6微元法的妙用(教师版)教学内容

1、学习资料例 1.如图，水平放置的导体电阻为R ，R与两根光滑的平行金属导轨相连，导轨间距为L ，其间有垂直导轨平面的、磁感应强度为 的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab质量为 以初速度v0向右运动。Bm体棒将做什么运动？请描绘出运动的v-t图像全过程一共产生多少焦耳热？能否求出这个过程的总位移呢？能否求出全过程中通过导体某个横截面的电量？变式 1：如图，水平放置的导体电阻为R ，R与两根光滑的平行金属导轨相连，导轨间距为L，其间有垂直导轨平面的、磁感应强度为的匀强磁场。导轨上有一导B体棒 ab质量为 m受到大小为 F的恒力作用从静止开始向右运动。1棒将做什么运动？2请描绘出运动的v-t图像3末速度

2、多大？4若在 t 时刻，棒作匀速运动，求这段时间内的总位移。（ t t0）变式 2：如图，竖直放置的光滑U形导轨宽为 L，上端串有一个电容，电容为C，磁感应强度为 B的匀强磁场方向垂直于纸面向里。金属棒 ab的质量为 m，与导轨接触良好，不计摩擦及各部分电阻，试通过计算说明金属棒的运动情况。要说明运动情况，可能有哪些？匀速，匀加速还是变加速？需要通过计算说明什么问题？找出 F-t ，或 a-t的关系仅供学习与参考学习资料小结微元法在电磁感应问题中的应用在处理问题时，从对事物的极小部分( 微元 ) 分析入手，达到解决事物整体的方法。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每

3、个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程” ，然后再将“元过程”进行必要的数学方法（累计求和）进而使问题求解。在电磁感应问题中，常常遇到非匀变速运动过程中求位移，电量，能量等问题，灵活运用微元的思想，可以帮助我们更深刻的理解物理过程。仅供学习与参考学习资料思考题如图 , 空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场,竖直方向磁场区域ddddddddd足够长， 磁感应强度为1T，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁B=PM v0场区域的间距均为=0.5m, 现有一边长l=0.2m、质量=0.1kg 、电阻 ONdmR0.1 的正方形线框MNOP以v0 =7m/s的初速从左侧磁场边

4、缘水平进入磁场求线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Qmv0 Rx2l2mv0 R线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n。Bxn2B2l 32l能完整的穿过4个条形磁场区域Q 1 mv0 223如图所示，在光滑的水平面上，有竖直向下的匀强磁场，分布在宽度为L的区域里，现有一边长为a( aL) 的正方形闭合线圈刚好能穿过磁场，则线框在滑进磁场过程中产生的热量Q1与滑出磁场过程中产生的热量Q2之比为 ()A 1：1 B 2：1C.3：1 D 4：11.如图所示，在光滑水平面上有一个竖直向上的匀强磁场，分布在宽度为l 的区域内。现有一个边长为a 的正方形闭合导线框（ a l），以初速度 v

5、0 垂直于磁场边界沿水平面向右滑过该磁场区域，滑出时的速度为v。下列说法中正确的是v0lvA.导线框完全进入磁场中时，速度大于(v0+ v)/2B.导线框完全进入磁场中时，速度等于(v0+ v)/2a仅供学习与参考学习资料C.导线框完全进入磁场中时，速度小于(v0+ v)/2D.以上三种都有可能20(2014 丰台一模 )如图光滑水平面上有竖直向下的有界匀强磁场，磁场宽度为2L、磁感应强度为B。正方形线框abcd 的电阻为 R，边长为 L，线框以与ab 垂直的速度3v 进入磁场， 线框穿出磁场时的速度为v，整个过程中ab、cd 两边始终保持与磁场边界平行。 设线框进入磁场区域过程中产生的焦耳热

6、为Q1，穿出磁场区域过程中产生的焦耳热为Q2。则 Q1： Q2 等于b c adA1： 1B 2：1C3：2D5：320（ 2014 石景山一模）如图所示，a、b 是边界范围、磁感应强度大小和方向都相同的两个匀强磁场区域，a 的下端离水平地面的高度比b 高一些。甲、乙是两个完全相同的闭合正方形导线框，分别位于a、b 的正上方，两线框的下端离地面的高度相同。 两线框由静止同时释放，穿过磁场后落到地面，下落过程中线框平面始终保持与磁场方向垂直。下列说法正确的是甲乙A乙线框先落地aB两线框同时落地bC穿过磁场的过程中，乙线框产生的热量较少D穿过磁场的过程中，两线框产生的热量相同先根据线框进入磁场时安

