甘肃省兰州市第一次诊断考试(数学文)doc

1、兰州市2010年高三诊断考试试卷数学（文科）注意事项：1 .本试卷分第1卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。2 .本卷满分150分，考试用时120分钟。3 .答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。参考公式：如果事件A、B互斥，那么執黑片严的+徴即如果事件A、B相互独立，那么球的表面积公式其中R表示球的半径球的体积公式其中R表示球的半径如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件 A恰好发生K次的概率第1卷（选择题，共60 分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符 合题目要求的.已知集合 M列打 =N = jcIx2-x0

2、,=A.仪|一1 B.c.D. 7（M2-当0al时，在同一坐标系中，函数的图象是3. 若向量与向量垂直，其中向量交曲,则实数x的值为A. -2 B. -1 C. 1 D.24. 已知双曲线的离心率为e,则抛物线的焦点为，则p的值为A .-2B.-4 C.2 d.45. 己知直线线，平面 声，有以下命题：. 朋丿丄人且個、ncza，贝y /丄。照話型：冷罟症：且刊.:J炒 贝y 齐若平面a内不共线的三点到平面 的距离相等，则 ，丁药则正确命题有A.O个 B. 1个C. 2个 D. 3个6.若称 鼻皿严“为n个正数，则的“均倒数”，数列 的各项均为正，且其前n项的“均倒数”为，则数列的通项公式为

3、A.2 n-1 B.4n-3C.4n -1 D.7 .某位高三学生要参加高校自主招生考试，现从 考试时间相同.则该学生不同的报名方法种数是A. 12B. 15C. 16&把一枚骰子投掷两次，第一次出现的点数记为4n-56所高校中选择3所报考，其中两所学校的D. 20a,第二次出现的点数记为b.设事件A“方程组ax+by = 5+= l只有一组解”，则事件A发生的概率等于丄丄丄A.B.c.D.9. 若函数对任意实数X都有A. -3B. 0C. 3D. 310己知奇函数在为减函数，且，则不等式的解集为A.x|-3x-UB.j | -3 x 2C.i! -3 x 3D.11 .设二兀一次不等式组 的

4、取值范围是A.C.B.D.，+*)所表示的平面区域为M.若曲线总经过区域M，则实数a12 .已经点-r-7T = l(d0,t0(-3,1 )在双曲线的左准线上，过点 P且方向向量为的光线，经直线y=-2反射后通过双曲线的左焦点，则该双曲线的离心率A.B.C. D.第n卷（非选择题，共 90分）二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分13。1-疔的展开式中含 项的系数等于28,则n=14 学校为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学（其中男同学 30名，女同学20名）采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，女同学甲被抽到的概率为 15 .在半径为R的球面上

5、有不同的三点 A、B、C,已知A、B、C三点中任意两点的球面距离均为亍“.0为球心，则三棱锥 O 一 ABC的体积为16 已知某河流的一段西岸边是直线段 I，东岸边是曲线段 PQ,如图，在河岸东部有 A B两地，其中A地距西岸边pkm , B地在A地的北偏东30方向2pkm处，河流的东岸边 PQ （曲线）上任意一点到 A地 的距离等于到河西岸边的距离.现要在河东岸曲线PQ上选一处M建一座码头，向 A、B两地转运货物经测算，从 M到A、B修建公路的费用分别是a万元/ km，那么修建这两条公路的总费用最低是 万元三、解答题：本大题共 6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17

6、.（本小题满分IO分）在厶ABC中，a, b , c分别是角A, B, C的对边，A为锐角，已知向量p = cos= （2sintl-cQ$2）*r2且pg .（I）求角A的大小。（II）求函数18 .（本小题满分12分）已知在各项不为零的数列中,（I）求数列的通项；(n)若数列满足，求数列的前n项和为19 .(本小题满分12分)在美化校园的植树活动中，某同学共种了6棵树，各棵树的成活与否是相互独立的2每棵树成活的概率均为 p.已知该同学所种树中有3棵成活的概率为.(I) 求p的值；(II) 若有3棵或3棵以上的树未成活，则需要补种，求需要补种的概率；20 .(本小题满分12分)如图.在四棱锥

7、 S - ABCD中，底面 ABCD是正方形，SA丄底面 ABCD, SA= AB点M是SD上的点，AM与BC所成的角为，AN丄SC垂足为点N.(I) 求证：SB /平面 ACM ;(II) 求直线AC与平面SDC所成的角；21。(本小题满分12分)设函数(I)如果a=1，点p为曲线上一动点，求以点 p为切点的切线斜率最小时的切线方程;(n )若讥仏;时，恒成立，求a的取值范围。22。(本小题满分12分)已知椭圆的方程为，双曲线 的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别为 味的左、右焦点。(I)求双曲线的方程;(n )若直线与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且I与 的两个交点 A和

8、B满足 tw/ (期中0为原点)，求实数K的取值范围。2010年高三诊断数学试题（文科）参考答案一、选择题（本题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题 目要求的）题号123456789101112答案BCBDBBCCDDBA二、填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分.）13. 814. -15. 2 R351216. 2pa 解：依题意知PMQ曲线是以A为焦点、丨为准线抛物线的一部分，如图（图略）建立平面直角坐标系，则该曲线的方程为y2 =2px，点B的坐标为（3p,3p）。则修建这条公路的总费用2W =a（| MA| MB |）,设点B、M在

