区间估计专题知识专业知识讲座

1、本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 本章要点本章要点: 第第8章章 区间估计区间估计 ?边际误差与区间估计 ?总体均值的区间估计: 总体方差已知情形、总体方差未知情形 ?总体比例的区间估计 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 别生气 你认识很容易生气的人吗 ?大自然有 办法让这些人平静下来：他们比较容易得心脏 病。好几项观测研究都发现生气和心脏病之间 的相关性，最好的一项研究观察了12986个人， 随机选自四个地区，而且都没有心脏病，我们 把焦点集中在这个样本

2、当中血压正 常的人身上。 有个简短的心理测验叫做“斯皮尔伯 格发怒量表”，度量了每个人容易发怒的程度， 结果有633个人，被归类在发怒量表的高水平， 4731人在中水平， 3110人在低水平。然后追踪 这些人将近6年并比较了高水平和低水平得心脏 病的比率，最爱生气的和最不爱生气的组比起 来，得心脏病的机会是 2.2倍，而心脏病猝发的 概率是2.7倍。 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 别生气 听起来生气似乎是很严重的事。对于所有正常血压听起来生气似乎是很严重的事。对于所有正常血压 的人士来说不会是完全正确的。有关这项研究的新

3、闻报道引用 这两个数字。但是医学期刊“循环”中的全文中提出了置信区 间间 。在。在95置信水平之下，高水平组得心脏病的慨率，是低水置信水平之下，高水平组得心脏病的慨率，是低水 平组的平组的1.36355倍之间，心脏病猝发概率则在倍之间，心脏病猝发概率则在 1.484.90倍倍 之间。区间提醒我们，因为我们只有样本的数据，所以我们对之间。区间提醒我们，因为我们只有样本的数据，所以我们对 总体的所有叙述都是不确定的。对样本来说，我们可以说总体的所有叙述都是不确定的。对样本来说，我们可以说 : :“ 机机 会恰好是会恰好是 2.2倍倍” , ,对整个总体来说，样本数据只能让我们对整个总体来说，样本数

4、据只能让我们 说说: :“ 机会在1.363.55倍之间倍之间”，而只有，而只有95的信心。 要探讨新闻背后的真相，不论是有关医药行业还是其要探讨新闻背后的真相，不论是有关医药行业还是其 他领域，我们都必须使用置信区间这种表示方法。 置信水平 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 区间估计的概念区间估计的概念 ?如前所述，点估计是用一个点（即一个数）去估计 未知参数。顾名思义，区间估计就是用一个区间去 估计未知参数，即把未知参数值估计在某两个界限 之间。例如，估计明年 GDP 增长在78之间 ，比说增长 8更容易让人们相信，因为

5、给出 7 8已把可能出现的误差考虑到了。 ?所谓区间估计，就是在点估计的基础上，用一个具 有一定可靠程度的区间范围来估计总体参数。 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 区间估计的形式 ? 我们通过把点估计值减去和加上一个被称为边 际误差的值，可以构建总体参数的一个区间估 计。形式如下： 点估计值边际误差点估计值边际误差 边际误差是指以样本统计量估计总体参数时所允许的最 大误差范围。体现了估计精度的高低。边际误差的确定 以及所

6、构造区间的可靠程度的分析就需要借助 统计量的统计量的 抽样分布这方面的重要知识。 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 8 忆：抽样误差 抽样误差：一个估计量与其对应的总体参数之差的绝对值。 抽样误差: （实际未知） ?x 根据中心极限定理可知：样本容量很大时，近似有： 抽样误差的概率陈述 区间估计区间估计 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 9 解解 x的标准差 22 /20 /1002 x n?， (0,1) 2 x xx ZN ? ? ? ?， 所求的概率

7、是 3.92 (| 3.92)(| 1.96)0.95 22 x PxPPZ ? ? ? ? ? ? 。 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 10 解解 x的标准差 22 /20 /1002 x n?， (0,1) 2 x xx ZN ? ? ? ?， 常数?满足等式 (|)(|/ 2)0.95 22 x PxPPZ ? ? ? ? ? ? 。 查标准正态分布表可求得/ 21.96?，因而3.92?。 下面考虑一个相反的问题下面考虑一个相反的问题: 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处

