一元二次不等式和线性规划复习

1、精品资料欢迎下载一元二次不等式的解法及线性规划【知识梳理】1一元二次不等式的解法(1) 将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2 + bx + c 0(a0)或2ax + bx+ c v 0( a 0).(2) 求出相应的一元二次方程的根. 利用二次函数的图象与 x轴的交点确定一元二次不等式的解集.2. 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式2 , = b 4ac 0= 0v 0二次函数 y= ax2 + bx土 c ( a 0)的图象iy01= 0)的根有两相异实根xi - x2(XiV X2)有两相等实根bXi = X2 =2a没有实数根2ax

2、 土 bx+ c0 ( a0)的解集x| x X2或 x V xix|x主-寿R2ax 土 bx+ cv 0 ( a0)的解集x| xi v x v X2?一个技巧一元二次不.等式.ax.2 土 bx 土 cv-0( a壬.0).的解集.的确定愛.a. 的符号、.b2二4ac.的符号的影响且 与相应的二.次函数、.一元二次-方程有密切联系可结合相-应的函数 y.亍.ax2 土 bx - c( a于.0).的 图象，数形结合求得.不等式的解集若一元二次不等式经过不等式的同解变形后-化为ax2土bx土 c0(或v.0)(其中a.0).的形式.，其对应的方程ax2土bx土c.0一有两个不等实根一X.

3、-.x?.-.( xi V x2).C此.时.4=. b2 4ac 0).-.则可根据“大于取两边-小于夹.中间”求.解集一.两个防范(1) .二次项系数中含有参数时.，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况;.(2) .解含参数的一元二次不等式一可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解一则可对判别式进行分类讨论一分类要不重不漏.【课堂自测】1.（人教A版教材习题改编）不等式2x 3X+ 2v 0的解集为（）.A. ( s, 2) U ( 1 ,+ )B.(2, 1)C. ( s, 1) U (2 ,+s )D.(1,2)解析 I (x 1)( x 2)

4、 v 0 , 1v x v 2.故原不等式的解集为（1,2）.答案D2. （2011广东）不等式2x 2解析/ 9x + 6x + 1 = (3x + 1) 0 , 9x2+ 6x+ 1w 0 的解集为答案B4. （2012许昌模拟）若不等式ax2 + bx 2v 0的解集为 x 1 0的解集是（）A.1,1B.(1 ,+s )C. ( s , 1) U (2 , +s )D.一 s,(1 , +s )解析/ 2x2 x 1 = (x 1)(2 x + 1) 0 ,1 x 1 或 xv-.故原不等式的解集为一 s,(1 , +s ).答案D3. 不等式9x2 + 6x + K 0的解集是（）.

5、1Ax| x工一33D. Rx| 2v xv1，贝y ab=A. 28 B . 26C . 28 D . 26 2 1 12 = 一2 x；= 2, = 7a 4,1 2解析/x = 2, 4是方程ax + bx 2 = 0的两根, a= 4, b= 7. ab= 28.答案C5. 不等式ax2 + 2ax+ 10对一切x R恒成立，则实数 a的取值范围为 解析 当a= 0时，不等式为1 0恒成立；a 0,a 0,当a 0时，须*即*2w 0,4a 4a 0,x2+ 2x, x v 0,解不等式f (x) 3.f(x) 3变成两个不等式组.解得：x 1.审题视点对x分x 0、xv 0进行讨论从

6、而把x 0,x v 0 ,解由题意知3或x2+2x3, 故原不等式的解集为x|x 1.hrn讣”解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式的符号； 若 0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若v 0,则对应的二次方程无根；结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集.【训练1】 函数f (x) = 72x2 + x 3 + log 3(3 + 2x x2)的定义域为 . 22x + x 3 0,解析依题意知2|3 + 2x x 0, 1 w x v 3.故函数f(x)的定义域为1,3)答案1,3) 考

7、点二含参数的一元二次不等式的解法【例2】？求不等式12x2 ax a2(a R)的解集.审题视点先求方程12x2 ax= a2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集 解/ 12x2 ax a2, 12x2 axa20,即(4 x+ a)(3 x a) 0,令(4x+ a)(3 x a) = 0,a a得：xi= 4，X2= 3.a aaa a0时，一4v 3,解集为cx| x3拦 a= 0时，x 0，解集为x| x R且x丰0；a aa ,a a3,解集为 咲|x 4综上所述：当a0时，不等式的解集为ix| xI ;当a= 0时，不等式的解集为x|x R且x丰0； 严aa、当a 0时，不等式的解

