子空间与子空间的分解

1、7A 版优质实用文档 2 线性子空间与子空间的分解 在通常的三维几何空间中，考虑一个通过原点的平面。不难 看出，这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维 的线性空间，这就是说，它一方面是三维几何空间的一个部分， 同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。一般地，我们不仅 要研究整个线性空间的结构，而且要研究它的线性子空间，一方 面线性子空间本身有它的应用，另一方面通过研究线性子空间可 以更深刻地揭示整个线性空间的结构。 一、线性子空间的定义 定义 7设V 是数域 F 上的一个线性空间， W是V 的一非空子 集。如果W对于V 中所定义的加法和数乘运算也构成数域 F 上的 一个线性空间，则

2、称 W 为 V 的一个线性子空间，简称子空间。 验证W是否为V 的子空间，实际上只需考察 W对于V 中加法 和数乘 运算是 否封闭 就行了 。因为 线性空 间定义 中的规则 (1) (8)在W 对线性运算是封闭的情况下必是满足的。 例 1 任何线性空间有两个平凡子空间或假子空间； 一个是它 自身V V ，另一个是 W 0 ，称为零元素空间(零子空间)。 除此之外的子空间称为非平凡子空间或真子空间。下面举几个常 见的例子。 例 2 给定 A (a1,a2, ,an) Rm n，集合 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 N(A) x|Ax 0, x Rn R(A) (A) L(a1,a2,

3、 ,an) spana1, a2, ,an y|y Ax, x Rn 分别是 Rn和 Rm上的子空间，依次称为 A的零空间 (核)和列空间 (值域)，零空间的维数称为 零度 A 的零空间是齐次线性方程组 Ax 0 的全部解向量构成的 n维线性空间 Rn 的一个子空间。因为解空间的基就是齐次线性 方程组的基础解系。所以， dim( N ( A) n rank(A)。 A 的左零空间和行空间 N(AT) x| ATx 0, x Rm R(AT) (AT) y|y ATx, x Rm， dim( N ( AT ) m rank(AT) 。 A 表示 Am n 的广义逆，满足 AXA A ，则有 N(

4、A) (In A A) 且 In A A ， A A 幂等。所以 rank (I n A A) tr(In A A) n tr(A A) n rank (A A) n rank ( A) 例 3 设 1, 2, , m(m 1)是V 的m个向量，它们所有可能的线 性组合所成的集合 Span 1, 2 , m m |ki i i1 是 V 的一个子空间，称为由 1, 2, , m生成的子空间 若记 A ( 1, 2, , m) Rn m，则 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 (A) Span 1, 2, m 由子 空间 的定义可知，如果 V 的一个 子空间包 含向量 1, 2, , m

5、 ，那么就一定包含它们所有的线性组合。也就是说 Span 1, 2 , m 是 V 的一个子空间。 注：容易证明 (1) dim (A) rank ( A) 。 (2) (A) (A B),B b1 bl ，特别若 bj,j 1,2, ,l 可表示 为 1, 2, , m的线性组合，则 ( A) ( A B) 。 定理 2 设W是Vn的一个 m维子空间， 1, 2, , m是W 的一 个基，则这 m个向量必定可扩充为 Vn 的基。 证明 若 m n ，则定理已成立。若 m n，则 Vn中必存在一个向量 m 1 不能由 1, 2, , m线性表出，从而 1, 2, , m, m 1 线性 无关。

6、如果 m 1 n ，则定理已成立。否则继续上述步骤。经过 n m 次 ， 则 可 得 到 Vn 内 n m 个 线 性 无 关 的 向 量 ， 使 1, 2, , m, m 1, , n为Vn 的基。 二、子空间的分解 子空间作为子集，有子集的交( W1 W2 )，和( W1 W2 ) 等运算，对它们有如下定理。 定理 3 设W1,W2 是线性空间 V 的子空间，则有 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 (1) W1与W2的交集 W1 W2| W1且 W2 是V的子空 间，称为 W1与 W2的交空间。 (2) W1与W2的和 W1 W2| 1 2, 1 W1, 2 W2 是 V 的子空

7、间，称为 W1与W2 的和空间。 证明 (1) 由0 W1,0 W2,可知 0 W1 W2,因而W1 W2是非空的 .其次， 如 果 ,W1W2 ,即 , W1 而 且,W2, 因 此 W1, W2, 因 此 W1W2. 同样 , 由 k W1,k W2,知k W1 W2 .因此W1 W2是V 的子空间. (2) 由定义W1 W2 V ,而且非空. ,W1 W2 ,则有 i , i Wi ,i 1, 2. 由 1 2,1 2, 1 2 1 2 ( 1 1) ( 2 2), k k 1 k 2， 因 Wi 是子空间 ,则 1 1 W1, 2 2 W2,k 1 W1,k 2 W2 , 所以W1 W

