求递推数列通项公式的十种策略例析

1、求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样 ，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活 ， 往往可以通过适当的 策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决 ，亦可采用不完全归纳法的方法 ， 由 特殊情形推导出一般情形 ， 进而用数学归纳法加以证明 ， 因而求递推数列的通项公式问题 成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。 笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略， 它们是 ：公式法 、累加法 、累乘法 、待定系数法 、 对数变换法 、迭代法 、 数学归纳 法、 换元法 、不动点法 、特征根的方法 。仔细辨析递推关系式的特征 ，准确选择恰当的方 法， 是迅速求出通项公式的关键 。一、利用公

2、式法求通项公式例1 已知数列 an满足an1 2an 3 2n，a1 2，求数列an的通项公式 。解：an 1 2an3 2n 两边除以 2n 1，得an 12n 1an2n32，则a2nn 11an 32n 2故数列 an是以 a1 2 1为首，以3为公差的等差数列 ，由等差数列的通项公式 ，得 2n21 2 2an2nan (3n 1)2n 。 n 2 231 (n 1) ，所以数列 an 的通项公式为2评注：本题解题的关键是把递推关系式 an12an3 2n转化为an 1an3，说明n 1n2n 12n2数列 an 是等差数列 ，再直接利用等差数列的通项公式求出an 1 (n 1) 3

3、，进而求出2n2n2数列 an 的通项公式 。二、利用累加法求通项公式例2 已知数列 an满足an1 an 2n 1，a1 1，求数列an的通项公式 。 解 ：由 an 1 an 2n 1得an 1 an 2n 1则 an(anan 1)(an 1an2)(a3a2 )(a2a1)a12(n 1) 1 2(n 2) 1 (2 2 1) (2 1 1) 12(n 1) (n 2) 2 1 (n 1) 12 (n 1)n (n 1) 12所以数列 an 的通项公式为 an n2专业 word 可编辑评注 ：本题解题的关键是把递推关系式an 1 an 2n 1转化为 an 1 an 2n 1， 进而

4、求出 (anan 1)(an 1an2)(a3a2)(a2a1)a1 ，即得数列 an 的通项公式。例3 已知数列 an满足an1 an 2 3n 1，a1 3，求数列an的通项公式 。 解：由an1 an 2 3n 1得 an 1 an 2 3 1则 an(anan 1)(an 1an2)(a3a2 )(a2a1)a1(2 3n 1 1) (2 3n 2 1) (2 32 1) (2 31 1) 32(3n 1 3n 232 31) (n 1) 33 3nn所以 an 2 3 3 n 2 3n n 1n 1 3评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 an1 an

5、2 3n 1 转 化 为 an 1 an 2 3n 1 ， 进 而 求 出 (anan 1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1 ，即得数列an 的通项公式 。例 4 已知数列an满足an1 3an 2 3n 1，a1 3，求数列 an 的通项公式 。解： an 1 3an2 3n 1两边除以 3n 1 ，得an 1an2 13n 13n33n1n1则 an 1 an2 13n 13n3 3故 an(an an 1) (an 13n3nan 1an 1an 2 ) (an 2 an 3 )3n 23n 2 3n 3a132 1 2 (32 31n ) (32n11 ) (23n 1 )

6、 (312 133n12 )(32 312 ) 332(n 1) ( 13n113n 3n 13n12因此an3n2(n 1)1 n 1 n (1 3n 1) 3n2n 1313 2 2 3nn113则an3n3n专业 word 可编辑评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 an 1 3an 2 3n 1 转 化 为an 13n 1an3n13n 1进而求出an 13n 1)(an 13n 1an 23n 2)(an 23n 2an 33n 3)+，最后再求数列 an 的通项公式 。a a a a+ (32 31 ) 3 ，即得数列 3n 的通项公式三、利用累乘法求

7、通项公式例5 已知数列 an满足 an 1 2(n 1)5n an，a1 3，求数列 an的通项公式 。 解：因为 an 1 2(n 1)5n an，a1 3，所以 an 0，则an 1 2(n 1)5n，an则ananan 1a n 1a3a2a2a1a12(n 1 1)5n 1 2(n 2 1)5n 2 2 (2 1) 52 2 (1 1) 51 32n1 n (n 1) 3 2 5(n1) (n 2) 2 1 3所以数列 an 的通项公式为n(n 1)an 3 2n 1 5 2 n!评注 ：本题解题的关键是把递推关系an 1 2(n 1)5n an 转化为 an 1 2(n 1)5n ，

