高考二轮复习文科数学专题五空间几何体 点、直线、平面之间的位置关系

1、高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 专题五立体几何专题五立体几何 第一讲空间几何体第一讲空间几何体 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 考点整合考点整合 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 柱、锥、台、球的概念柱、锥、台、球的概念 考纲点击考纲点击 1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并 能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 2能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、棱柱等简 易组合)的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型， 会用斜二测法画出它们的直观图 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 基础梳理基础梳理 一、柱、锥、台、球的结构特征一、柱、锥、台

2、、球的结构特征 几何体几何特征图形 多 面 体 棱柱 有两个面_， 其余各面都是 _，并且每相 邻两个四边形的公共 边都_ 棱锥 有一个面是多边形， 其余各面都是 _的三角形 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 多 面 体 棱台 用一个_棱锥 底面的平面去截棱锥， _之间的部分， 叫做棱台 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 旋 转 体 圆柱 以_的一 边所在的直线为 _，其余 三边旋转形成的 面所围成的旋转 体叫做圆柱 圆锥 以_所在 的直线为旋转轴， 其余两边旋转形 成的面所围成的 旋转体叫做圆锥 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 旋 转 体 圆台 用一个_ 圆锥底面的

3、平面 去截圆锥， _之间的 部分，叫做圆台 球 以半圆的 _所在的 直线为旋转轴， 半圆面旋转一周 形成的旋转体叫 做球体 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 答案：答案： 互相平行四边形互相平行有一个公共顶点平行于 底面与截面矩形旋转轴直角三角形的一直角边平行 于底面与截面直径 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 整合训练整合训练 1(1)充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴轴 旋转而成，这个图形是() (2)在棱柱中，以下判断正确的是() a只有两个面平行 b所有的棱都平行 c所有的面都是平行四边形 d两底面平行，且各侧棱也互相平行 答案：(1)c(2)d 高考高考二轮二轮

4、数学（文科）数学（文科） 考纲点击考纲点击 三视图三视图 1会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间 图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式 2会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特 征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求) 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 基础梳理基础梳理 二、三视图二、三视图 1空间几何体的三视图包括_、_和 _ 2在三视图中，正(主)侧(左)一样_，正(主)俯 一样_，侧(左)俯一样_ 答案： 1.正(主)视图侧(左)视图俯视图 2高长宽 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 整合训练整合训练 2(2010年北京卷)一个长方体去掉一个小长

5、方体，所得 几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示，则该几 何体的俯视图为() 答案：c 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 考纲点击考纲点击 多面体与旋转体的表面积与体积的计算多面体与旋转体的表面积与体积的计算 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 三、表面积公式三、表面积公式 1多面体的表面积 多面体的表面积为各个面的_ 2旋转体的表面积 (1)圆柱的表面积s_； (2)圆锥的表面积s_； (3)圆台的表面积s(r2r2rlrl)； (4)球的表面积s_. 四、体积公式四、体积公式 1柱体的体积v_； 2锥体的体积v_；

6、3台体的体积v_； 4球的体积v_. 基础梳理基础梳理 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 1.面积之和 2(1)2r(rl) (2)r(rl) (4)4r2 四、1.sh 2.1 3sh 3. 1 3(s sss)h 4.4 3r 3 答案：答案： 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 整合训练整合训练 3(2010年浙江卷)若某几何体的三视图(单位：cm)如下 图所示，则此几何体的体积是() a.352 3 cm3 b.320 3 cm3 c.224 3 cm3 d.160 3 cm3 答案：b 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 高分突破高分突破 高考高考二轮二轮数学（文

7、科）数学（文科） 空间几何体的三视图空间几何体的三视图 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几 何体的表面积是() 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） a9 b10 c11 d12 思路点拨：思路点拨：本题可根据三视图确定原几何体及其有关 数据，然后由公式求得表面积 解析：解析：由三视图可得几何体是由一个底面半径为1， 高为3的圆柱及其上面的一个半径为1的球组成的 故其表面积为41221221312. 答案：答案：d 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 跟踪训练跟踪训练 1一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体 积为() a22 3 b42 3 c22 3 3 d

