高中数学必修4第二章-向量-检测试题

1、第二章检测试题(时间 :90 分钟满分 :120 分 )【选题明细表】知识点、方法题号向量及相关概念1、4、12 、14向量的线性运算2、3、8、16向量的数量积6、7、11 、13 、15 、17向量的应用5、9、10 、18一、选择题 (本大题共10 小题 ,每小题 5 分 ,共 50 分 )1.(2011宿州高一检测 )如果 a 、b 是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是(D)(A)a=b(B)a b=1(C)a=-b(D)|a|=|b|解析 :由单位向量的定义知,D 正确 .2.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则 a-2b等于 (A)(A)(7,3)(B)(7,7)(

2、C)(1,7)(D)(1,3)解析 :a-2b=(3,5)-(-4,2)=(3+4,5-2)=(7,3).故选 A.3. ?+?-?+?化简后等于 ( B )(A)3 ? (B)?(C) ? (D) ?解析 :原式 =( ?+?)+( ?-?)=( ?-?)+( ?+?)=0+ ?=?,故选 B.4.(2011年高考广东卷 )已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若为实数 ,(a+ b) c,则等于(B)1 1(A) (B) (C)1 (D)24 2解析 :a+ b=(1,2)+(1,0)=(1+,2),若(a+ b) c,则 4(1+ )-3 2=0,1解得= 2,故选

3、B.5.若四边形 ABCD 满足 ?+?=0,( ?-?)?=0, 则该四边形一定是(C)(A) 正方形 (B)矩形(C)菱形(D) 直角梯形解析 :由?+?=0 即 ?=?可得四边形ABCD 为平行四边形 ,由 (?-?)?=0 即?=0 可得 ?,所以四边形一定是菱形.故选 C.6.(2011乌鲁木齐高一检测 )如果向量 a,b 满足 |a|=1,|b|=2 ,且 a (a-b), 则 a 和 b 的夹角大小为 ( B )(A)30 (B)45 (C)75 (D)135 解析 :设 a 和 b 的夹角为 ,由于 a (a-b),所以 a(a-b)=0,即 a 2-a b=0,所以 12-1

4、 2 cos =0,所以 cos = 2 ,2又 0 180 ,因此 ,=45 ,故选 B.7.(2010年高考重庆卷)已知向量a,b满足a b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|等于(B)(A)0 (B)22(C)4 (D)8解析 :|2a-b|2 =4a 2 -4a b+b2=4-40+4=8,|2a-b|=22.故选B.8.已知 AD 、BE 分别为ABC 的边 BC 、AC 上的中线 ,设 ?=a, ?=b, 则 ?等于 (B)(A) 4a+ 2 b3 32 4(B) 3a+ 3 b2 4(C) a- b3 32 4(D)- 3a+ 3b2142解析 :?=2 ?=2(?+ ?

5、)=?+ ?3333= 2a+ 4b. 故选 B.3 39.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位 :牛顿 )的作用而处于平衡状态,已知 F1,F2 成 60 角,且 F1,F2 的大小分别为2 和4,则F3 的大小为 (D)(A)6 (B)2(C)2 5(D)2 7解析 :由于质点处于平衡状态,所以 F1+F 2+F 3 =0,则 F3=-(F 1 +F 2),所以2+F 2) 2|F3 |2= ?=-(F 132+2F2= ?11 F2 + ?21=2 2+4 2 +2 24 2=4+16+8=28,所以 |F3 |=2 7,故选 D.10. 已知向量 a=(1,2),b=(2,-

6、3),若向量 c 满足 (c+a) b,c (a+b), 则 c 等于 ( D )7 777(A)( , )(B)(- ,-)9 339(C)(7,7)(D)(- 7,-7)3 993解析 :设 c=(m,n),则 a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1),对于 (a+c) b,则有 -3(1+m)=2(n+2),又 c (a+b), 则 3m-n=0,77由解得:m=-9,n=-3 ,故选D.二、填空题(本大题共4 小题 ,每小题5 分,共20分)11.(2011年高考福建卷 ) 若向量解析 :ab=1 (-1)+1 2=1.答案 :112. 设 e1 ,e2 为两个不共线的向量解析

7、 :a,b 共线 ,a=(1,1),b=(-1,2),则 ab 等于,若 a=e 1 + e 2 与 b=-(2e1-3e.2)共线 ,则等于.由向量共线定理知 ,存在实数k,使得a=kb,即 e 1+ e2 =-k(2e 1-3e 2)=-2ke 1 +3ke 2又e1 ,e2 不共线 ,1 = -2?,?= 3?3解得=- .2答案 :-3213.(2011 年高考江苏卷 )已知 e 1,e2 是夹角为2-2e 2 ,b=ke 1 +e 2,若 ab=0, 则实数 k 的的两个单位向量 ,a=e 13值为.解析 :ab=(e 1 -2e 2 )(ke 1+e 2)=k?1 e2-2?2 +

