一元二次方程的实根分布问题

1、一元二次方程的实根分布问题问题 1.试讨论方程x2bxc0 的根的情况。（ 1） 根的个数： b、c 满足什么条件时，方程有两个不等的实根？相等实根？无实根？（ 2） 根的大小： b、c 满足什么条件时，方程有两个正根？两个负根？一正根、一负根？一根为 0？（3）根的范围： b、c 满足什么条件时，方程两根都大于1？都小于1？一根小于1，一根大于 1？说明对于一元二次方程ax 2bxc0( a0) 的根的研究，主要分为四个方面（A）有没有实数根；（ B ）有实数根时，两根相等还是不等；（C）根的正负； （D ）根的分布范围。利用根的判别式，可以解决（ A ），（ B ），结合运用韦达定理，可以

2、解决（ C）。而要解决（ D），需综合运用判别式、韦达定理及不等式的知识。思路 1（方程思想）设f (x)x2bxc（ 1）方程 f ( x)0 有两个大于1的实根的充要条件是：0b24c0x1x22b2(x11)( x21) 0b c1（ 2）方程 f ( x)0有两个小于1的实根的充要条件是：0b24c0x1x22b2(x11)( x21) 0b c1（ 3）方程f ( x)0有一根大于1，一根小于1 的充要条件是 f ( x)0, 即 b c1.思路 2（函数思想）设f (x)x2bxc ，结合图形，则（ 1）方程 f ( x)0 有两根都大于1 的条件是：b1b22b 24c0b24c

3、 0f (1) 1bc 0bc1.（ 2）方程 f ( x)0 有两根都小于1 的条件是：b1b22b 24c0b24c 0f (1) 1bc 0bc1.（ 3）方程f ( x)0有两根一个大于1，小于 1 的条件是：f (1)bc10bc1.令 bn1, c2n，导出下题。问题 2关于 x 的方程 x2(n1)x2n0 ，分别在下列条件下，求实数 n 的取值范围。（1）有一个根小于1，一个根大于1；（ 2）两根均在( 1,1) 内。解：（ 1）设 f ( x)x2(n1)x2n为使 f (x)0 有一个根小于1，一个根大于1，则有f ( 1)01( n1)2n0n2 即为所求。f (1)01

4、( n1)2n03f ( 1)0f (1)0（ 2） f ( x)0 两根均在 ( 1,1) 内的充要条件是00 n 3 22 即为1n 112所求。思考：（ 1）中为什么不考虑0？（ 2）中为什么要考虑四个条件，缺一行吗？问题 3若关于 x 的方程 x22ax2 a0 有两个不同的实数根，且只有一根在1，2内，求 a 的取值范围。解：令 f ( x)x 22ax2a ，（1）若 f(1)f (2)0,此时 4a8, 方程在（ 1， 2）上有一根。（2）若 f(1)0 ，此时 a= 8, 方程的两根为x11, x25, 适合题意。（3）若 f(2)0，此时 a= 4，方程的两根为x1x22,

5、不适合题意。综上所述， a 的取值范围是4a8.说明：在进行一元二次方程根的讨论时，一定要注意是在方程有实根的前提下进行的，所以“ 0”千万不可漏掉，对于一元二次方程根的讨论，通常有以下几种情况：0b00ab0c0c0 ）（ 1）有两个正根的条件是a（当 a 0 时，简化为0b00ab0c0c0 ）a（ 2）有两负根的条件是（当 a0 时，简化为c（ 3）两根异号的条件是a 0 ( a 0，简化为 c 0 ) c0ac0b0ab0 ）（ 4）两根异号，且正根绝对值大的条件是（当 a0 时，简化为c0abc00ab0 ）（ 5）两根异号，且负根绝对值大的条件是（当 a 0 时，简化为例 4 如果

6、关于 x的方程2 x2 3x5m 0 的两个实数根都小于1求实数 m 的取值范围x1x20分析：我们知道，两数x1 x2都为负数的条件是x1x20，那么是不是x11 x21、，x1x22就可由x1x21 来决定呢？不， 不能我们通常是将x11， x21，转化为 x110 ，(x11) ( x21)0x2 10 ，从而由(x11)( x21)0来解决35解：设原方程的两个根为x1 、 x2 ，则 x1 + x2 =2 ， x1 x2 = 2 m由题意，知 x1 1， x2 1，x1 1 0， x2 1 053（ x1 1）（ x2 1） 0， x1 x2 （ x1 + x2 ） +1 0， 2 m+ 2 +1 0 m 19又 =9 42 5m=9 40m0