8、2, k W1 W2,即W1 W2是V 的子空间 . 子空间的交与和的概念可以推广到多个子空间的情形。 定理4(维数定理)设W1和W2是线性空间 V的两个子空间，则 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 dim W1 + dimW2= dim(W1 W2)+ dim(W1 W2)(1) 证明 设 dim (W1 W2) r , dimW1 s1 , dimW2 s2 , W1 W2 基 为 1, 2, , r，由定理 2 知，它们可分别扩充为： W1的基 1, 2, , r , r 1, , s1， W2的基 1, 2, , r, r 1, , s2 ， 则 W1= Span 1, 2,

9、 , r , r 1, , s1 ， W2 = Span 1, 2 , , r, r 1, , s2 ， W1 W2 Span 1, 2, r ,r1,s1,r1, , s2 . 下面证明 1, 2, , r,r 1,s1,r1,s2 为线性无关组。 任取数 ki , pi,qi, 使 r ki i i1 s1 p i r 1 s2 i iqi ir1 i 0.(2) 因为 s1 r s2 pi i ki i qi , i ir1 i1 ir1 所以 pi i W1 W2. ir1 从而有 s1r pi ini i , i r 1 i 1 即 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 rs1

10、 ni ipi i 0. i1ir 1 由 1, 2, , r , r 1, , s1 是 W1 的 基 , 线 性 无 关 , 故 pi 0,i r 1, , s1.代入 (2)式,得 rs2 ki iqi i 0, i1 i r1 而 1, 2, , r, r 1, , s2 是W2的基,于是 ki 0(i 1, 2, ,r), qi 0(i r 1, ,s2), 故 1, 2, , r, r 1, , s1, r 1, , s2 线性 无关 ， dim (W1 W2) r (s1 r) (s2 r) s1 s2 r , 定理得证 . 从 (1) 式知， 若W1W20 ，则有 dim( W

11、1 +W2)dimW1+dim W2 ,这时 W1 W2,x1 x2,xi Wi,i 1,2,其表达式中 x1与 x2不是 唯一的。 例如 12 2 W1 Span 0 W200。 0这 时 0 W1 W1 , W2 Span 03 1,2 00 3 ，有 2 W1 W2 ，即 种 表 0达 式 0 0 0 和 0 1 0 0 2 2 0 T 3 2 0T. 例4设R W1 Span 1 中的两个子空间是 1 1 -1 1 0 , W2 Span 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 求 W1 W2及W1 W2的基和维数。 解 W1 W2= Span 1, 2, 1, 2 由于 1 1

12、2 2 且 1, 2 , 2 线性无关，故 W1 W2的一个基 为 1, 2, 2，其维数 dim(W1 W2)=3 。 由维数定理知 dim(W1 W2)= dim(W1) dim(W2 ) - dim(W1 W2 ) =2+2-3=1 根据 1 1 2 2 ， 得到 1 2 1 2 (0,2,1)T 0 W1 W2， 从而 (0, 2, 1)T 为W1 W2的一个基，其维数 dim(W1 W2)=1。 三、直和子空间 子空间的和 W1 W2 的定义仅表明，其中的任一向量 可表示 为 1 2 , 1 W1, 2 W2 。但这种表示法不一定唯一。 定义 8 设W1,W2 是线性空间 V 的两个

13、子空间，如果 W1 W2中 每个向量 的分解式 1 2 ,1 W1, 2 W2 是唯一的，则 W1 W2称为W1,W2的直和，记为 W1 W2 。 定理 5 设W1，W2是线性空间 V 的两个子空间， 则下面几条等 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 价 (1) W1 W2是直和； (2)0向量表示法唯一，即由 0 1 2( 1 W1,2 W2)得 1 2 0 ； (3)W1 W2= 0 ； (4) dim(W1) dim(W2 ) dim(W1 W2) 证明 采用轮转方式证明这些命题。 (1) (2) 按定义， W1 W2内任一向量表示法唯一，因而 0 的表示法 当然唯一。 (2)

14、(3) 用反证法。若 W1 W2 0 ，则有W1 W2,0 ，于是 W1，W2 。而 0( ) ，这与零向量的表示是唯一 的假设矛盾。 (3) (4) 利用维数定理即得。 (4) (1) 由维数 定理 知 dim( W1 W2 )=0, 即 W1 W2 = 0 .对任一 W1 W2 ,如果 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 1 2 1 2 ( 1, 1 W1; 2, 2 W2) 则有 1 1 2 - 2 于是 1 1 2 - 2 W1 W2 0 ， 即 1 1 0 , 2 - 2 0 。 这说明 1 1, 2 2 因而 表示法唯一。定理证毕。 定理 6 设W1是Vn的一个子空间，则必

15、存在 Vn的子空间 W2， 使W1 W2 Vn 。 证明：设 dim( W1)= m,且 1, 2, , m 是W1的一个基，根据 定理 2 它可扩充为 Vn 的基 1, 2, , m, m 1, , n ，令 W2 Span m 1, , n ，显然 W2 就满足要求。 子空间的交、和及直和的概念可以推广到多个子空间的情 形。 四、内积空间 前文中，我们对线性空间的讨论主要是围绕着向量之间的加 法和数量乘法进行的。 与几何空间相比， 向量的度量性质如长度、 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 夹角等在实际应用中更重要。因此，我们在一般线性空间中定义 内积，导出内积空间的概念。 定义

