人进行了 6次游戏，求他平均可以得到的奖励分.18. (本小题满分14

7、分)四边形ABCD为矩形，平面PDC -如图，在四棱锥P-ABCD中，厶PCD为等边三角形,平面 ABCD , M、N、E 分别是 AB、PD、PC 中点，AB = 2AD .(1) 求证：DE _ MN ;MB(2) 求二面角B - PA - D的余弦值.19.(本小题满分14分)在AABC中，点A的坐标为(3, 0), |Bq2 且两端点B、C在y轴上区间-3, 3上滑动.(1)求 ABC的外心P (三边垂直平分线的交点)的轨迹方程; 设直线I : y = 3x - b与点P的轨迹交于E ,F两点，原点0到直线I的距离为d，试求b的值，使罟最大并求该最大值.20.(本小题满分14分)已知函

8、数的图象过点(-1,2)，且在点(_1,f(_1)处的切Ix3 x2 bx c (x : 1) al nx (x 兰 1)线与直线x - 5y *1=0垂直.(1)求实数b,c的值； 求f (x)在-1,e( e为自然对数的底数)上的最大值； 对任意给定的正实数 a，曲线y = f(x)上是否存在两点 P,Q，使得.POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？21.(本小题满分14分)i 5 -已知函数 f(x) - -cosx , g(x)=2x-二，数列xn满足：x ：(,),16 6 一2 _ *g(Xn 1)f (Xn) (n N ).nn：(1)当时，求X2,X3

9、的值并写出数列焉的通项公式(不要求证明)；2求证：当x_0时，X乞f(x)空x ；X1+X2 -兀+JIX3+川+jiXn十2222求证:二(n N珠海市2009-2010学年度第二学期高考模拟测试理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.题号12345678答案DDCACBBC、填空题：本大题共 7小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分.题号9101112131415答案0.8-16072114328855853三、解答题：本大题共 6小题，满

10、分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. （本小题满分12分）如图，已知平面四边形 ABCD中， BCD为正三角形，AB=AD=2 ,. BAD =2二，记四边形 ABCD的面积为S.（1）将S表示为二的函数；（2）求S的最大值及单调增区间。解：在.ABD中，由余弦定理得 BD2 =8-8cos2=,1分 BD =4sin v 2分1 S 二 S abd S BCD = 2sin 2(8 - 8cos 2= )sin 3 分 S =2sin 20 _273cos2B+2苗=4sin(2 日上)+2府 5 分3， S = 4sin(2 T -)：23 ,；.二 0, 6 分3 I

11、2丿二 二 二 2 二(2)V 0, 一 2, 7 分I 2 丿 333当2即-时，S取得最大值，最大值为4 .3 9分3212JIJTJI5 JI由2得：0, 10分33212（5兀） S的单调增区间为.0, 11分I 12丿厂f 5兀） S的最大值为4,2、.3，单调增区间为0, 12分I 12丿17. （本小题满分12分）如图是两个独立的转盘 （A）、（B）,在两个图中的四个扇形区域的圆心角分别为60 120、90、90。用这两个转盘进行玩游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界 线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域数为 x，

12、转盘（B）指针所对的区域数为 y，x、y 1,2,3,4，设x y的值为，每一次游戏得到奖励分为.(A)(B)求x：3且y 2的概率；某人进行了 6次游戏，求他平均可以得到的奖解：由题意可知：1111P(X=1) ,P(X=2) ,P(x=3) ,P(x=4)：63441111P(y =1) ,P(y=2) ,P(y =3),p(y=4)； 2 分3446则 P(x 3) =P(x =1) + P(x=2)=丄2，5P(y 2P(y =3)p(y =4), 4分125所以 P(x：3,y 2) =P(x ：3)LP(y 2)。 5分24由条件可知的可能取值为：2、3、45、6、7、8，则： 6

13、分1 1 1P( =2) =P(x =1)p(y “)=3 618P(=3) =P(x=1)冲(y=2)+P(x=2)f(y=1) =扯+|_1=舟，7分同理可得：工5 事37 梵13卫15卫1八P( =4), P( =5),P(=6),P( =7), P( =8)，9 分151442924611分12分241447214424 的分布列为：2345678P11153713151187224144721442410分 他平均一次得到的奖励分即为的期望值：E =2 丄3耳4 卫5376 13718722414472所以给他玩6次，平均可以得到 6JE =29分。18.(本小题满分14分)如图，在

14、四棱锥P - ABCD中,PCD为等边三角形,四边形ABCD为矩形,平面PDC _平面ABCD ,M、N、E分别是AB、PD、PC中点,AB =2AD .(1)求证：DE _MN ;求二面角B - PA -D的余弦值.(1)证明：连结NE, EB/ ABCD为矩形，M、N、E分别是AB PD、PC中点1 1 NE/CD/AB，且 NE AB , MB AB ,2 2 NE/MB , NE =MB , 2分 MNEB是平行四边形 MN/BE , 3 分/ PCD是等边三角形， M、N、E是AB PD、PC中点,DE_PC , 4 分平面 PCD _ 平面 ABCD , BC _CD ,BC _