8、42 3 3 答案：c 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 几何体的表面积与体积几何体的表面积与体积 (2009年辽宁卷)正六棱锥pabcdef中，g为pb的中点， 则三棱锥dgac与三棱锥pgac体积之比为() a11 b12 c21 d32 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） bhabtan 30 3 3 ab， 而bd 3ab， 故dh2bh， 于是vdgac2vbgac2vpgac. 答案：c 解析：解析：由于g是pb的中点， 故pgac的体积等于bgac 的体积， 在底面正六边形abcdef中， 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 跟踪训练跟踪训练 2如下图，斜三棱

9、柱abca1b1c1的底面是rtabc，a 是直角，且bc1ac，作c1h底面abc，垂足为h. (1)试判断h点的位置，并说明理由； (2)若abac2，且三棱柱的高为 ，求三棱柱abc a1b1c1的体积 2 6 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 解析：解析：(1)a为直角，又caab，cabc1， ca平面c1ab， 平面c1ab平面cab. 在平面c1ab内作c1hab， c1h平面cab，h点在直线ba上 (2)h ， vabca1b1c1srtabch 1 2222 64 6. 2 6 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 球与多面体球与多面体 如图所示，在矩形abcd

10、中，ab4，bc3，沿对角线 ac把矩形折成如图所示，并且d点在平面abc内的射影落在 ab上 (1)证明：ad平面dbc； (2)若在四面体dabc内有一球，问当球的体积最大时， 球的半径是多少？ (3)求三棱锥dabc的体积 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 思路点拨：思路点拨：(1)由已知可得adcd，因此，要证ad 平面dbc，只需证明adbc或adbd即可 (2)要使球的体积最大，则该球与四面体dabc的各 面都相切 (3)可直接利用公式求三棱锥dabc的体积 解析：解析：(1)设d在平面abc内的射影为h，则h在ab上， 连接dh，则dh平面abc. 得dhbc， 又abb

11、c，abdhh， 则bc平面adb，故adbc. 又addc，dcbcc， 于是ad平面dbc. 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） (2)当球的体积最大时，易知球与三棱锥dabc的各面 相切，设球的半径为r，球心为o. 则vdabc1 3r(sabcsdbcsdacsdab) 由已知可得sabcsadc6. 过d作dgac，连接gh，可知hgac. 易得dg12 5 ，hg27 20，dh dg2hg23 7 4 ， sdab1 24 3 7 4 3 7 2 . 在dab和dbc中， 因为adbc，abdc，dbdb， 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 所以dabbcd，故sd

12、bc3 7 2 ， vadbc1 33 3 2 73 7 2 . 则r 3 (63 2 763 2 7)3 7 2 . 于是(4 7)r3 2 7，所以r 3 7 24 7 4 77 6 . (3)vdabcvadbc3 7 2 . 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 跟踪训练跟踪训练 3(2010年全国卷)已知在半径为2的球面上有a、b、c、 d四点，若abcd2，则四面体abcd的体积的最大值为() a. 2 3 3 b.4 3 3 c. 2 3 d. 8 3 3 答案：b 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 祝祝您您 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 专题五立体几何专

13、题五立体几何 第二讲点、直线、平面之间的位置关第二讲点、直线、平面之间的位置关 系系 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 考点整合考点整合 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 四个公理的应用四个公理的应用 考纲点击考纲点击 1理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作 为推理依据的公理和定理 公理1公理2公理3公理4 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分 别平行，那么这两个角相等或互补 2以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识 和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 基础梳理基础梳理 一、四个公理一、四个公理