7、培力的大小，比较安培力做功的大小，再根据功能关系比较线框落地时速度的大小再对全过程，运用动量定理列式，即可比较时间的长短解答：解：先比较甲、乙线框落地时速度的大小：乙线框进入磁场时速度较大，安培力较大，线框克服安培力做功较多，即产生的热量较多；根据能量守恒定律得知乙线框落地时的速度较小线 框穿 过磁 场区 域过 程 受 到的 安培 力是 变力 ，设 受 到的 平均 安培 力为 F，穿 过磁 场 的时 间 为 t ，下 落全 过程 的时 间为 t ， 落地 速度 为 v 对全过程，由动量定理得：mgt- F t=mv仅供学习与参考学习资料而 F t=BIL t=BLq，又感 应 电荷 量q= /

8、R，因 为 磁通 量 相同 ，通 过 线框 截面 的 电 荷量 相等 ，则两个下落过程线框所受的安培力冲量相同因 为 v 乙 v 甲 ， 所以 t 乙 t 甲 ，即 乙线 框 先 落地 ，故 A 正 确， BCD 错误 故选：A点 评： 本 题 的关 键要 运 用 动量 定 理分析 时 间关 系 ， 还要掌 握 感应 电荷 量 的 公式q= /R 对于 变力情形，运用动量定理研究时间是常用的方法，要学会应用变式训练如图所示，两固定竖直光滑金属导轨电阻不计，完全相同的导体棒ab、cd 水平置于匀强磁场上方且相距一定距离。匀强磁场上、下边界水平，方向垂直纸面向里，现同时由静止释放ab、 cd， a

9、b 进入磁场时恰好做匀速运动，ab 出磁场时， cd 刚好进入磁场，已知导体棒与导轨接触良好。竖直导轨足够长，则在导体棒cd 穿越磁场的过程中A d 端电势低于c 端电势B始终做匀速直线运动C运动时间小于导体棒ab 在磁场中的运动时间D克服安培力做的功等于ab 穿越磁场过程中克服安培力做的功（房山） 21、如图甲所示，光滑且足够长的平行金属导轨、固定在同一水平面上，两导轨间距L=0.3m。导轨电阻忽MN PQ略不计，其间连接有固定电阻=0.4 。导轨上停放一质量=0.1kg 、电阻r=0.2 的金属杆，整个装置处于磁感应强度Rmab=0.5T 的匀强磁场中，磁场方向竖直向下。利用一外力F沿水平

10、方向拉金属杆，使之由静止开始运动，电压传感器可将BabR两端的电压 U即时采集并输入电脑，获得电压U随时间 t 变化的关系如图乙所示。（ 1）试证明金属杆做匀加速直线运动，并计算加速度的大小；（ 2）求第 2s 末外力 F 的瞬时功率；（ 3）如果水平外力从静止开始拉动杆2s 所做的功为 0.3J ，求回路中定值电阻 R上产生的焦耳热是多少。MaN电接压电传RF感脑器仅供学习与参考PbQU/V0.20.100.51.01.52.0t/s甲乙学习资料211UvE = BLv1RIE1RrRIRBLvR1U=R r=0.10V/s1U ktkk Rrt1vBLRak R r1.0m/s21BLR,

11、a=1m/s2622sv2 =at =2.0m/s1E=BLv2IERr2 F安BIL( BL) v21Rr2sF2F2F安ma12sF= 221P F vP=0.35W112(3)2sEkmv 0.2J12仅供学习与参考学习资料由能量守恒定律，回路产生的焦耳热Q=W-Ek=0.1J1 分QRR1 分根据 Q=I2Rt，有RQr故在 R 上产生的焦耳热 QRQR0.067J1 分R r22.（2008 北京理综， 22）均匀导线制成的单位正方形闭合线框abcd，每边长为 L，总电阻为 R，总质量为 m。将其置于磁感强度为 B 的水平匀强磁场上方h 处，如图所示。线框由静止自由下落，线框平面保持

12、在竖直平面内，且cd 边始终与水平的磁场边界平行。当cd 边刚进入磁场时，（ 1）求线框中产生的感应电动势大小;（ 2）求 cd 两点间的电势差大小;（ 3）若此时线框加速度恰好为零，求线框下落的高度h 所应满足的条件。22.答案（ 16 分）（ 1）cd 边刚进入磁场时，线框速度v=(2)此时线框中电流I=cd 两点间的电势差U=I()=(3)安培力F=BIL=根据牛顿第二定律mg-F=ma,由 a=0解得下落高度满足h=24. （ 2014 丰台一模， 24）如图所示，直角坐标系 xoy 位于竖直平面内， y 轴正方向竖直向上， x 轴正方向水平向右。空间中存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场