16、9 设V 是实数域 R 上的实线性空间。如果对于任意的 , V ，都有一个实数 ( , ) 与之对应，且满足 (1)( , ) ( , ) ; (2) ( , ) ( , ) ( , ); (3) (k , ) k( , ); (4) ( , ) 0,当且仅当0 时( , ) 0. 则称( , )为 与 的内积。定义了内积的实线性空间 V 称为内 积空间，又称欧几里得空间或 Euclid 空间(简称为欧氏空间)。 n 例如，在 Rn中，定义内积 (x,y) xTyxiyi 。这时 Rn成 i1 为内积空间。在内积空间 Rn中，如果(x,y) 0，则称 x与y正交， 记为 x y 。 设欧氏空间

17、 R n中的基为 1, 2,n ，欧氏空间中有两个向 nn 量xi i , yj j ，下面我们来计算 , 的内积。 i 1jn1n n n i i , y j j )xi ( i, j )yj j1 i1j1 ( 1, 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1, n ) ( 2 , 1) ( 2, 2 ) ( 2, n ) ( n , 1) ( n, 2 ) ( n , n ) ( , ) ( x G( 1 则有 2 n x1 y1 x2 y y2 xn yn x 10 i1 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 ( , ) xT G( 1, 2, , n )y 注： (1)方阵 G( 1,

18、 2, , n )称为向量组 1, 2, n 的 Gram 矩 阵，或度量矩阵。 (2) 1, 2, n 线性无关的充要条件是 G( 1, 2 , , n ) 0。 (3) G( 1, 2, , n )对称正定。 因为方阵 x 0, ( 1, 2, , n)x 0,xTG( 1, 2, , n)x ( , ) 0 2 (4) 若 n 1 ,则 G( 1) 1 表 示 长度 的 平 方 ； n 2 时 ,则 2 G( 1, 2) 1 2 2 ,表示面积的平方； n 3, 呢？ (5) 若 1, 2, n是规范正交基， 则G( 1, 2, , n) In，内积 ( , ) xT y 。即向量内积等

19、于坐标的内积，计算简单，所以内 积空间的基常采用规范正交基。 另外，在规范正交基 1, 2, n 下向量 n xi i ( 1, , n i1 x1 x1 ) 的坐标 x 的计算简单不 xn 需要解线性方程组就能得到 xi n xn , i),i 1, ,nn ,即 n ( , i ) i . i1 设 W 是内积空间 V 的一个子空间。显然 W 也是一个内积空 11 间。如果V的一个向量 与W的每一个向量正交， 则称 与W正 交，记为 W 。对于 V 中的两个子空间 W1,W2 ，如果任取 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 W1, W2，都有 ( , ) 0，即，则称 W1与W2是

20、互相 正交的。记为 W1 W2 。 定义 10 设S为V 中的子空间，记 S x|x S,x V 容易证明 S 也是线性空间，称为 S 的正交补空间。 定理 7 设 A为n k 矩阵。记 A 为满足条件 AA 0且具有 最大秩的矩阵，则 R(A ) R (A) 证明 设 x R(A ) x A t, t Ax A A t 0 zAx 0, z (Az) x 0 x Az x R (A) ； 反之， x R (A) x Az, z (Az) x 0 zAx 0, z Ax 0 x At, t x R(A ). 推论： R (A) R(A ) N(AT)；R (AT ) N(A). 证明：只证第一

21、式 ,因为把第一式中的 A看成 A即得第二式. 由x R (A) x R(A) x At,t任意 (At) x 0,t任意 tAx 0,t任意 Ax 0 x N(A). 和 12 x R(A ) x A t, t Ax AA t 0 x N(A), 证毕. 7A 版优质实用文档 7A 版优质实用文档 对于一个线性空间 S ，如果存在 k个子空间 S1, ,Sk ，使得对 任意 S ，可唯一地分解为 1 k , i Si,i 1,2, ,k, 则称 S为S1, ,Sk 的直和，记为 S S1 S2Sk ，若进一步 假设，对任意的 i Si, j Sj,i j ，有 i j ，则称 S 为 S1,

22、 ,Sk 的正交直和，记为 S S1 S2Sk，特别， Rn S S ，对于 Rn 中子空间 S都成立。 设 A (A1 Ak), (Ai) (Aj) 0 ,i j,则 (A) (Ai)(Ak ) ；若进一步假设 AiAj 0,i j,则容易 证明 (A) (Ai )(Ak)。 容易证明对于内积空间 R n的子空间 S 有下面的性质 (1) S (S ) ; (2) S1 S2 S2 S1 ; (3) (S1 S2)S1 S2 ; (4) (S1 S2) S1 S2 . 定理 8 对任意矩阵 A，恒有 R(A) R(AA) 。 证明 显然 R(AA) R( A) ,故只需证 R(A) R( AA ) ,事实上 ,对任给 x R(AA),有xAA 0。右乘 x,得