8、集为 叹|x事- * 解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0,还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系.(3) 确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定 解集形式.【训练2】 解关于x的不等式(1 ax)2 1.22 2解 由(1 ax) 1,得 ax 2ax 0,即卩 ax(ax 2) 0 时，由 ax( ax 2) 0,得 ax x - 0, k a丿2 即 0 x .at丄2当 a 0 时，一 x0时，不等式解集为20 x aa综上所述：当a= 0时，不等式解

9、集为空集；当a 0时，不等式解集为xa x 1 2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.审题视点化为标准形式ax2 + bx + c 0后分a = 0与a* 0讨论.当 a* 0时，有存0= b 4acv 0.解 原不等式等价于（a+ 2） x2+ 4x + a 1 0对一切实数恒成立，显然a= 2时，解集不是R,因此 az 2,a+ 2 0,从而有 2所以芒a 2,A= 4 4(a + 2 p 1 尸 0,Z|a 2,整理，得(a 2(a+ 3 0,所以a 2.故a的取值范围是（2 ,+s ）.m-m 不等式ax2 + bx+ c 0的解是全体实数（或恒成立）的条件是当a= 0时，b=

10、 0, ca 0,o0;当a* 0时，*不等式ax + bx+ cv 0的解是全体实数（或恒成立）的条件是当AV 0；av 0,a= 0 时，b= 0, cv0；当 a*0 时，a 恒成立，求 a的取值范围.解 法一 f (x) = (x a)2+ 2 a2,此二次函数图象的对称轴为x = a. 当a (a, 1)时，f (x)在1 ,+ )上单调递增，f (x) min= f ( 1) = 2a+ 3.要使 f (x)a 恒成立，只需 f (x)min a,即 2a + 3 a,解得一30在1，+a )上恒成立，2A 0,即 A= 4a 4(2 a) w 0 或 av 1,g 1 0.解得3

11、w aw 1.所求a的取值范围是3,1.线性规划典型例题一_x + y _2 兰0,例1画出不等式组x + y-40,表示的平面区域.3y+3 兰0.分析：采用“图解法”然后求其公共部分.解：把 x = 0, y =0代入-x y -2 中得 -0 0 - 2 ： 0不等式_xy_20表示直线_xy_2=0下方的区域(包括边界)，即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示.说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法.典型例题二例2画出2x -3 ： y岂3表示的区域，并求所有的正整数解(x , y).分析：原不等式等价于 y2x-3,而求正整数

12、解则意味着 x , y还有限制条件，即求 ”3.0, y 0,z, y z,y 2x -3,八3.解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知2x -3 ： y乞3表示的区域如下图:对于2x -3 ： y _3的正整数解，先画出不等式组.说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来,(2,3).XA0, y 0,X Z V E Z所表示的平面区域,y 2X -3,然后在不等式组所表示的平面区 域内找出符合题设要求的整数点来.典型例题三例3求不等式组x+1 -1y -x +1所表示的平面区域的面积.分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积.而要将平面区域作出

13、来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形， 如何变形？需对绝对值加以讨论.解：不等式 yx+1 1 可化为 y Fx(xM1)或 y 启x2(X1);不等式y兰一x +1可化为y兰一x +1(x X 0)或y兰x +1(x c 0).在平面直角坐标系内作出四条射线AB: y =x(x _ -1) , AC : y - -x 2(x ： -1)DE : y = x 1(x _ 0) , DF : y = x 1( x ： 0)由于AB与AC、DE与DF互相垂直， 所以平面区域是一个矩形.1.分析：作出不等式组所表示的平面区域，本题的关键是目标函数 可行域中的点与坐标原点的距离的平方

14、.解：作出直线l1: x-4y，3=0 , l2：x 5y-25 =0 , l3: x=1得到如图所示的可行域.x _4y +3 = 0由丿 丫得A(5,2)3x +5y -25 = 0x _4y +3 =0由丿y得c(i, i)X =1,”3x+5y 25 = 0/曰 22、由得B(1,竺).x =15由图可知：当(x, y)为点C(1,1)时，z取最小值为2；当(x, y)为点A(5,2)时，z取最大值29.x说明：若将该题中的目标函数改为 z ，如何来求z的最大值、最小值呢？请自己探y求.(将目标函数理解为点 (x , y)与点(0,0)边线的斜率)典型例题九例 9 设 x_0 , y_