15、平面 PCD ,DE _ BC ,DE _平面PBC , 6分DE _ BE ,MN _DE , 7 分解：过B、D分别作BF _ PA于F、DG _ PA于G，连结BD。则向量GD、FB的夹角二就是二面角B-PA-D的平面角，8分设 AD =1,则 AB 二 DC 二 PD 二 PC =2, DG 2 , BF =一4一，FG.55,BD = 5,.510分由 BD = -FB FG GD 得:BD =(-FB FG GD)=FB2 FG2 GD2FB GD12分1即 BD2 =FB2 FG2 GD2 -2FB GDcos ,解得 cos 一 -13 分 41二面角B-PA_D的余弦值为 1

16、4分419.(本小题满分14分)在 MBC中，点A的坐标为(3, 0), | BC| 2 且两端点B , C在y轴上区间-3 , 3上滑动.(1)求 ABC的外心P (三边垂直平分线的交点)的轨迹方程； 设直线丨：y = 3x b与点P的轨迹交于E , F两点，原点O到直线I的距离为d ,试求b的值，使EF d最大并求该最大值.解: (1)设 P(x,y),不妨设 B(O,t),C(O,t-2)(-仁 t 乞 3) , 1 分由 J|PB|=|PC| 得x2+(yt)2=x2+(y1+2)2 (1)2 分U PA|=| PB|, (x -3)2 + y2 = X2 + (y -1)2 由(1)

17、得：y 1(3)将(3)代入(2 )化简得：y2=6x-8 , 4分由 t = y 1 及 -1 _t - 3 知：2 _y 2 , 5分 外心P的轨迹方程为：2y 6x 8(2 兰 y 兰 2 )。 6 分(2)设 Eg, yj、Fg y2)y =3x b2由:消 x 得：y2 _2y 2b 8 =0 (*) 7 分y =6x -8日由题意知：%、y是方程（*）在区间2,2上的两个不等实根，则:Z=4-4(2b 8) 02(-2) -2 (-2) 2b 8_0 ,22 -2 2 2b 8_0解得：一4 _ b ： -7 ,210分11分|EF| =（1 +占）（% +丫2）2 -4y2(十1

18、)?2 _4(2b+8) = 2J10(2b_7)12分.| EF |202b720b2-7 11lb 7丿丄一1 ?b 4取得最大值，最大值为-。d314分原点o到直线I的距离为d = |b| ,20.（本小题满分14分）已知函数心上* x2 bx calnx (x _ 1)（X ：1）的图象过点（-1,2），且在点（_1,f（_1）处的切线与直线x - 5y 1=0 垂直；（1）求实数b,c的值； 求f （x）在-1,e （ e为自然对数的底数）上的最大值； 对任意给定的正实数 a，曲线y = f （x）上是否存在两点 P,Q，使得 POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在

19、y轴上？解：(1)当 x 1 时，f (x) - -3x2 2x b , 1 分工 f (-1) =22-b c =2由题意得： ,艮卩，3分If(-1) = -5I-3-2+b = -5解得：b = c =0。 4分f x3 x2 (x 1)(2)由(1)知：f(x)(1、alnx(xX1)当 -1 一 x ： 1 时，f (X)- -x(3x - 2), 2 2解 f (x) 0 得 0 ： x ；解 f (x) ： 0 得-1 ： x 0或x : 13 31 2 f(x)在(-1,0)和(_,)上单减，在(0,_)上单增，2由 f(x) = _x(3x _2) =0 得：x=0 或 ,

20、5 分3f(一 1)=2, f(2)=27, f(0) =0, f(1) = 0,32 7 f(x)在-1,1)上的最大值为2。 6分当 1 _x _e时，f (x)二alnx ,当a0时，f(x)乞0 ；当a 0时，f(x)在1,e单调递增； f (x)在1,e上的最大值为a。 8分当a_2时，f(x)在-1,e上的最大值为a ；当a： 2时，f(x)在-1,e上的最大值为2。 9分(3 )假设曲线y = f(x)上存在两点P,Q满足题意，则P,Q只能在y轴两侧，不妨设P(t,f(t) (t . 0), 则 Q(-t,t3 t2)，且 t =1。/ POQ是以O为直角顶点的直角三角形 OPO

21、Q =0,即 _t2 f (t)(t3 t2)=0 (*) 10分是否存在P,Q等价于方程(*)是否有解。若 0 t .1，则 f(t) _ -t3 t2，代入方程(*)得:-t2(-t3 t2)(t3)=0, 即：t4-t2,1=0，而此方程无实数解，从而t 1, 11分 f(t) =alnt,代入方程(*)得：-t2 alntL(t3 )=0,1即： (t 1)ln t, 12 分a1设 h(x) =(x 1)ln x (x -1)，则 h(x) = Inx 10在1,恒成立，x h(x)在1,：)上单调递增，从而 h(x) _h(1) =0 ,则h(x)的值域为0,：)。1当a 0时，方程 (t 1)lnt有解，即方程(*)有解。a对任意给定的正实数a，曲线y = f (x)上总存在两点P,Q ,使得LIPOQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上。 14分 21.(本小题满分14分)二 5- 已知函数 f(x) - -cosx , g(x)=2x-二，数列xn满足：捲-,),2 * g(Xn J 二f (xn) (n N ),n(1) 当=2时，求x2,