9、抛物线准线上的射影分别为点B、M1，根据抛物线的定义有|MM1 hl MA|，所以W=a（|MA| |MB|）=a（|MM1|MB|）_|BB1|当且仅当点M为线段BB1与曲线PQ的交点时取等号，故 W的最小值是2 pa万元.三、解答题（本大题共 6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.解：(I)由 p / q 得 1 -cos2A = 3sin A，所以 2sin2 A=t3sin A又A为锐角（n ）由（I）及条件得f(x)二 cosAcos2x sin 2x2cos2x si n2x2 2ji=cos(2x - )当x时，f (x)取得最大为值1. 10分618

10、.解：(I)依题意，a.=0，故可将anananan=0(n_2)整理得：=1(n _2)an A11所以 11 (n 1) = n 即 an ：ann1n =1,上式也成立，所以an =丄n(n)t bn pan 11 1 1 1 1X = = n n 1 n(n 1) n n 111 11 11 1 sr 6 戈.|曲=(1-2)(3蔦)川(n=112分19.解：(I)：各棵树成活与否是相互独立的，每棵树成活的概率均为p Ce p3(1 - p)35 3 分161解得p 5分2(n)记“需要补种”为事件A，则包括有A : 3颗未成活、 A :有4颗未成活、 A :有5颗未成活、A :有6颗

11、未成活共四种情况.3 1 3 1 3p(a)=c；(2)3(2)3P(A) =Ce5(1)5(1)12 220 15 6 1- P(A)=64嚅，P(A2)心2)4(2)2 三，呐)心2疋)。32! = 15_ 64丄64兀20.解法一：依题意有 AD / BC，所以.MAD二一4所以点M是SD的中点，且AM _ SD(I)证明：连结 BD交AC于E，连结ME .7分10分12分3分4分V ABCD是正方形， E是BD的中点.7M是SD的中点， ME是 DSB的中位线 ME /SB.5分又 ME 二平面 ACM , SB 二平面 ACM SB / 平面 ACM .6 分(n)由题可得， CD

12、_平面SAD，所以有CD _ AM 又SD _ AM2 AM 平面 SCD , . ACM为直线AC与平面SDC所成的角在 Rt . ：AMC 中，AM=SD AD , AC = i, 2 AD 2 2Tt . ACM，即直线AC与平面SDC所成的角为6(川) AM 平面 SCD AM _ SC 又 AN SC _ 平面 AMN10分 sc 二平面 SAC平面SAC _平面AMN解法二：依题意有 AD / BC ,所以.MAD二一4所以点M是SD的中点，且AM _SD如图，以A为坐标原点,建立空间直角坐标系 0 - xyz ,由 SA = AB 故设 AB = AD = AS =1 则A(0,

13、0,0), B(0,1,0), C(1,1,0),1 1D(1,0,0), S(0,0,1), M(,0,)2 2 1 1(I)连结 BD交 AC于 E,则 E( , ,0)2 21 1- SB=(0,1,-1),ME =(0,-，-一)2 2y SB / ME SB/ 平面 ACM(n)由题可得， CD _平面SAD，所以有CD _ AM又SD _ AM AM 平面SCD AM为平面SCD的一个法向量3海 AM,AC西C1| AM | | AC| 2: AM , AC -3直线AC于平面SDC所成的角为-236(川)丁 AM = ,0, , CS = -1,1,1 ,12 2丿1 1.AM

14、CS02 2.AM _ CS 又;SC _ AN 且 AN n AM 二 A.SC_平面AMN 又SC二平面SAC,平面SAC丄平面AMN 12分21 解：(I) i f(X)= X -2X -3 =(X 1) 4 f(X)min - -4，此时 x =,又B =,2020f (1)切线方程为:y4(x-1),即 12x 3y 8=0 5 分33(n)由 f (x) =x 2-2x -3 一0 知 x_3 或 x 乞-1,. f(x)在(-二，-1和3, ：)上递增,在-1,3上递减.：x a,3a,且a 0 当3a _ 3即0 : a _1时(x)min 二 f (3a) =9a3-9a2-

15、12a 一0,. a_357 或.a 576 6这与0 ： a _ 1矛盾.当a 3即1 3f (X)min 二 f(3),即 3 a 岂0不可能.当 a_3, f (X)在a,3a上递增3a 2f(x)min 二 f(a)a-6a -0,即a -3a-18-0, a-6或a 乞-3(舍)11分综上所述,a,3a时，f(x) 一0恒成立，则a的取值范围是6, ：)12分2 222.解：(I )依题意设双曲线C2的方程为 笃爲=1，则a2 =4-1 = 3，再由a2 b2 =c2得b2 = 1 a b2故C2的方程为-y2 =1 4分32(n)将 y = kx 2 代入 x y2 = 1 得(V 4k2) x2 8、2kx 4 = 04由直线I与椭圆C恒有两个不同的交点得: :1 =(8、2)2k2-16(1 4k2) =16(4k2-1) 02将 y 二kx .2代入-y2 =1 得(1-3k2)x2 -6、,2kx-9 = 0 3由直线I与双曲线C2恒有两个不同的交点代B故1 -3k -0：2 =(-6、2k)236(1 -3k2) =