15、0 , z_0; p = -3x y 2z, q=x-2y 4z , x y z = 1 , 用图表示出点(p , q)的范围.分析：题目中的p , q与x , y , z是线性关系.可借助于x , y , z的范围确定(p,q)的范围.13x - y -2z = _ p,x _2y 4z = q,x y z =1,x = 27(8+q6p),i 1得 y = (14 5q +3p),由 x0 ,271z =(5 + 4p +3q),276 p -B 一 0,3p -5q *140,做出不等式所示平面区域如图所示.3p 4q 5-0,6P-fl-=0说明：题目的条件隐蔽，应考虑到已有的x ,

16、y , z的取值范围借助于三元一次方程组分别求出x , y , z，从而求出p , q所满足的不等式组找出（p , q）的范围.典型例题十例10某糖果厂生产 A、B两种糖果，A种糖果每箱获利润 40元，B种糖果每箱获 利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需 平均时间（单位：分钟）混合烹调包装A153B241每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12机器小时，烹调的设备至多只能用机器30机器小时，包装的设备只能用机器 15机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最 大利润.分析：找约束条件，建立目标函数.解：设生产A种糖果x箱，B种糖果y箱，可获得利润

17、z元，则此问题的数学模式在x +27205x+4y 兰 1800约束条件3x+y兰900 下，求目标函数z = 40x+50y的最大值，作出可行域，其边界x兰0y -0OA :y=0 AB:3x y-90S0BC :5x 4y-1800 =0-4，截5C点时截CD:x 2y-720 =0 DO:x=04 z由z =40x 50 y得y x，它表示斜率为5 50距为的平行直线系， 越大，z越大，从而可知过5050距最大，z取得了最大值.仪+2y=720解方程组丿二C（120,300）、5x +4y =1800 Zmax =40 120 - 50 300 =19800即生产A种糖果120箱，生产B

18、种糖果300箱， 可得最大利润19800元.说明：由于生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的 混合时间为120 + 2 X 300 = 720 （分），烹调时间 5X 120 + 4 X 300 = 1800 （分），包装时间3 X 120 + 300= 660 （分）,这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松驰”部 分，有待于改进研究.【课后作业】1.2.不在3x+ 2y 241)C. ( 0, 2)D. ( 2,6)在直线 3x 72y + m = 0的两侧，贝UB.

19、 7v m v 243.4.C.m = 7或 m = 24D. 7 m24X兰2，则目标函数y 0的点（x, y）的集合（用阴影部分来表示）的（D14个D .17 个C.7.不等式x|“|y ：:3表示的平面区域内的整点个数为A. 3, 16.在直角坐标系中, 是B . 1 ,满足不等式A.13 个B .10 个&不等式|2x y m p： 3表示的平面区域包含点（0,0）和点（-1,1）,则m的取值范围是A. 一 2 ： m ： 3 B . 0 ： m ： 6C.(一 3 ： m 6 D . 0 m 39.已知平面区域如右图所示，z =mx y（m 0）在平面区域内取得最大值的最优解有无数多

20、个，则m的值为77A.B.20201 C.D .不存在21yDy-2A.B3x -2y 6 .03x -2y 6 _0x ：0xE0y 二y C. 3x2y 6 .0D. 3x _2y 6 ： 01xOiX0、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24 分）10.如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是.x y 5 丄011. 已知x，y满足约束条件x y -0 ，则z =4x-y的最小值为 .x乞3x 2y 乞8|883212. 已知约束条件$ 2x +y兰8,目标函数z=3x+y，某学生求得x=- , y=-时，Zmax= ,+333N ,y 乏 N这显然不合要求，正确答案应为x=； y=

21、； Zmax=.13. 某电脑用户计划用不超过 500元的资金购买单价分别为 60元，70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要软件至少买3件，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 种I +2y -5 生014. 已知x, y满足彳xK1,y0 ，则-的最大值为 ，最小值为 .，xx 2y -3 _0三、解答题（本大题共6题，共76分）15. 由y乞2及x乞y乞x 1围成的几何图形的面积是多少 ？（ 12分）16. 已知a，（0,2）,当a为何值时，直线 h : ax -2y =2a-4与l2 : 2x a22a2 4及坐标轴围成的平面区域的面积最小？ （12分）17有两种农作物（大米和小麦），可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下：在一天内如何安排才能合理完成运输2000吨小麦和1500吨大米的任务？（12 分）方式 种类、轮船飞机小麦300吨150吨大米250吨100吨0x118.设z=2y-2x+4，式中变量X, y满足条件0EyE2，求z的最小值和最大值.（12分）2y - x _1参考答案选择题（本大题共 10小题，