电路分析基础第8章 一阶电路分析

1、l重点： 1、零输入响应、零状态响应 2、三要素法 第8章 一阶电路分析 N C + _ C us R 8.1 RC电路 一、零输入响应 + _ U0 + _ uc R C t=0 换路后外加激励为零，仅由动态元 件初始储能所产生的电压和电流。 根据换路定律可知 uC (0+) = uC (0)= U0 uC(0)=U0 等效 t=0+时刻等效电路 + _ uc R C i 0 )0( 0 d d Uu u t u RC C C C RC s 1 特征根特征方程RCs+1=0 t RC st C eetu 1 KK 则齐次微分方程的通解为 0 CR uu t u Ci C d d 根据KVL

2、电路中电流 电阻电压 dt du RCRiu C R 常系数线性一阶齐次微分方程 代入初始值 uC (0+)=uC(0)=U0 K=U0 0 0 0 teIe R U R u i RC t RC t C 0 1 0 teUtu t RC c t RC c etu 1 K RC t RC t C e R U RC eCU t u Ci 0 0 ) 1 ( d d 或或 t U0 uC 0 I0 t i 0 （1）电路中电压、电流均以相同指数规律变化； 结论 连续 函数 跃变 令 =RC , 称 为一阶电路的时间常数 （2）电压、电流变化快慢与RC有关； 时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长

3、短 大 过渡过程时间长 小 过渡过程时间短 U0 t uc 0 小 大 工程上认为, 经过 35, 放电过程基本结束。 ：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。 U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 t 0 2 3 5 t c eUu 0 U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 + _ + _ uc t=0 11V 6 51/5F 例 t=0时,开关打开，求 (1) uC(t); (2) iC(t); (3)WC(t=1)。 解 uC(0)=5V 由换路定律得 + _ uc 51/5F ic t=0+时刻 等效电路 0

4、)0( 0 d d Uu u t u RC C C C uC (0+) = uC (0)=5V 0 V50 1 teeutu t t Cc 电路方程 0A1 te dt du Cti tC C J 2 5 2 5 2 1 1 2 11 2 eetCutW t t tCC 二、零状态响应动态元件初始能量为零，由t 0电路中 外加输入激励作用所产生的响应。 uC (0+) = uC (0)= 0 + _ Us + _ uc R C t=0 + _ Us + _ uc R C t=0+时刻等效电路 0)0( d d C sC C u Uu t u RC 常系数线性一阶非齐次微分方程 RC s 1 特

5、征根特征方程RCs+1=0 t RC st Ch eetu 1 KK 则齐次微分方程的通解为 设非齐次微分方程的特解为 A tuCp 代入一阶非齐次微分方程中得 s AU uC (0+)=K+US= 0 K= US 由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 K RC t SCpChC eUtututu K)()()(全解 )0( )1( teUeUUtu RC t S RC t SSC 0 d d C te R U t u Ci RC t S )0( )1( teUeUUu RC t S RC t SSc RC t S e R U t u Ci d d C t i R US 0 US t u

6、c 0 （1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数； 从以上式子可以得出： 连续 函数 跃变 （2）零状态响应变化的快慢，由时间常数RC决定；大， 充电慢，小充电就快。 电路的初始状态不为零，同时又有外 加独立源作用时电路中引起的响应。 三、全响应 + _ C Us R + _ uC 假设 uC (0+) = U0 0 )0( d d Uu Uu t u RC C sC C RC s 1 特征根特征方程RCs+1=0 t RC st Ch eetu 1 KK 则齐次微分方程的通解为 微分方程 设非齐次微分方程的特解为 A tuCp 代入一阶非齐次微分方程中得 s AU uC (0+)=K

7、+US=U0 K= U0 US 由起始条件 uC (0+)=U0 定积分常数 K RC t SCpChC eUtututu K)()()(全解 RC t SSC eUUUtu 0 强制响应 （稳态解） 固有响应 或自由响应 （暂态解） uCh -USU0 暂态解 uCpUS 稳态解 U0 uc 全解 t uc 0 （1） 着眼于电路的两种 工作状态 零状态响应零输入响应 )0()1( 0 teUeUtu tt SC (2). 着眼于因果关系 便于叠加计算 t uc 0 US 零状态响应 全响应 零输入响应 U0 + _ 9V + _ uc t=0 + _4V t=0 iR F 8 1 6 3

8、3 + _ 9V + _ uc iR F 8 1 6 3 + _ 3V + _ uc F 8 1 2 例 求 (1) uC(t); (2) iR(t); 解 (1)由换路定律得 (2)t=0+时刻等效电路 uC (0+) = uC (0)=2V 等效 RC t SSC eUUUtu 0 V2)0( 0 C uU 0 V3)( 4 tetu t C sRC 4 1 8 1 2 V3 S U + _ 9V + _ uc iR F 8 1 6 3 i1 iC 0 A 6 1 1 3 )()( 4 1 te dt tdu C tu tititi t CC CR 验证： A 6 7 0 R i + _