14、1公理1如果一条直线上_在一个平面内，那 么这条直线在此平面内，此公理可以用来判断直线是否在平 面内 2公理2_的三个点，有且只有一个平面 3公理3如果两个不重合的平面有_公共点， 那么这两个平面有且只有一条_的公共直线 4公理4平行于同一条直线的两条直线_ 答案： 1.两点2.过不在一条直线上 3一个过该点4.互相平行 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 整合训练整合训练 1给出下列命题，正确命题的个数是() 梯形的四个顶点在同一平面内；有三个公共点的两个 平面必重合；三条平行直线必共面；每两条都相交且交点 不相同的四条直线一定共面 a1个b2个 c3个 d4个 答案：答案：b 高考高

15、考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 考纲点击考纲点击 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 1理解以下判定定理： 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那 么该直线与此平面平行 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行， 那么这两个平面平行 2理解以下性质定理，并能够证明 如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个 平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的 简单命题 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 基础梳理基础梳理 二、直线与平面的位置关系二、直线与平面的位置关系 条件结论 线

16、 面 平 行 判定定理 ab， _，_. a 性质定理 a， _，_. ab 线 面 垂 直 判定定理 m，n， mno， am，an. _ 性质定理a，b_ 答案：答案：abbaaab 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 整合训练整合训练 2(1)判断对错： ，aa() ，a，bab() ，aa() 夹在平行平面间的平行线段相等() 垂直于同一条直线的两条直线平行() a则a上任一点到的距离相等() 若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a与c平行或异 面() 一条直线与平面平行，则它与平面内的无数条直线平行 () ，则上任一点到的距离相等() 上有不共线的三点到的距离相等，则()

17、高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） (2)(2010年江西卷)过正方体abcda1b1c1d1的顶点a作直 线l，使l与棱ab，ad，aa1所成的角都相等，这样的直线l可以 作() a1条b2条 c3条d4条 答案：答案：(1)对，对，对，对，错，对，错，对，对，错 (2)d 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 考纲点击考纲点击 平面与平面的位置关系问题平面与平面的位置关系问题 1如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么该直线与此平面垂直 2如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平 面互相垂直 3如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们 的交线互相平行 4如

18、果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线 的直线与另一个平面垂直 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 基础梳理基础梳理 三、平面与平面的位置关系三、平面与平面的位置关系 条件结论 面 面 平 行 判定定理 a，b，abo， _，_. 性质定理 ， a，b _ 面 面 重 直 判定定理a，_. 性质定理 ，m. a，am _. 答案：答案：ababaa 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 整合训练整合训练 3(1)平面平面的一个充分条件是() a存在一条直线a，a，a b存在一条直线a，a，a c存在两条平行直线a，b，a，b，a，b d存在两条异面直线a，b，a，b，a，b (

19、2)(2010年四川卷)如图，二面角l 的大小是60，线段ab，bl，ab 与l所成的角为30.则ab与平面所成 的角的正弦值是_ 答案：(1)d (2) 3 4 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 高分突破高分突破 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 线线、线面关系线线、线面关系 正三棱柱a1b1c1abc中，点d是bc的中点，bc bb1. 设b1dbc1f. 2 (1)求证：a1c平面ab1d； (2)求证：bc1平面ab1d. 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 思路点拨：思路点拨：本题可先挖掘正三棱柱中有关的线面平行及垂 直关系，第一问可利用“线线平行”或“面面平行

20、”，第(2) 问可利用“线线垂直”来证“线面垂直” 解析：解析：(1)连接a1b，设a1b交ab1于e，连结de， 点d是bc的中点，点e是a1b的中点， dea1c， a1c平面ab1d，de平面ab1d， a1c平面ab1d. 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） (2)abc是正三角形，点d是bc的中点， adbc. 平面abc平面b1bcc1， 平面abc平面b1bcc1bc，ad平面abc， ad平面b1bcc1， bc1平面b1bcc1， adbc1. 点d是bc中点， bc 2bb1，bd 2 2 bb1， bd bb1 cc1 bc 2 2 ，rtb1bdrtbcc1， b