8、 进an 而求出 an an 1a3 a2 a1 ，即得数列 an 的通项公式 。an 1 an 2a2 a1an a1 2a2 3a3(n 1)例 6 (2004 年全国 15 题)已知数列 an 满足 a1 1，(n 1)an1(n 2)，则an的通项 an1， n 1 n!n!， n 22解：因为 an a1 2a2 3a3(n 1)an 1(n 2)所以 an 1 a1 2a2 3a3 (n 1)an 1 nan所以式式得 an 1 an nan则an 1 (n 1)an(n 2)则 an 1 n 1(n 2) an专业 word 可编辑所以 ananan 1an 1 an 2a3a2

9、a2n!n(n 1) 4 3 a2a22由an a1 2a2 3a3(n 1)an 1(n 2)，取 n=2 得 a2 a1 2a2，则 a2 a1，又知 a1 1，则 a2 1，代入 得an 1 3 4 5n! n。2评注 ：本题解题的关键是把递推关系式an 1 (n 1)an (n 2)转化为an 1n1n2)，进而求出 an an 1a3 a 2 ，从而可得当 n2 时 an的表达式 ，最后再求出数列an 1 an 2a2an 的通项公式 。四、利用待定系数法求通项公式例7 已知数列 an满足an1 2an 3 5n，a1 6 ，求数列an的通项公式 。解：设 an 1 x 5n 1 2

10、(an x 5n)将 an 1 2an 3 5n 代入 式，得 2an 3 5n x 5n 1 2an 2x 5n ，等式两边消去 2an，得3 5n x 5n 1 2x 5n，两边除以 5n，得3 x 5 2x，则 x=1，代入式，得an1 5n 1 2(an 5n)a5n 1由a1 51 6 5 10及式，得an 5n 0，则 n1 n 2，则数列 an 5n是 an 5n以a1 51 1为首项，以2为公比的等比数列 ，则an 5n 1 2n1，故an 2n 1 5n。评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 an1 2an 3 5n 转 化 为 an1 5n 1

11、 2(an 5n)，从而可知数列 an 5n是等比数列 ，进而求出数列 an 5n 的 通项公式 ，最后再求出数列 an 的通项公式 。例8 已知数列 an满足an 1 3an 5 2n 4，a1 1，求数列an的通项公式 。 解 ：设 an 1 x 2n 1 y 3(an x 2n y) 将an 1 3an 5 2n 4代入式，得3an 5 2n 4 x 2n 1 y 3(an x 2n y)整理得 (5 2x) 2n 4 y 3x 2n 3y 。专业 word 可编辑5 2x 3xx 5令 ，则，代入 式，得4 y 3yy 2an 1 5 2n 1 2 3(an 5 2n 2) 由 a1

12、5 21 2 1 12 13 0 及 式，得an 5 2n 2 0，则 an 1 5 2n 2 3，n an 5 2n 2故数列 an 5 2n 2是以 a1 5 21 2 1 12 13为首项 ，以 3为公比的等比数列 ， 因此 an 5 2n 2 13 3n 1，则an 13 3n 1 5 2n 2。评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 an 1 3an 5 2n 4 转 化 为 an 1 5 2n 1 2 3(an 5 2n 2) ，从而可知数列 an 5 2n 2 是等比数列 ，进而求 出数列 an 5 2n 2的通项公式 ，最后再求数列 an 的通项公式

13、 。例 9 已知数列 an 满足 an 1 2an 3 n2 4n 5，a1 1，求数列 an 的通项公式 。解 ：设 an 1 x(n 1)2 y(n 1) z22(an xn yn z) 将 an 1 2an 3 n2 4n 5代入 式，得2an 3 n2 4n 5 x(n 1)2 y(n 1) z22(an xn 2 yn z) ，则2an (3 x)n2 (2x y 4)n (x y z 5)2an 2xn2 2yn 2z等式两边消去 2an ，得 (3 x)n2 (2x y 4)n (x y z 5) 2xn 2 2yn 2z ，3 x 2x x 3 则得方程组 2x y 4 2y

