北师大版九年级上册数学中考真题分类（解答题）专练：特殊的平行四边形（含答案）(3)

1、中考真题分类（解答题）专练：特殊的平行四边形1（2020滨州）如图，过abcd对角线ac与bd的交点e作两条互相垂直的直线，分别交边ab、bc、cd、da于点p、m、q、n（1）求证：pbeqde；（2）顺次连接点p、m、q、n，求证：四边形pmqn是菱形2（2020遂宁）如图，在abc中，abac，点d、e分别是线段bc、ad的中点，过点a作bc的平行线交be的延长线于点f，连接cf（1）求证：bdefae；（2）求证：四边形adcf为矩形3（2020遵义）如图，在边长为4的正方形abcd中，点e为对角线ac上一动点（点e与点a、c不重合），连接de，作efde交射线ba于点f，过点e作mn

2、bc分别交cd、ab于点m、n，作射线df交射线ca于点g（1）求证：efde；（2）当af2时，求ge的长4（2019青海）如图，在abc中，bac90，d是bc的中点，e是ad的中点，过点a作afbc交be的延长线于点f，连接cf（1）求证：aefdeb；（2）证明：四边形adcf是菱形5（2019大庆）如图，在矩形abcd中，ab3，bc4m、n在对角线ac上，且amcn，e、f分别是ad、bc的中点（1）求证：abmcdn；（2）点g是对角线ac上的点，egf90，求ag的长6（2019百色）如图，菱形abcd中，作bead、cfab，分别交ad、ab的延长线于点e、f（1）求证：ae

3、bf；（2）若点e恰好是ad的中点，ab2，求bd的值7（2019内江）如图，在正方形abcd中，点e是bc上的一点，点f是cd延长线上的一点，且bedf，连结ae、af、ef（1）求证：abeadf；（2）若ae5，请求出ef的长8（2019哈尔滨）已知：在矩形abcd中，bd是对角线，aebd于点e，cfbd于点f（1）如图1，求证：aecf；（2）如图2，当adb30时，连接af、ce，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形abcd面积的9（2020德阳）如图，四边形abcd为矩形，g是对角线bd的中点连接gc并延长至f，使cfgc，以

4、dc，cf为邻边作菱形dcfe，连接ce（1）判断四边形cedg的形状，并证明你的结论（2）连接df，若bc，求df的长10（2020呼伦贝尔）已知：如图，在正方形abcd中，对角线ac，bd相交于点o，点e，f分别是边bc，cd上的点，且eof90求证：cedf11（2020大庆）如图，在矩形abcd中，o为对角线ac的中点，过点o作直线分别与矩形的边ad，bc交于m，n两点，连接cm，an（1）求证：四边形ancm为平行四边形；（2）若ad4，ab2，且mnac，求dm的长12（2020呼和浩特）如图，正方形abcd，g是bc边上任意一点（不与b、c重合），deag于点e，bfde，且交a

5、g于点f（1）求证：afbfef；（2）四边形bfde是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点g的位置，如不可能，请说明理由13（2020云南）如图，四边形abcd是菱形，点h为对角线ac的中点，点e在ab的延长线上，ceab，垂足为e，点f在ad的延长线上，cfad，垂足为f，（1）若bad60，求证：四边形cehf是菱形；（2）若ce4，ace的面积为16，求菱形abcd的面积14（2019鄂州）如图，矩形abcd中，ab8，ad6，点o是对角线bd的中点，过点o的直线分别交ab、cd边于点e、f（1）求证：四边形debf是平行四边形；（2）当dedf时，求ef的长15（2019杭州）

6、如图，已知正方形abcd的边长为1，正方形cefg的面积为s1，点e在dc边上，点g在bc的延长线上，设以线段ad和de为邻边的矩形的面积为s2，且s1s2（1）求线段ce的长；（2）若点h为bc边的中点，连接hd，求证：hdhg16（2018毕节市）如图，在平行四边形abcd中，p是对角线bd上的一点，过点c作cqdb，且cqdp，连接ap、bq、pq（1）求证：apdbqc；（2）若abp+bqc180，求证：四边形abqp为菱形17（2018北京）如图，在四边形abcd中，abdc，abad，对角线ac，bd交于点o，ac平分bad，过点c作ceab交ab的延长线于点e，连接oe（1）求