9、3V + _ uc F 8 1 2 1:10 + _ 3V 1 + _ u1 i1 + _ u2F 100 1 t=0 作业8.1 求 uC(t); + _ 12V + _ uc 1A t=0 F 16 1 6 12 4 求 u1(t); u2(t); i1(t); 作业8.2 8.2 RL电路 一、全响应 等效 N L SLR Iii 根据KCL + _ L uL R ISiR dt di R L Rdt di L R u i LLL R 1 0 )0( d d Ii Ii t i R L L sL L 常系数线性一阶非齐次微分方程 特征根 特征方程 t st Lh eeti 1 KK 则齐

10、次微分方程的通解为 设非齐次微分方程的特解为 A tiLp 代入一阶非齐次微分方程中得 s AI 01 s R L RL s 1 为时间常数为时间常数令令 R L K= I0 IS 由起始条件 iL (0+)=I0 定积分常数 K t SLpLhL eItititi K)()()(全解 t SSL eIIIti 0 t S tt SSL eIeIeIIIti 0 0 1 强制响应 （稳态解） 固有响应 或自由响应 （暂态解） 零状态响应零输入响应 例 求 (1) iL(t); (2) uL(t); 解 + _ + _ iL t=0 3V 3 51H uL iL (0+) = iL(0) = 1

11、 A 0 A 5 1 0 teeIti t t L s R L 5 1 0 V5 5 te dt di Ltu tL L + _ 8V + _ uL 0.5A t=0 8 8 1H i iL 例 求 (1) iL(t); (2) uL(t); （3） i(t); 解 iL (0+) = iL(0) = 1 A + _ 8V + _ uL 0.5A 8 8 1H i iL 1.5A 4 1H + _ uL iR s R L 4 1 则则 换路后电路 0 A5 . 05 . 15 . 115 . 1 44 0 tee eIIIti tt t SSL + _ 8V + _ uL 0.5A 8 8 1

12、H i iL 0 V2 4 te dt di Ltu tL L 0 A 4 1 1 8 8 4 te tu ti tL 则则 作业8.3 求 i1(t); i2(t); 2:1 + _ 5V 10 + _ u1 i1 + _ u2 t=0 i2 1H 1H 1:25 + _ 3V 5 F 6250 1 6.25 + _ 75V F 6250 1 5625 例 照相机闪 光灯的工 作原理 快门未按下，充电时间 快门按下， RC电路零输 入响应，放 电时间 6.25 F 6250 1 + _ 75V s RC 5 . 0 6250 1 6255 s5 . 25 . 055 sRC 1000 1 6

13、250 1 25. 6 t t c eeUtu 1000 1 0 75 W90025. 6752 2 Rup 一阶电路的数学模型是 一阶微分方程： t eftf K)()( 0f Atf td tfd 其全解形式可变为： 8.3 三要素法 0 )0( d d Ii Ii t i R L L sL L 0 )0( d d Uu Uu t u RC C sC C Aetftftf t ph K)( 全解为： 如果0，当t时： 0K t h etf fAtf p RC RL 令 t = 0+K)()0( ff)()0(K ff t effftf )()0()()( t effftf )()0()()

14、( 1. 初始值 f(0+) 的计算 2. 直流稳态值 f()的计算 3. 时间常数的计算 直流激励下一阶电路的全响应取决于f (0+)、 f ()和 这三 个要素。只要分别计算出这三个要素，就能够确定全响应。 （1）由 t = 0- 的电路(L短路，C开路)算出 uc(0-) 或 iL(0-)； （2） 根据uc 或 iL 不跃变，则 uc(0+) = uc(0-)，iL(0+) = iL(0-)； （3）若要算出其它变量的初始值，可用 uc(0+) 或 iL(0+) 的独立 源替代C或L，建立 t = 0+ 的等效电路算出 f(0+)。 在t 0的电路中，由L短路，C开路后的等效电路求出

15、f() 。 将动态元件开路，求出戴维南（诺顿）电路等效电阻 Ro， 则 = RoC 或 = L/Ro 例1t=0时 ,开关由ab，求t0后的 uc(t) 解 三要素为： + _ + _ uc 0.1F t=0 + _ 10V 5 10 5 30V a b V30)0()0( CC uu V10)( C u s11 . 010 0 CR t cccc euuutu )()0()()( 0 V2010)1030(10 teetu tt C + _ + _ 18V + _uc 1A t=0 i F 8 1 123 3 uR 例2t=0时 ,开关闭合，求t0后的 uc(t)， uR(t)， i(t)

