高中数学曲线与方程

1、9.9曲线与方程一、填空题1方程(xy)2(xy1)20表示的是_xy0，解析(xy)2(xy1)20xy10，x1，y1x1，或y1.故此方程表示两个点答案两个点2方程|y|11x2表示的曲线是_解析|y|10原方程等价于1(x1)20(|y|1)21(x1)2mq得xx0(x0x)，(0)，由pm|y|10(x1)2(|y|1)21y1y1或(x1)2(y1)21(x1)2(y1)21答案两个半圆3.动点p到点f(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点p的轨迹方程为_解析考查抛物线定义及标准方程,知p的轨迹是以f(2,0)为焦点的抛物线,p=2,所以其方程为y2=8x.答案y2

2、=8xpm4设p为圆x2y21上的动点，过p作x轴的垂线，垂足为q，若mq(其中为正常数)，则点m的轨迹为_解析设m(x，y)，p(x0，y0)，则q(x0,0)，yy0y数学x0x，y0(1)y.由于x20y201，x2(1)2y21，m的轨迹为椭圆答案椭圆5.设p为双曲线x2-y2=1上一动点,o为坐标原点,m为线段op的中点,则点m4的轨迹方程是.解析设m(x,y),则p(2x,2y)代入双曲线方程即得答案x2-4y2=16如图所示，一圆形纸片的圆心为o，f是圆内一定点，m是圆周上一动点，把纸片折叠使m与f重合，然后抹平纸片，折痕为cd，设cd与om交于点p，则点p的轨迹是_解析由条件知

3、pmpf.popfpopmomrof.p点的轨迹是以o、f为焦点的椭圆答案椭圆若abc的顶点a(5,0)、b(5,0)，abc的内切圆圆心在直线x3上，则顶点c的轨迹方程是_解析如图adae8，bfbe2，cdcf，所以cacb826.根据双曲线定义，所求轨迹是以a、b为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x2y29161(x3)9y2答案x2161(x3)y28对于曲线c：x24kk11，给出下面四个命题：数学2曲线c不可能表示椭圆；当1k4时，曲线c表示椭圆；若曲线c表示双曲线，则k1或k4；5若曲线c表示焦点在x轴上的椭圆，则1k.其中所有正确命题的序号为_4k0，解析根据椭圆和双曲线

4、的定义，可得当k10，4kk1，即k1，2k5aa2在abc中，a为动点，b、c为定点，b，0，c，0(a0)，且满足条件sincsinbsina，则动点a的轨迹方程是_解析由正弦定理得abac1bc，abacbc，由双曲线的定义知动点a的轨迹为双曲线右支时，表示椭圆；当k4时，表示双曲线答案2122r2r22r12答案16x216y2a23a21(x0且y0)10已知p是椭圆1(ab0)上的任意一点，f、f是它的两个焦点，o为坐标原点，pfpf，则动点q的轨迹方程是_oq解析由oqpfpf，又pfpf22，pmpoop设q(x，y)，则(x，y)，11xyxy22x2y2a2b2121212

5、12opoq2222即p点坐标为，又p在椭圆上，数学22a2b24a24b2xy22则有1，即x2y21(ab0)4a24b2x2y2答案1(ab0)11已知两条直线l：2x3y20和l：3x2y30，有一动圆(圆心和半12径都动)与l、l都相交，且l、l被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心1212的轨迹方程是_解析设动圆的圆心为m(x，y)，半径为r，点m到直线l，l的距离分别为d121和d.2由弦心距、半径、半弦长间的关系得，2r2d2126，2r2d2224，r2d21169，即r2d22144，消去r得动点m满足的几何关系为d22d2125，即x2yx3y13213225.12直

6、线1与x、y轴交点的中点的轨迹方程是_a2a中点为m(x，y)，则x，y1，消去a，得xy1，a0，a2，x0，化简得(x1)2y265.此即为所求的动圆圆心m的轨迹方程答案(x1)2y265xya2axy解析(参数法)设直线1与x、y轴交点为a(a,0)、b(0,2a)，a、baa22x1.答案xy1(x0，x1)13到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一数学条直线的平面内的轨迹是_解析在边长为a的正方体abcdabcd中，dc与ad是两条相互垂直的异面直111111线，平面abcd过直线dc且平行于ad，以d为原点，分别以da、dc为x轴、y11轴建立平面直角坐

7、标系，设点p(x，y)在平面abcd内且到ad与dc之间的距离11相等，|x|y2a2，x2y2a2，故该轨迹为双曲线15如图，椭圆c：x2答案双曲线二、解答题14.求过直线x-2y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且满足下列条件之一的圆的方程:(1)过原点;(2)有最小面积.解析设所求圆的方程是x2+y2+2x-4y+1+l(x-2y+4)=0,即x2+y2+(2+l)x-2(2+l)y+1+4l=0.(1)因为圆过原点,所以1+4l=0,即l=-1.4故所求圆的方程为x2+y2+7x-7y=0.42(2)将圆系方程化为标准式,有:(x+2+l)2+(y-2-l)2=5(l+