14、，则 y 10，代入 式，得x y z 5 2z z 18an 1 3(n 1)2 10(n 1) 18 2(an 3n 2 10n 18) 由 a1 3 12 10 1 18 1 31 32 0 及 式 ，得2 an 3n2 10n 18 02则 an 1 3(n 1)2 10(n 1) 18 2 ， 故 数 列 an 3n2 10n 18 为 以 an 3n2 10n 18a1 3 12 10 1 18 1 31 32 为 首 项 ， 以 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 因 此 an 3n2 10n 18 32 2n 1，则 an 2n 4 3n2 10n 18 。专业 word

15、可编辑评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 an 1 2an 3 n2 4n 5 转 化 为 an 1 3(n 1)2 10(n 1) 18 2(an 3n 2 10n 18) ， 从 而 可 知 数 列 an 3n2 10n 18 是等比数列 ，进而求出数列 an 3n2 10n 18的通项公式 ，最后 再求出数列 an 的通项公式 。五、利用对数变换法求通项公式例10 已知数列 an满足 an 1 2 3nan5，a1 7，求数列 an 的通项公式 。解：因为 an 1 2 3na5n，a1 7 ，所以 a 用对数得 lgan 1 5lgan nlg3 lg2

16、0，an 1 0 。 在an 1 2 3na5n 式两边取常设 lgan 1 x(n 1) y 5(lgan xn y)11将式代入 11 式，得5lgan nlg3 lg2 x(n 1) y 5(lgan xn y) ，两边消去 5lgan并整理 ，得 (lg3 x)n x y lg2 5xn 5y，则lg3 x 5x ，故x y lg2 5yx lg34 y lg3 lg216代入11式，得lg a n 1lg3(n 1)4lg3 lg 216 45(lg a n lg434n lg316lg 2)412由 lga1lg314lg3 lg2 lg7 lg3 1 lg3 lg216 4 4

17、160 及12 式 ，4得 lganlg3n4lg3 lg2 0 ，16 4lg3lgan 1(n 1)则4lganlg3 lg216 4 5 ， lg3 n lg3 lg2，所以数列 lganlg3nlg3lg2是以 lg7 lg3lg3lg2为首项，以54164 416 4lg3 lg3 lg2)5n 14 16 4 )511为公比的lg3n lg3 lg24lg3 lg2)5n 116 4 11 lg 34 lg316 lg24 lg(7 34 316 24)5n 1 ln1 1 5n1n 5n1 1 5n 1 1l g34(31624)l g75n( 1 3 4 3 16 2 4 )l

18、 g75n(13 16专业 word 可编辑 .等比数列lg an (lg 7 lg 341则 lgan16lg3n4114lg36(lg7lg24n因此1(lg7 lg34 lg36 lg24)5n 11g34( 316 24 ) lg(7 34 3165n 4n 15n 1 124)12 4)5n 1，则41645n 4n 1 5n 1 1an 75 3 16 2 4 。评 注 ： 本 题 解 题 的 关 键 是 通 过 对 数 变 换 把 递 推 关 系 式 an 1 2 3n an5 转 化 为lg3 lg3 lg2 lg3 lg3 lg 2lg an 1(n 1)5(lgann )

19、， 从 而 可 知 数 列n 1 4 16 4 n 4 16 4lg3 lg3 lg2lg3 lg3 lg 2lg ann 是等比数列 ，进而求出数列 lg an n 的通项416 4 416 4公式 ，最后再求出数列 an 的通项公式 。六、利用迭代法求通项公式例 11 已知数列 an 满足 an 1 a3n(n 1)2n，a1 5，求数列 an 的通项公式 。aa3n 2n 1anan 1解 ：因为 an 1 an3(n 1)2 ， 所以3(n 1)2n 2 3n2n 1 an 2 32(n 1)n 2( n 2) (n 1)an 23(n 2)2n 3 32(n 1)n 2(n 2) (

20、n 1)a3n(n3 2)2 3 (n 1)n 233 (n 2)(n 1)n 2(n 3) (n 2) (n 1) an 33a131 23 (n 2) (n 1) n 21 2 (n 3) (n 2) (n 1)n (n 1)3a131 n! 2 2an53n 1n!2 2an 1 an3(n 1)2 两边取常用对数得lgan 1 3(n 1) 2nlg an ， 即 lg an 1 3(n 1) 2n ， 再lg an由 累 乘 法 可 推 知 lganlgan lgan 1lg a3n(n 1)lgan 1 lgan 2lga2lga2 lga1 lg53n 1 n!2 2lga1，从