16、1、求uc(t) 解 V3)0()0( CC uu V836 3312 318 )( C u s 2 1 8 1 4 0 CR 0 V58)83(8 22 teetu tt C 433/12 0 R + _ + _ 18V + _ uc 1A 123 3 uR t=时电路 2、求uR(t)【三要素法】 + _ + _ 18V + _ uc 1A F 8 1 123 3 uR V3)0()0( CC uu t=0+时刻电路 + _ + _ 3V 1A 3 3 uR V0)0( (1) R u + _ + _ 18V + _ uc 1A 123 3 uR t=时电路 2.5V 3 18 318 )

17、( 2 R u sCR 2 1 3 0 0 V5 . 25 . 2)5 . 20(5 . 2 22 teetu tt R 3、求i(t) 【三要素法】 t=0+时刻电路 V3)0()0( CC uu + _ + _ 18V + _ uc 1A F 8 1 123 3 uR i A 12 15 12 318 )0( (1) i A 6 5 18 318 )( 2 i sCR 2 1 3 0 0 V 12 5 6 5 ) 6 5 12 15 ( 6 5 22 teeti tt t=时电路 + _ + _ 18V + _ uc 1A 123 3 uR i 2、求uR(t)【法二】 0 V5 . 25

18、 . 23 33 3 2 te tu tu tC R 0 V58 2 tetu t C 0 A 12 5 6 5 12 18 2 te tu ti tC 3、求i(t) 【法二】 + _ + _ 18V + _ uc 1A F 8 1 123 3 uR i + _ 4V + _ u(t) t=0 4 2 1H F 4 1 例3t=0时 ,开关闭合，求t0后的 u(t) 解 + _ 4V + _ u(t) 4 2 1H F 4 1 + _ 4V 1、求uc(t)V0)0( C uV4)( C u s 2 1 4 1 2 RC 0 V44 2 tetu t C 2、求uR(t) 00V0)0( L

19、R iu V4)( R u s R L 4 1 0 0 V44 4 tetu t R 3、求u(t) 0 V44 24 teetututu tt RC 作业8.4 2A + _ u(t) t=0 4 2 1H F 4 1 8.4 分段一阶电路 前面在讨论一阶电路时，主要是考虑电路切换一次，假如 电路又一次切换，或多次切换；对于这一类电路，可以按照开 关转换的先后次序，从时间上分成几个区间，在每个区间内分 别用三要素法来求解电路的响应。 + _ + _ uc t=0 9V 3 61/6F t=1/3s t = 0 时开关闭合, t =1/3s时 开关打开，求电容上电压变 化。 0 t 1/3s

20、t 1/3s 解 例 V0)0()0( CC uu V6)( C u s 3 1 6 1 2 0 CR V0)0( C u stetu t C 3 1 0 V66 3 V66) 3 1 ( 1 euCV0)( C u s1 6 1 6 RC steetu t C 3 1 V66 3 1 1 t uc 6 (V) 1/3 0 1 66 e + _ + _ uR a iL 1H 2V 1 b t = 0时开关ba, t =1/5s时 开关ab ，求电感电流和 电阻电压。 作业8.5 8.6 阶跃函数和阶跃响应 1. 单位阶跃函数 l 定义 0)( 1 0)( 0 )( t t t t (t) 0

21、1 l 单位阶跃函数的延迟 )( 1 )( 0 )( 0 0 0 tt tt tt t (t-t0) t0 0 1 t = 0开关闭合 Is K )(ti u(t) )(tI S K U u(t) u(t)(tU （1）在电路中模拟开关的动作t = 0开关闭合 )(tUtu l 单位阶跃函数的作用 )(tIti S （2）延迟一个函数 t f(t) 0 )(sintt t f(t) 0 )()sin( 00 tttt t0 （3）起始一个函数 t f(t) 0 t0 )()sin(tt )()sin( 0 ttt l 用单位阶跃函数表示复杂的信号 例 1 )()()( 0 ttttf (t)

22、t f(t) 1 0 1 t0t f(t) 0 t0 - (t-t0) ) 4() 3() 1(2)( ttttf 例 2 1 t 1 f(t) 0 2 43 )1()1()()( tttttf 例 4 1t 1 f(t) 0 )1()1()( tttt )1()1( tt )(tt ) 4(2) 3(3 ) 1(3)(2)( tt tttf 例 3 1 t 2 f(t) 0 5 43 2. 一阶电路的阶跃响应 单位阶跃信号( t ) 作用下电路的零状态响应称为电路的 单位阶跃响应，用符号 S( t ) 表示。任意阶跃信号Uo ( t ) 对 电路的零状态响应称为阶跃响应，其值为U0S( t )。 阶跃响应 + _ C R + _ uC t )( )1()( tetu RC t C )( 1 )( te R ti RC t C t uc 1 t 0 R 1i V0)0( C u V1)( C u （1）比例性 线性非时变电路的几个