7、证：四边形abcd是菱形；（2）若ab，bd2，求oe的长18（2018北京）如图，在正方形abcd中，e是边ab上的一动点（不与点a、b重合），连接de，点a关于直线de的对称点为f，连接ef并延长交bc于点g，连接dg，过点e作ehde交dg的延长线于点h，连接bh（1）求证：gfgc；（2）用等式表示线段bh与ae的数量关系，并证明19（2019青岛）如图，在abcd中，对角线ac与bd相交于点o，点e，f分别为ob，od的中点，延长ae至g，使egae，连接cg（1）求证：abecdf；（2）当ab与ac满足什么数量关系时，四边形egcf是矩形？请说明理由20（2019宁波）如图，矩形

8、efgh的顶点e，g分别在菱形abcd的边ad，bc上，顶点f，h在菱形abcd的对角线bd上（1）求证：bgde；（2）若e为ad中点，fh2，求菱形abcd的周长参考答案1（1）证明：四边形abcd是平行四边形，ebed，abcd，ebpedq，在pbe和qde中，pbeqde（asa）；（2）证明：如图所示：pbeqde，epeq，同理：bmedne（asa），emen，四边形pmqn是平行四边形，pqmn，四边形pmqn是菱形2证明：（1）afbc，afedbe，e是线段ad的中点，aede，aefdeb，bdefae（aas）；（2）bdefae，afbd，d是线段bc的中点，bdc

9、d，afcd，afcd，四边形adcf是平行四边形，abac，adbc，adc90，四边形adcf为矩形3（1）证明：四边形abcd是正方形，ac是对角线，ecm45，mnbc，bcm90，nmc+bcm180，mnb+b180，nmc90，mnb90，mecmce45，dmeenf90，mcme，cdmn，dmen，deef，edm+dem90，def90，dem+fen90，edmfen，在dme和enf中，dmeenf（asa），efde；（2）解：如图1所示，由（1）知，dmeenf，menf，四边形mnbc是矩形，mcbn，又memc，ab4，af2，bnmcnf1，emc90，ce

10、，afcd，dgcfga，abbc4，b90，ac4，acag+gc，ag，cg，gegcce；如图2所示，同理可得，fnbn，af2，ab4，an1，abbc4，b90，ac4，afcd，gafgcd，即，解得，ag4，anne1，ena90，ae，gega+ae5综上所述：ge的长为：，54证明：（1）afbc，afedbeabc是直角三角形，ad是bc边上的中线，e是ad的中点，aede，bdcd在afe和dbe中，afedbe（aas）（2）由（1）知，afbd，且bdcd，afcd，且afbc，四边形adcf是平行四边形bac90，d是bc的中点，adbccd，四边形adcf是菱形5

11、（1）证明四边形abcd是矩形，abcd，mabncd在abm和cdn中，abmcdn（sas）；（2）解：如图，连接ef，交ac于点o四边形abcd是矩形，adbc，abc90，ac5，e、f分别是ad、bc的中点，aebf，四边形abfe是矩形，efab3，在aeo和cfo中，aeocfo（aas），eofo，aoco，o为ef、ac中点egf90，ogef，agoaog1或agoa+og4，ag的长为1或46（1）证明：四边形abcd是菱形abbc，adbcacbfbead、cfabaebbfc90aebbfc（aas）aebf（2）e是ad中点，且bead直线be为ad的垂直平分线bd

12、ab27（1）证明：四边形abcd是正方形，abad，abcadcadf90，在abe和adf中，abeadf（sas）；（2）解：abeadf，aeaf，baedaf，bae+ead90，daf+ead90，即eaf90，efae58（1）证明：四边形abcd是矩形，abcd，abcd，adbc，abecdf，aebd于点e，cfbd于点f，aebcfd90，在abe和cdf中，abecdf（aas），aecf；（2）解：abe的面积cdf的面积bce的面积adf的面积矩形abcd面积的理由如下：adbc，cbdadb30，abc90，abe60，aebd，bae30，beab，aead，a

13、be的面积beaeabadabad矩形abcd的面积，abecdf，cdf的面积矩形abcd的面积；作egbc于g，如图所示：cbd30，egbeabab，bce的面积bcegbcabbcab矩形abcd的面积，同理：adf的面积矩形abcd的面积9解：（1）四边形cedg是菱形，理由如下：四边形abcd为矩形，g是对角线bd的中点，gbgcgd，cfgc，gbgcgdcf，四边形dcfe是菱形，cdcfde，decg，degc，四边形cedg是平行四边形，gdgc，四边形cedg是菱形；（2）过点g作ghbc于h，设df交ce于点n，如图所示：cdcf，gbgdgccf，chbhbc，cdg