8、，请联系本人或网站删除。 抽样误差的图示 x 的抽样分布 2 x ? 3.92 3.92 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 12 现考虑从3个容量 为100的不同的样本 的样本均值 分别构建的区间情况： 123 ,x xx 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 区间估计的图示区间估计的图示 ?(未知) x 3.92 95% 3.92 x2 x1 x3 1 X 3 X 2 X 3.92 3.92 3.92 边际误差 边际误差 说明：由于所有可能的样本均值有由于所

9、有可能的样本均值有95% 处在阴影区域内，故样本均值加减 3.92所形成的所有区间中也有95% 的区间会包括总体均值在内。 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 区间与置信水平 均值的抽样分布 (1 - ?) % 区间包含了? ? % 的区间未包含? ? x 1 - ? ? / 2 ?/ 2 x ? X 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 置信区间 (95%置信水平下的置信区间) 重复构造出?的20个置信区间 ? ? 点估计值 本文档所提供的信息仅供参考之用，不

10、能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 ? 置信水平 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 统计图表 17 表 8-1 大多数常用的置信水平的 /2 z ? 的值 置信水平 ? / 2? /2 z ? 90% 0.10 0.05 1.645 95% 0.05 0.025 1.96 99% 0.01 0.005 2.576 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 落在总体均值某一区间内的样 本 ? ? x _ X X = ? ? Z ?

11、x 95% 的样本 ? -1.96 ? x ? +1.96? x 99% 的样本 ? - 2.58? x ? + 2.58x 90%的样本 ? -1.65 ? x ? +1.65? x 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 总体均值的置信区间总体均值的置信区间 (? ? 已知 已知) 1. 假定条件 ?总体服从正态分布,且总体方差（? ）已知 ?如果不是正态分布，可以由正态分布来近似 (n ? 30) 2. 使用正态分布统计量： 3. 区间估计的形式： n Zx ? ? ? 2 值的为侧尾部中所提供的为在标准正态分布的右 ）为置

12、信系数；式中，（ Z 2 1 2 ? ? ? Z ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 z? 表8-1 大多数常用的置信水平的 /2 z ? 的值 置信水平 ? /2? /2 z ? 90% 0.10 0.05 1.645 95% 0.05 0.025 1.96 99% 0.01 0.005 2.576 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 【例2】： 一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对 食品质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分 析每袋重量是否

13、符合要求。现从某天生产的一批食品中随 机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量 的分布服从正态分布，且总体标准差为 10g。试估计该批 产品平均重量的置信区间，置信水平为95%。 25袋食品的重量 112.5 101.0 103.0 102.0 100.5 102.6 107.5 95.0 108.8 115.6 100.0 123.5 102.0 101.6 102.2 116.6 95.4 97.8 108.6 105.0 136.8 102.8 101.5 98.4 93.3 总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析) 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科

14、学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析) 2 xz n ? ? ? 10 105.361 .96105.363.92 25 ? () 101.44,109.28? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析) 解：已知 ?x26, ?=6，n=100, 1-? = 0.95，? /2=1.96, 总体 均值90%的置信区间为： 我们可以90的把握保证平均每天参加锻炼的时间在 25.013 26.987

15、分钟之间 【例3】某大学从该校学生中随机抽取 100人，调查到他们平 均每天参加体育锻炼的时间为 26分钟。试以90的置信水平 估计该大学全体学生平均每天参加体育锻炼的时间（已知总 体方差为36小时）。 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 总体均值的置信区间总体均值的置信区间 (? ? 未知大样本情形 未知大样本情形) 1. 假定条件 大样本 (n ? 30) 2. 区间估计的形式： 值的为侧尾部中所提供的为在标准正态分布的右 ）为置信系数；式中，（ Z 2 1 2 ? ? ? Z ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为

16、科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 t分布分布 0 标准正态分布 t分布（自由度为20） t分布（自由度为10） 图8-4 标准正态分布与t分布的比较 总体均值的置信区间总体均值的置信区间 (? 未知小样本情形 未知小样本情形) 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 t分布上侧分位数分布上侧分位数 表 8-3 8-3 t分布上侧分位数表 设T服从自由度为n的t分布,本表列出使得( )P Ttn ? ?的( )tn ? ? n 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 3.078 6.3

17、14 12.71 31.82 63.66 2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 10 1.372 1.812 2.228 2.