21、db1bc1c， fbdbdfc1bcbc1c90， bc1b1d， b1dadd，bc1平面ab1d. 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 跟踪训练跟踪训练 1(2009年广东卷)如下图所示，已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为2，点e是正方形bcc1b1的中点，点f、g分别是 棱c1d1，aa1的中点设点e1，g1分别是点e，g在平面dcc1d1内的 正投影 (1)求以e为顶点，以四边形fgae在平面dcc1d1内的正投影 为底面边界的棱锥的体积； (2)证明：直线fg1平面fee1； 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） (2)以d为坐标原点，da、dc、dd1所在直线

22、分别作x轴、y轴， z轴，得e1(0,2,1)、g1(0,0,1)，又g(2,0,1)，f(0,1,2)， e(1,2,1)，则 (0，1，1)， (1,1，1)， (0,1， 1)， 0(1)10， 0(1)10，即fg1fe，fg1fe1， 又fe1fef，fg1平面fee1. 解析：解析：(1)依题作点e、g在平面dcc1d1内的正投影e1、g1，则 e1、g1分别为cc1、dd1的中点，连线ee1、eg1、ed、de1，则所求 为四棱锥ede1fg1的体积，其底面de1fg1面积为 1 2 2 2 1 2122， 1111 e de fgde fg 12 vs. 33 1 ee 111

23、11 1 de fgrt e fgrt dg e sss fg1 fe fe1 fg1 fe1 又ee1面de1fg1，ee11， fg1 fe 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 2如右图，已知两个正方形abcd和dcef 不在同一平面内，m，n分别为ab，df的中点 (1)若cd2，平面abcd平面dcef，求直 线mn的长； (2)用反证法证明：直线me与bn是两条异 面直线 解析：解析：(1)取cd的中点g连结mg，ng. 因为abcd，dcef为正方形，且边长为2， 所以mgcd，mg2，ng . 因为平面mgcd，mg2，ng . 因为平面abcd平面dcef， 所以mg平面

24、dcef，可得mgng. 所以mn 2 2 mg2ng2 6. 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） (2)假设直线me与bn共面， 则ab平面mben，且平面mben与平面dcef交于en， 由已知，两正方形不共面，故ab平面dcef. 又因为abcd，所以ab平面dcef.而 en为平面mben与平面dcef的交线， 所以aben. 又因为abcdef， 所以enef，这与enefe矛盾，故 假设不成立 所以me与bn不共面，它们是异面直 线 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 线面、面面平行与垂直的证明问题线面、面面平行与垂直的证明问题 (2010年湖南卷)如图所示，在长方体a

25、bcda1b1c1d1中， abad1，aa12，m是棱cc1的中点 (1)求异面直线a1m和c1d1所成的角的正切值； (2)证明：平面abm平面a1b1m1. 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 由(1)知，b1m 2，又bmbc2cm2 2，b1b2， 所以b1m2bm2b1b2，从而bmb1m 解析：解析：(1)如题图所示，因为c1d1b1a1，所以ma1b1为 异面直线a1m与c1d1所成的角 因为a1b1平面bcc1b1，所以a1b1m90. 而a1b11，b1mbc2 1mc 2 1 2， 故tan ma1b1 b1m a1b1 2. 即异面直线a1m和c1d1所成的角的正

26、切值为 . (2) (2)证明：证明：由a1b1平面bcc1b1，bm平面bcc1b1，得 a1b1bm 2 又a1b1b1mb1，再由，得bm平面a1b1m，而 bm平面abm，因此平面abma1b1m. 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 跟踪训练跟踪训练 3如右图，在正三棱柱abca1b1c1 中，aa1aba，f、f1分别是ac、a1c1的 中点 求证：(1)平面ab1f1平面c1bf； (2)平面ab1f1平面acc1a1. 高考高考二轮二轮数学（文科）数学（文科） 证明：证明：(1)在正三棱柱abca1b1c1中， f、f1分别是ac、a1c1的中点， b1f1bf，af1c1f， b1f1面bfc1，af1面bfc1， 又b1f1af1f1，b1f1平面ab1f1，af1平面ab1f1， 平面ab1f1平面c1bf. (2)在正三棱柱abca1b1c1中，a