判定平行四边形的五种方法

1、判定平行四边形的五种方法 平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别 相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分 别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。 一、两组对边分别平行 如图1,已知 ABC是等边三角形，D、E分别在边BC AC上，且CD=CE连结DE并 延长至点F，使EF=AE连结AF、BE和CF （1）请在图中找出一对全等三角形，并加以证明； 判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由, 解：（1）选证 BDEA FEC 证明： ABC是等边三角形， BC=ACZ ACD=60 v CD=CE二

2、BD=AEA EDC是等边三角形 DE二EC/ CDEH DEC=60 / BDE/ FEC=120 又v EF=AE 二 BD二FE 二 BDEA FEC （2）四边形ABDF是平行四边形 理由：由（1）知， ABC EDC AEF都是等边三角形 v/ CDE/ABC/ EFA=60 AB/ DE BD/ AF v四边形ABDF是平行四边形 点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内 错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边 形是平行四边形。 二、一组对边平行且相等 例2已知：如图2,在正方形ABCD中, G是CD上一点，延长BC到E，使 CE=

3、CG连结BG并延长交DE于 F 求证： BCGDCE (2)将厶DCE绕点D顺时针旋转90得到 DAE，判断四边形 E BGD是什 么特殊四边形并说明理由。 分析：(2)由于ABCD是正方形，所以有 AB/ DC又通过旋转 CE=AE已 知CE=CG所以E A=CG这样就有 BE =GD可证 E BGD是平行四边形。 解：( 1)v ABCD是 正方形， / BCDM DCE=90 又 t CG=C， BCG DCE (2)v DCE绕D顺时针 旋转90得到 DAE， CE=AE，t CE=CG 二 CG=AE， 四边形ABCD是正方形 BE / DG AB=CD AB- AE 二CDCG,即

4、卩 BE =DG 四边形DE BG是平行四边形 点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形 是平行四边形 三、两组对边分别相等 例3如图3所示，在 ABC中，分别以AB AC BC为边在BC的同侧作等边 ABD等边 ACE等边 BCF 求证：四边形DAEF是平行四边形； 分析：利用证三角形全等可得四边形 DAEF的两组对边分别相等，从而四边 形DAEF是平行四边形。 解： ABD和厶FBC都是等边三角形 / DBF/ FBA=/ ABC# FBA=60 / DBF# ABC 又 BD=B, BF=BC ABCADBF AC=DF=AE 同理 ABCA EFC AB=EF=

5、AD 四边形ADFE是平行四边形 点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相 等，从而可证四边形是平行四边形。 四、对角线互相平分 例4已知：如图4,平行四边形 ABCD勺对角线AC和BD相交于O, AE!BD于E, BF丄AC于F，CGL BD于G, DHL AC于H,求证：四边形 EFGH是平行四边形 P 分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH 的对角线有关，若能证出 OE=OG OF=OH则问题可获得解决。 证明： AE!BD CGL BD / AEOH CGO / AOEH COG OA=OC B AOEA COG 二 OE=OG 同

6、理 BOFA DOH OF=OH 四边形EFGH是平行四边形 点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证 四边形是平行四边形。 五、两组对角相等 例5将两块全等的含30角的三角尺如图1摆放在一起 四边形ABCD是平行四边形吗理由 o 如图2,将Rt BCD沿射线BD方向平移到RtAB QD的位置，四边形 ABGD是平行四边形吗说出你的结论和理由： o 分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问 题。 解：（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下： / ABCH ABDH DBC=30 +90 =120， / ADCH ADBH CDB=90 +30 =120 又/ A=60，/ C=60， / ABCH ADC / A=ZC （2）四边形ABGD是平行四边形，理由如下: 将Rt BCD沿射线方向平移到 RtBQD的位置时，有 RtACiBB也Rt ADD /CiBB二/ ADD,/ BGB二/ DAD 有/C iBA=/ ABD/C iBB二/C1DB1+/ ADB二/ ADG，/ BCD二 / BGB1+/B iGD=/D iAD+ DAB/D 1AB 所