高中数学必修五知识讲解_一元二次不等式及其解法_基础

1、一元二次不等式及其解法编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想；2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系；3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：x2-5x0(a0)或ax2+bx+c0)的两根为x、x且x0的解1212集为xxx，不等式ax2+bx+c0的解集为xxx0)的两根为x、x且xx，设d=b2-4ac，它的解按1212照d0，d=0，d0)的图像与x轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三

2、种情况来讨论一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)或ax2+bx+c0)的解集.d=b2-4acd0d=0d0)的根x,x(x0）的图象有两相异实根有两相等实根1212122a无实根xxx12bax2+bx+c0(a0)的解集xx-2arax2+bx+c0)的解集xx1x0,d=0,d0与ax2+bx+c0)，计算判别式d：d0时，求出两根x、x，且xx（注意灵活运用因式分解和配方法）；1212d=0时，求根x=x=-12b2a；d0(a0)的过程开始将原不等式化成一般形式ax2+bx+c0(a0)=b2-4ac0?是求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2否方程ax2+bx+c=0没有

3、实数根要点诠释：1解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；.5若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数【典型例题】类型一：一元二次不等式的解法例1.解下列一元二次不等式（1）x2-5x0；（3）-x2+4x-50.【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答【解析】（1）方法一：因为d=(-5)2-410

4、=250所以方程x2-5x=0的两个实数根为：x=0，x=512函数y=x2-5x的简图为：因而不等式x2-5x0的解集是x|0x0x0方法二：x2-5x0x(x-5)0或x-50解得或x5x0x0，即0x5或x.因而不等式x2-5x0的解集是x|0x5.（2）方法一：因为d=0，方程x2-4x+4=0的解为x=x=2.12函数y=x2-4x+4的简图为：所以，原不等式的解集是x|x2方法二：x2-4x+4=(x-2)20（当x=2时，(x-2)2=0）所以原不等式的解集是x|x2（3）方法一：原不等式整理得x2-4x+50.因为d0，方程x2-4x+5=0无实数解，函数y=x2-4x+5的简

5、图为：所以不等式x2-4x+50的解集是.所以原不等式的解集是.方法二：-x2+4x-5=-(x-2)2-1-10且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3.当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.举一反三：【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型一一元二次不等式的解法】x2+2x,x0,【变式1】已知函数f(x)=-x2+2x,x3x3,解得：x1.故原不等式的解集为x|x1【变式2】（2015重庆）函数f(x)=log(x2+2x-3)的定义域是（）2a.-3,1b.(-3,1)c.(-，-31.+)d.(-，-3)(1.+)【答案】由

6、题意得：x2+2x-30，即(x-1)(x+3)0解得x1或x0；（3）x2-(a+1)x+a0；【思路点拨】解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；【解析】(1)x2-2ax+a2-10(x-a)-1(x-a)+10a-1xa+1原不等式的解集为x|a-1xa+1.(2)=a2-4或x0，即a2或aa+a2-4a-a2-422当=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为x|xa2.当0，即-2a2时，原不等式的解集为r.（3）(x-1)(x-a)1时，原不等式的解集为x|1xa当a1时，原不等式的解集为x|ax1当a=1时，原不等式的解集为f.【总结升华】对含字母的二元

7、一次不等式，一般有这样几步：定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；.求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论举一反三：【变式1】解关于x的不等式：x2-(a+1a)x+10(a0)【答案】原不等式化为(x-a)(x-a=1或a=-1时，解集为；1a)0当0a1或a-1时，a11，解集为：x|ax1或-1a，解集为：x|x0（ar）【答案】x2-(a+a2)x+a30(x-a)(x-a2)0当a0或a1时，解集为x|xa2；当a=0时，解集为x|x0；当0a1时，解集为

8、x|xa；当a=1时，解集为x|x1；【变式3】（2015春房山区校级期中）解关于x的不等式56x2+axa20。【答案】aa56x2+axa20，(7x+a)(8xa)0，即x-(-)(x-)0。78当a=0时，-aa=，不等式化为x20，解得x。78aaaa当a0时，-，不等式解集为x|-x，不等式解集为x|a0(x-)(x-1)0x或x1；aaaa111若a0，原不等式x2-(1+)x+0(x-)(x-1)0，aaa1其解的情况应由与1的大小关系决定，故a（1）当a=1时，原不等式x；1（2）当a1时，原不等式x1；a（3）当0a1时，原不等式1x综上所述：1a当a0，解集为x|x1；a

9、当a=0时，解集为x|x1；1当0a1时，解集为x|1x；a当a=1时，解集为；当a1时，解集为x|1x0，2，即0a0，2，即a=时，xr；若a0，时，x(-,u2,+).当a0时，则有：0时，111时，x(-,2u,+)；a2a11a2111a2a112aa【变式2】解关于x的不等式：ax22x-10时，则0，x(-1-1+a-1+1+a,).aaa0时，若a0，即a-1时，xr；若a0，即a=-1时，xr且x1；若a0，即-1a0时，x(-,-1+1+a-1-1+a)u(,+).aa【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型二含参数的一元二次不等式的解法】【变式3】求不等式12x

10、2axa2(ar)的解集【答案】当a0时，不等式的解集为x|x；当a0时，不等式的解集为x|x-.aaa43当a0时，不等式的解集为x|xr且x0；a34类型三：一元二次不等式的逆向运用例4.不等式x2+mx-n0的解集.【思路点拨】由二次不等式的解集为(4,5)可知：4、5是方程x2+mx-n=0的二根，故由韦达定理可求出m、n的值，从而解得.【解析】由题意可知方程x2+mx-n=0的两根为x=4和x=5由韦达定理有4+5=-m，45=-nm=-9，n=-20nx2+mx-10化为-20x2-9x-10，即20x2+9x+1011(4x+1)(5x+1)0，解得-x0的解集为(-,-).45

11、.【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键.举一反三：【变式1】（2015浙江校级模拟）设关于x的不等式(ax-1)(x+1)0(ar)的解集为x|-1x1,则a的值是（）a.-2b.-1c.0d.1【答案】关于x的不等式(ax-1)(x+1)0(ar)的解集为x|-1x0的解为-11x0.3211211c【答案】由韦达定理有：-+=-，-=，a=-12,c=2.32a32a代入不等式-cx2+2x-a0得-2x2+2x+120，即x2-x-6

12、0，(x-3)(x+2)0，解得-2x0的解集为：(-2,3).【变式3】已知关于x的不等式x2+ax+b0的解集.-a=1+2a=-3【答案】由韦达定理有：，解得,代入不等式bx2+ax+10得b=12b=22x2-3x+10，即(2x-1)(x-1)0，解得x1.2(1,+).1bx2+ax+10的解集为：(-,)类型四：不等式的恒成立问题【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型三不等式恒成立的问题】例5.已知不等式ax24xa12x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围【思路点拨】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为r，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。【解析】原不等式等价于(a2)x24xa10对一切实数恒成立，显然a2时，解集不是r，因此a2，a+20,从而有d=42-4(a+2)(a-1)-2,整理，得d=(a-2)(a+3)0.解得a2.故a的取值范围是(2，)【总结升华】当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论.举一反三：【变式1】已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+30对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5若m=1，则不等式化为30