14、是等边三角形，gcd60，dcf180gcd18060120，四边形abcd为矩形，bcd90，gch906030，cg1，cd1，四边形dcfe是菱形，dnfn，cndf，dcefcedcf12060，在rtcnd中，dncdsindce1sin601，df2dn210证明：四边形abcd为正方形，odoc，odfoce45，cod90，dof+cof90，eof90，即coe+cof90，coedof，coedof（asa），cedf11（1）证明：在矩形abcd中，o为对角线ac的中点，adbc，aoco，oamocn，omaonc，在aom和con中，aomcon（aas），amcn，

15、amcn，四边形ancm为平行四边形；（2）解：在矩形abcd中，adbc，由（1）知：amcn，dmbn，四边形ancm为平行四边形，mnac，平行四边形ancm为菱形，amanncaddm，在rtabn中，根据勾股定理，得an2ab2+bn2，（4dm）222+dm2，解得dm12解：（1）证明：四边形abcd是正方形，abad，baf+dae90，deag，dae+ade90，adebaf，又bfde，bfa90aed，abfdae（aas），aebf，afbfafaeef；（2）不可能，理由是：如图，若要四边形bfde是平行四边形，已知debf，则当debf时，四边形bfde为平行四边

16、形，deaf，bfaf，即此时baf45，而点g不与b和c重合，baf45，矛盾，四边形bfde不能是平行四边形13解：（1）四边形abcd是菱形，bad60，eacfac30，又ceab，cfad，cecfac，点h为对角线ac的中点，ehfhac，cecfehfh，四边形cehf是菱形；（2）ceab，ce4，ace的面积为16，ae8，ac4，连接bd，则bdac，ahac2，点h为对角线ac的中点，d、h、b在同一直线上，ahbaec90，baheac，abhace，bh，bd2bh2，菱形abcd的面积acbd2014（1）证明：四边形abcd是矩形，abcd，dfobeo，又因为d

17、ofboe，odob，dofboe（asa），dfbe，又因为dfbe，四边形bedf是平行四边形；（2）解：dedf，四边形bedf是平行四边形四边形bedf是菱形，debe，efbd，oeof，设aex，则debe8x在rtade中，根据勾股定理，有ae2+ad2de2x2+62（8x）2，解之得：x，de8，在rtabd中，根据勾股定理，有ab2+ad2bd2bd，od bd5，在rtdoe中，根据勾股定理，有de2 od2oe2，oe，ef2oe15解：（1）设正方形cefg的边长为a，正方形abcd的边长为1，de1a，s1s2，a21（1a），解得，（舍去），即线段ce的长是；（2

18、）证明：点h为bc边的中点，bc1，ch0.5，dh，ch0.5，cg，hg，hdhg16（1）证明：四边形abcd是平行四边形，adbc，adbc，adbdbc，cqdb，bcqdbc，adbbcqdpcq，adpbcq（2）证明：cqdb，且cqdp，四边形cqpd是平行四边形，cdpq，cdpq，四边形abcd是平行四边形，abcd，abcd，abpq，abpq，四边形abqp是平行四边形，adpbcq，apdbqc，apd+apb180，abp+bqc180，abpapb，abap，四边形abqp是菱形17解：（1）abcd，oabdca，ac为dab的平分线，oabdac，dcada

19、c，cdadab，abcd，四边形abcd是平行四边形，adab，abcd是菱形；（2）四边形abcd是菱形，oaoc，bdac，ceab，oeoaoc，bd2，obbd1，在rtaob中，ab，ob1，oa2，oeoa218证明：（1）如图1，连接df，四边形abcd是正方形，dadc，ac90，点a关于直线de的对称点为f，adefde，dadfdc，dfea90，dfg90，在rtdfg和rtdcg中，rtdfgrtdcg（hl），gfgc；（2）bhae，理由是：证法一：如图2，在线段ad上截取am，使amae，adab，dmbe，由（1）知：12，34，adc90，1+2+3+490，22+2390，2+345，即edg45，ehde，deh90，deh是等腰直角三角形