13、，匀强磁场垂直xoy 平面向里，磁感应强度大小为 B。匀强电场（图中未画出）方向平行于 xoy 平面，小球（可视为质点）的质量为m、带电量为 +q，已知电场强度大小为mg，g 为重力加速度。Eq仅供学习与参考学习资料（ 1）若匀强电场方向水平向左，使小球在空间中做直线运动，求小球在空间中做直线运动的速度大小和方向；（ 2）若匀强电场在 xoy 平面内的任意方向，确定小球在xoy 平面内做直线运动的速度大小的范围；（ 3）若匀强电场方向竖直向下，将小球从O 点由静止释放，求小球运动过程中距x 轴的最大距离。yOx24.能的转化与守恒是自然界普遍存在的规律，如：电源给电容器的充电过程可以等效为将电

14、荷逐个从原本电中性的两极板中的一个极板移到另一个极板的过程.在移动过程中克服电场力做功，电源的电能转化为电容器的电场能实验表明:电容器两极间的电压与电容器所带电量如图所示（ 1）对于直线运动，教科书中讲解了由Qv-t 图像求位移的方法请你借鉴此方法，根据图示的Q-U 图像，若电容器电容为C，两0U极板间电压为U，求电容器所储存的电场能C（ 2）如图所示，平行金属框架竖直放置在绝缘地面上框架上端接有一电容为C 的电一质量为m、长为 L 的金属棒平行于地面放置，离地面的高度为h磁感应强度为磁场与框架平面相垂直 现将金属棒由静止开始释放， 金属棒下滑过程中与框架接无摩擦开始时电容器不带电，不计各处电

15、阻容器框架上B 的匀强B触良好且h求 a. 金属棒落地时的速度大小b. 金属棒从静止释放到落到地面的时间24、仅供学习与参考学习资料（ 1）(5 分 ) 由功能关系可知克服电场力做的功等于产生的电场能（1 分）由图可知在 QU图像中，图像所围面积即为克服电场力所做的功（1 分）即 W1 QU（1 分）2又有电容定义式CQ（1 分）U两式联立得 W1CU 2电容器储存的电场能为 Ee1CU 2 （1分）22（ 2）(7 分 ) 设导体棒落地的速度为v，此时导体棒切割磁感线产生感生电动势感生电动势大小为 EBLv （2 分）电容器储存的电场能为Ee1 C ( BLv )2（2 分）2由动能定理得

16、mgh1 mv2Ee （2 分）2解得 v2mgh（1 分）mCB2L2（ 3）(8 分 ) 导体棒下落过程中受安培力和重力，由动量定理可知mgtF安 tm vF安 =BIL2h(mCB2 L2 )QIt解得 t(8 分)mgQ CUv v 024.(20分)如图13所示，四分之一光滑绝缘圆弧轨道AP和水平绝缘传送带PC固定在同一竖直平面内，圆弧轨道的圆心为0，半径为R0 传送带 PC之间的距离为L, 沿逆时针方向的运动速度v=gR . 在 PO的右侧空间存在方向竖直向下的匀强电场。一质量为m、电荷量为+q 的小物体从圆弧顶点A 由静止开始沿轨道下滑，恰好运动到C 端后返回。物体与传送带间的动

17、摩擦因数为，不计物体经过轨道与传送带连接处P 时的机械能损失, 重力加速度为g(1) 求物体下滑到 P 点时，物体对轨道的压力 F(2) 求物体返回到圆弧轨道后，能上升的最大高度H仅供学习与参考学习资料(3) POB(A,C2 gRt21PvPAPmgR1 mvP212vP2 gR1PNNmg m vP21RN=3mg1PFF = N =3mg12Cxffx=1 mv21 mgR122PC-fL=0-1 mv2p12fL1 m2gR12仅供学习与参考学习资料x= 1 L12 Pv=gR2 HmgH=1 mv22H=R223EACmgR(mgEq) L001mg( RL)E=1qL PCvt v

18、( mgEqqvB )mamv1t t(mgEq ) tqBv tm v1v tx L1m vm(vcvp )v2gR2gRvpc2仅供学习与参考学习资料则mvm2gR1 分2以上结果代入上式，得2gR(mgEq )tqBLm2化简得t=qBL2L 2gR分mgR12gR13.如图所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度B=1T，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d=0.5m ，现有一边长l=0.2m、质量 m=0.1kg、电阻 R=0.1的正方形线框MNOP以 v0 =7m/s 的初速度从左侧磁场边缘水平进入磁场。求：线框MN 边刚进入磁场时受到安培力的大小F。线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Q。线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n。dddddddddP M v0O N5（ 16 分）（2013 江苏四校联考）如图所示，两水平线L1 和 L2 分别是水平向里的匀强磁场的边界，磁场的磁感应强度为B，宽度为 d，正方形线框 abcd 由均匀材料制成，其边长为 （LLd）、质量为 m、总电阻为 R将线框在磁场上方高h 处由静止开始释放，已知线框的ab 边刚进入磁场时和刚穿出磁场时的速度相同求：