8、2)2+4.2455当其半径最小时,圆的面积最小,此时l=-2为所求.5故满足条件的圆的方程是(x+4)2+(y-8)2=4.555点评:(1)直线和圆相交问题,这里应用了曲线系方程,这种解法比较方便;当然也可以用待定系数法.(2)面积最小时即圆半径最小;也可用几何意义,即直线与相交弦为直径时圆面积最小.y21641的右顶点是a，上、下两个顶点分别为b、d，四边形oamb是矩形(o为坐标原点)，点e、p分别是线段oa、am的中点数学k，k满足kk，求证：直线rs过定点，并求出此定点的坐标所以直线de的方程为yx2，直线bp的方程为yx2.(1)求证：直线de与直线bp的交点在椭圆c上；(2)过

9、点b的直线l，l与椭圆c分别交于点r、s(不同于点b)，且它们的斜率12112124解析(1)由题意，得a(4,0)，b(0,2)，d(0，2)，e(2,0)，p(4,1)14yx2，解方程组1y4x2，5x16，得5y6.所以直线de与直线bp的交点坐标为，.25516455所以点，在椭圆1上164166551662因为1，166x2y2164即直线de与直线bp的交点在椭圆c上(2)设直线br的方程为ykx2.1yk1x2，y解方程组x221，x16k，14k或y28k，14kx0，得y221211211628k214k214k2所以点r的坐标为，1.11数学因为kk，所以直线bs的斜率k

10、.直线bs的方程为y1x2.1121244k14k1解方程组xy1，x16k，14ky8k2.14k1y4kx2，122164x0，得y2或211212116k114k2.14k2所以点s的坐标为1，8k2211的椭圆，其左焦点为f.若点p是圆o上的一点，连接pf，过原点o作直线pf所以点r，s关于坐标原点o对称故r，o，s三点共线，即直线rs过定点o.16已知圆o：x2y22交x轴于a、b两点，曲线c是以ab为长轴，离心率为22的垂线交椭圆c的左准线于点q.解析(1)因为a2，e2，所以c1.则b1，即椭圆c的标准方程为y21.(1)求椭圆c的标准方程；(2)若点p的坐标为(1,1)，求证：

11、直线pq与圆o相切；(3)试探究：当点p在圆o上运动时(不与点a、b重合)，直线pq与圆o是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由2x221(2)因为p(1,1)，所以kpf2，所以koq2，所以直线oq的方程为y2x.又椭圆的左准线方程为x2，所以点q(2,4)所以kpq1.又kop1，所以kopkpq1，即oppq，故直线pq与圆o相切数学设p(x，y)(x0，1)，则y22x2，所以kpfyx1，koq0y(3)当点p在圆o上运动时，直线pq与圆o保持相切证明如下：00000000x1.所以直线oq的方程为y0x1y0x.所以点q2，.y2x200yyx2y2xy0，又k

12、op0，xyyx所以kpq02x2000000x0x22xxy000000所以kopkpq1，即oppq，故直线pq始终与圆o相切17如图，在直角坐标系中，a、b、c三点在x轴上，原点o和点b分别是线段ab和ac的中点，已知aom(m为常数)，平面的点p满足papb6m.(1)试求点p的轨迹c的方程；1(2)若点(x，y)在曲线c上，求证：点3，221xy一定在某圆c上；2(3)过点c作直线l与圆c相交于m、n两点，若点n恰好是线段cm的中点，试2求直线l的方程解析(1)由题意可得点p的轨迹c是以a、b为焦点的椭圆，19m28m2且半焦距长cm，长半轴长a3m，则c的方程为1x2y21.9m2

13、8m2322(2)若点(x，y)在曲线c上，则1则x3x，y22y.00x2y2xy1.设x，y，009m28m2代入x2y21，得x2y2m2，00所以点3，22xy一定在某一圆c上2(3)由题意，得c(3m,0)数学x3my12x3my42，得a.圆心m到y轴的距离da，由rd222r2222x4x4x4x44164所以动点p的轨迹方程是x2设m(x，y)，则x2y2m2.1111因为点n恰好是线段cm的中点，所以n1，.代入c的方程得1212m2.2联立，解得xm，y0.11故直线l有且只有一条，方程为y0.18在平面直角坐标系xoy中，已知定点a(4,0)，b(4,0)，动点p与点a、b1连线的斜率之积为.(1)求点p的轨迹方程；(2)设点p的轨迹与y轴负半轴交于点c，半径为r的圆m的圆心m在线段ac的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆m被y轴截得的弦长为3r.求圆m的方程；当r变化时，是否存在定直线l与动圆m均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，请说明理由解析(1)设p(x，y)，则直线pa、pb的斜率分别为yyk，k.12yy1x2y2由题意，知，即1(x4)y21641(x4)(2)由题意，得c(0，2)，a(4,0)，所以线段ac的垂直平分线方程为y2x3.