18、764 3.169 11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 120 1.289 1.658 1.980 2.35

19、8 2.617 ? 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 总体均值的置信区间总体均值的置信区间 (? 未知小样本情形 未知小样本情形) 1. 假定条件 ? 未知 未知 2. 有关结论： 3. 区间估计的形式： 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 33 【例5】谢尔工业公司拟采用一项计算机辅助程序来培训公司的 维修支援掌握及其维修的操作，以减少培训工人所需要的时 间。为了评价这种培训方法，生产经理需要对这

20、种程序所需 要的平均时间进行估计。以下是利用新方对名职员进行 培训的培训天数资料。 根据上述资料建立置信度为的总体均值的区间估计。（ 假定培训时间总体服从正态分布）。 职员 时间 职员 时间 职员 时间 总体均值的区间估计(例题分析) 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 34 解：依题意，总体服从正态分布，（小样本），此时 总体方差未知。可用自由度为（n-1）=14的t分布进行总体均 值的区间估计。 样本平均数 样本标准差 边际误差 95% 的置信区间为 87.53 15 63554452 ? ? ? ? ? ? n x x

21、82. 6 14 73.651 1 )( 2 ? ? ? ? ? n xx s 78. 3 15 82. 6 *145. 2 2 ? n s t x ? 53.87 3.78 即（50.09，57.65）天。 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 区间估计的形式： 使用范围： 正态总体 or 大样本 小样本 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 练练 习习 1.已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中 随机抽取16只，测得其使用寿命 (单位：h)如下。建立该

22、 批灯泡平均使用寿命95%的置信区间 16灯泡使用寿命的数据 1510 1520 1480 1500 1450 1480 1510 1520 1480 1490 1530 1510 1460 1460 1470 1470 计算可得： 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 练练 习习 2. 为估计美国家庭信用卡债务的总体均值，随机抽取了 70个家庭，记录他们的信用卡债务数据 (单位：美元)如下 。建立美国全部家庭中信用卡债务的均值95%的置信区 间。 9430 9430 14661 14661 7159 9071 9071 969

23、1 9691 11032 11032 7535 12195 8137 3606 11448 6525 4078 4078 10544 10544 9467 16804 16804 8279 8279 5239 5239 5604 5604 13659 13659 12595 13479 13479 5649 5649 6195 6195 5179 5179 7061 7061 7917 14044 14044 11298 11298 12584 12584 4416 4416 6245 6245 11346 6817 6817 4353 4353 15415 15415 10676 10676

24、 13021 13021 12806 6845 6845 3467 3467 15917 15917 1627 1627 9719 9719 4972 10493 10493 6191 6191 12591 12591 10112 2200 11356 615 12851 9743 6567 6567 10746 10746 7117 13627 13627 5337 5337 10324 10324 13627 13627 12744 12744 9465 12557 12557 8372 8372 18719 18719 5742 5742 19263 6232 6232 7445 744

25、5 计算可得： 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 43 。和样本容量n, 2 ? ? Z 2 ,1 ? Z就可以确定? 2 Zn ? 在已知 和后，我们可以求出边际误差为任何数值时的样本容量 样本容量的确定样本容量的确定(抽样之前确定的) 期中E=所希望的边际误差. 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 44 样本容量的确定样本容量的确定(抽样之前确定的) 期中E=所希望的边际误差. 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之

26、处，请联系本人或网站删除。 估计时样本量的确定估计时样本量的确定(例题分析例题分析) 已知某企业工人月奖金额的标准差是 100元，现要了 解工人平均月奖金的情况，允许的估计误差不超过 30元 ，置信水平为95%的情况下，应抽取多少样本？ 解 已知? =100，E=30, 1-?=95%，z ?/2=1.96 应抽取的样本量为 22 22 2 22 () (1.96)100 42.6843 30 z n E ? ? ? ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 2. 利用有关结论： 总体比例的置信区间 1. 假定条件 大样本 (n ? 30) 3. 区间估计的形式： 值的为侧尾部中所提供的为在标准正态分布的右 ）为置信系数；式中，（ Z 2 1 2 ? ? ? Z ? 本文档所提