8、(1-2k)e212=k+(1-2k)cos2-235=2k-2.又 a b=0,5 52k- 2=0, k= 4.答案 :5414. 关于平面向量 a,b,c, 有下列三个命题 :若 ab=a c,则 b=c;若 a=(1,k),b=(-2,6),ab, 则 k=-3;非零向量a 和 b 满足 |a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为60 ,其中真命题的序号为.(写出所有真命题的序号 )解析 :a b=a c? a(b-c)=0,表明 a 与 b-c 向量垂直 ,不一定有 b=c, 所以不正确 ;对于 ,当 ab时,16+2k=0, 则 k=-3, 所以正确 ; 结合平行四边

9、形法则知,若|a|=|b|=|a-b|,则 |a|,|b|,|a-b| 可构成一正三角形,那么 a+b 与 a 的夹角为30 ,而非 60 ,所以错误 .答案 :三、解答题 (本大题共 4 小题 ,共 50 分 )15.( 本小题满分12 分)(1)已知 a=(4,2),求与 a 垂直的单位向量的坐标 .(2)若 |a|=2,|b|=1,且 a 与 b的夹角为 120 ,求|a+b| 的值 .解:(1) 设与 a 垂直的单位向量为e=(x,y),2 2则? + ? = 1, 4?+ 2?= 0,?=5?=5,5-解得 或 5?=- 2 5?=2 5 .555 25) 或 e=(-5 25所以

10、e=(,-,).5555(2)|a+b| 2=(a+b)2=a 2 +2a b+b 2=4+2 21cos 120 +1=3,所以 |a+b|= 3 .16.( 本小题满分12 分)1 1如图 ,以向量 ?=a, ?=b 为邻边作 ? OADB, ?=?,?=?,用 a,b 表示33?,?,?.解:?=?-?=a-b,?= 1 ?=1a- 1 b,6 6 6 15?= ?+?= a+ b;66又?=a+b,111?=?+3 ?=2 ?+6 ?2223?33= a+ b;2a+2 b- 1a- 5 b?=-=?33 6 61 1= a- b.2617.( 本小题满分13 分)已知 ?=(2,1)

11、,?=(1,7),?=(5,1),设 M是直线OP上一点 (O为坐标原点).(1)求使 ?取最小值时的?.(2)对 (1) 中求出的点M, 求AMB的余弦值.解:(1) M 是直线 OP 上一点 , ?,设?= ?=(2 ,),则?= ?-?=(1-2 ,7- ), ?= ?-?=(5-2 ,1- ),2+12=5(-2)2-8,?=5 -20 当=2 时 ,?取最小值 ,此时 ?=(4,2).(2)由 (1) 知,?=(-3,5), ?=(1,-1),? 417cos AMB= =-.|?|?1718.( 本小题满分13 分 )1 3已知向量 a=( 3,-1),b=(,).(1)求证 :a

12、 b;(2)是否存在不等于零的实数 k 和 t,使 x=a+(t 2-3)b,y=-ka+tb, 且 x y?如果存在 , 试确定 k 与 t 的关系 ;如果不存在 ,请说明理由 .1 3 3 3(1)证明 :ab= 3 +(-1) =-=0,2222a b.(2)解 :假设存在非零实数k,t, 使 x y,则a+(t 2-3)b (-ka+tb)=0,整理得 -ka 2+t-k(t2 -3)a b+t(t 2 -3)b 2 =0.又 a b=0,a 2 =4,b 2 =1.-4k+t(t2 -3)=0,1即 k= 4(t 3-3t),故存在非零实数k,t, 使 x y 成立 ,1其关系为 k

13、= 4(t 3 -3t).自我补偿1.(平面向量及其相关概念) 下列叙述中真命题的个数是(A)若 a=b, 则 3a2b;若 ab, 则 a 与 b 的方向相同或相反;若 ab,b c 则 ac;?与 a 同方向的单位向量是|?|(A)0 (B)1(C)2 (D)3解析 :对于 , 若 a=b=0时,3a=2b,若 a=b 0,3a2b 也不正确 ,因为向量只有相等 ,不能比较大小 ,正确的表示为若 a=b 0,则|3a|2b|; 对于忽略了零向量 ,不正确 ;对于 ,若 b=0,满足 a b,b c,但 a,c 不一定共线 ;对于 ,若 a=0 时,显然错误 .2.(不理解向量的几何意义)

14、已知点 O 、N 、 P 在ABC 所在平面内 ,且|=|=|,+=0, 且? ? ? ? ?、N 、 P 依次是ABC 的( C ) =,则点 O(A) 重心、外心、垂心(B) 重心、外心、内心(C) 外心、重心、垂心(D) 外心、重心、内心解析 :由| ?|=| ?|=| ?|知,O 为ABC 的外心 ;由?+ ?+?=0,可得 N 为ABC 的重心 ;?=?,(?-?)?=0,?=0,即可证得 P 为ABC 的垂心 ,选 C.3.(利用数量积求夹角范围) 若向量 a=(-2,2) 与 b=(1,y) 的夹角为钝角 ,则 y 的取值范围是.解析 :ab0得 -2 1+2y0,y1,又 a 与 b 夹角为钝角 ,故 a 与 b 不反向 ,则-2y-2 10,得 y-1y 的取值范围是 (- ,-1) (-1,1).答案 :(- ,-1) (-1,1)4.(向量垂直的坐标运算)已知向量a=(4,3),b=(-1,2),若 a- b