21、而n (n 1)又 a1 5 ，所以数列 an 的通项公式为评 注： 本 题 还 可综 合 利用 累 乘 法 和 对数 变 换 法求 数 列 的 通项 公 式 ， 即先 将等 式n 1 n(n 1)3 n! 2an 5七、利用数学归纳法求通项公式8(n 1)例 12 已知数列 an 满足 an 1 an2 2(2n 1)2(2n 3) 2a18 ，求数列 an 的通项9公式 。解 ：由 an 1 an8(n 1)8(2n 1)2(2n 3)2 及 a1 9 ，得专业 word 可编辑a2 a18(1 1)(2 1 1)2(2 1 3)28 8 2 249 9 25 25a3 a28(2 1)(

22、2 2 1)2 (2 2 3)224 8 3 4825 25 49 49a4 a38(3 1)(2 3 1)2(2 3 3)248 8 48049 49 81 81由此可猜测a (2n 1)2 1 ，an2 ，(2n 1)2往下用数学归纳法证明这个结论1）当 n=1 时 ，a1(2 1 1) 2 1(2 1 1)2所以等式成立2） 假设当 n=k 时等式成立 ，即ak(2k 1)2 1 ，2，(2k 1)2则当 n k 1时 ，ak 1ak8(k 1)22 (2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2 1 8(k 1)(2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2 1(2k 3)2 8

23、(k 1) 22(2k 1)2 (2k 3)22 2 2(2k 1)2(2k 3)2 (2k 3)2 8(k 1)(2k 1)2 (2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2k 3)2 1 2(k 1) 12 1(2k 3)22(k 1) 12由此可知 ， 当 n=k+1 时等式也成立 。根据 （1）（ 2）可知 ，等式对任何 n N*n 项 ，进而猜出数列的评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前通项公式 ，最后再用数学归纳法加以证明 。专业 word 可编辑八、利用换元法求通项公式1例 13 已知数列 an满足an1 1(1 4

24、an 1 24an )，a1 1，求数列 an的通项16公式 。12解：令bn 1 24an ，则 an 24(b2n 1)11故an1(b2n 1 1)，代入an1(1 4an1 24an)得n 1 24 n 1 n 1 16 n n1 2 1 1 2214 (b2n 11)11614 214 ( b n2 1)bn即 4b2n 1 (bn 3)2因为 bn124an0，故 bn 11 24an1 013则2bn 1 bn 3，即 bn 1 2bn 2 ，1可化为 bn 1 3 21(bn 3)，所以 bn 3是以 b1 3 1 24a1 3 1 24 1 3 2 为首项 ，数列 ，因此 b

25、n 3 2 (1)n 1 (1)n 2 22 2 1 n 1n 1an ( )n ( )n。3 4 2 31，则 bn (12)n2以 1 为公比的等比2+3 ，即 1 24an (1)n 2 3，得2评注 ： 本题解题的关键是通过将13bn 1 1bn 3 形式，从而可知数列n 1 2 n 2 式，最后再求出数列 an 的通项公式1 24an 的换元为 bn ，使得所给递推关系式转化bn 3 为等比数列 ，进而求出数列 bn 3的通项公九、利用不动点法求通项公式例 14已知数列 an满足an 121an 244an 1a1 4 ， 求数列 an 的通项公式 。21x 2421x 24解：令

26、x ，得 4x2 20x 24 0 ，则 x1 2，x2 3 是函数 f(x)4x 14x 121an 24 n2的两个不动点 。 因为an 1 34an121an242(4an1)13an261321an2421an243(4an1)9an2794an13nnn专业 word 可编辑an 2 ，所以数列 an 2是以 a1 2 4 2 2为首项，以13为公比的等比数列 ，故 an 3 an 3a1 3 4 3 92(193)n 1 13。评注 ：本题解题的关键是先求出函数21x 24 21x 24 f(x) 214xx 124的不动点，即方程 x 214xx 214的两个根 x1 2，x 2 3， 进而可推出an 1 2 13 a