2020年福建省龙岩市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)

1、2020 年福建省龙岩市高考数学模拟试卷（文科）（ 5 月份）一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.已知集合 ?=?|? 3 ， ?= -2, 0， 2， 3 ，则 ?= ()A. -2, 0， 2B. 0,2C. -2,2D. 22.1+?，则 -在复平面内对应的点位于 ()设 ?=?1-2?A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知 ?2?=?1 - ?2?，且 ?(0,)，则 ?= ( )2?A. 12B. 6C. 4D. 3?+?- 2 0?=-2? + ?( )4.设 x，y 满足约束条件 ?-?+ 2 0，则的最小值为? -1A. 5B. 2C.

2、 -4D. -75. 某综艺节目为比较甲、 乙两名选手的各项能力 (指标值满分为 5 分，分值高者为优 )，分别绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点A 表示甲的创造力指标值为4，点B 表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述错误的是()A. 甲的六大能力中推理能力最差B. 甲的创造力优于观察能力C. 乙的计算能力优于甲的计算能力D. 乙的六大能力整体水平低于甲6. 在正方体 ?-?中，E 为 ?的中点， F 为 BD 的中点， 下列结论正确的11111是 ()A. ?/?1?B. ?C.?/平面 ?D.?平面 ?1 11 1117. 已知函数 ?(?)= 2 ?+ 2 ?(?)的图象，如图所示

3、，那么 ?的值为 ( )A. 2B. 3C. 4D. 58. “中国剩余定理”又称“孙子定理”， 最早可见于中国南北朝时期的数学著作 孙子算经 卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：将 1 到 2020 这 2020 个自然数中满足被 3 除余 2 且被 5 除余 3 的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是( )第1页，共 17页A. 135B. 134C.59D.589.设 ?= log 4 3 ， ?= log 5 4， ?= 2-0.01 ，则 a， b，c 的大小关

4、系为 ()A. ? ?B. ? ? ?C. ? ? ?D. ? ? 0)?122AB为等边三角形，则C 的渐近线方程为 ()两点若 ?1，A.?= 2?B. ?= 6?C.或?= 6?D.?=或?=3?= 2?2?111.在正四面体 PABC 中，点 D ，E 分别在线段 PC，PB 上， ?=3 ?，若 ?+ ?的最小值为 2 13，则该正四面体外接球的表面积为( )A. 27?B. 54?C.27 6D.278?2 ?12. 已知曲线 ?= ?(?)与 ?(?)= ln(-? - 2) - ?- 2的图象关于点 (-1,0) 对称，若直线 ?= ?与曲线 ?= ?(?)相切，则 ?= (

5、)A. -2B. -1C.1-?+1?D.- ?二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13. 已知向量 ?= (1,2) ， ?= (-3, ?)，若 ?= ?， ?，则 ? = _14. 为增强学生的劳动意识， 某校组织两个班级的学生参加社区劳动，这两个班级拟从高一年段的两个班级和高二年段的四个班级中选出， 则选出的班级中至少有一个班级来自高一年段的概率为 _15.?的内角 A， B， C 的对边分别为2a， b，?.若 ?=2?，则?22? +?2= _， sinC 的最大值为 _?2216.?C 交于 A，B已知椭圆 ?： 2 +2 = 1(? ? 0) 的左焦点为 F，经过原点

6、的直线与?两点，若 ?150，则 C 的离心率的取值范围为_三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17.记数列 ?的前n，已知 ? =?+1?项和为 ?1=1，?2?(1) 求数列 ? 的通项公式；(2) 设? = 2?2，记数列 ? 的前 n 项和为 ?，求证： ? ? 0)223的最大值为 1，圆 Q 的方程为 ?+ ? - 2?+= 04(1)求点 M 的坐标和 C 的方程；(2)若直线 l 交 C 于 D ， E 两点且直线 MD ， ME 都与圆 Q 相切，证明直线l 与圆 Q相离第3页，共 17页已知函数221.?(?)= ?-?+ ?(1) 若?(?) ?，求 a 的取值

7、范围；(2) 若 ?(?)存在唯一的极小值点?，求 a 的取值范围，并证明2?- 1 ?(?) 0) ，且 ?(?)的最大值为 3(?)求 m 的值；(2) 若正数 a，b，c 满足 2(?+ ?+ ?)= ?，证明：?(?-?)+ ?(?-?)+ ?(?-?)6?第4页，共 17页答案和解析1.【答案】 A【解析】 解： 集合 ?= ?|? 0 ，可得 ?= ?，即?=1，?= 4故选： C2?=2?(0,?由已知利用二倍角公式可求?，解范围2) ，可得 ? 0，利用同角三角函数基本关系式可求?=1，即可求解 ?的值本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，

8、考查了转化思想，属于基础题4.【答案】 D?+ ?- 2 0【解析】解：由 x，y 满足约束条件 ?- ?+ 2 0，? -1作出可行域如图，化目标函数 ?= -2? + ?为 ?=2?+ ?，?= -1 ?+ ?- 2 = 0 ，解得 ?(3,-1)，由图可知，当直线 ?= -2? +?过 ?(3,-1)时直线在 y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值，z 最小 ?= -2 3 - 1 = -7 第5页，共 17页故选： D由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题5.【答案】 B【解析】 解

9、：由六维能力雷达图，得：对于 A，甲的推理能力为2 比其他都低，故A 正确；对于 B，甲的创造能力是4，观察能力也是4，故甲的创造力与于观察能力一样，故B误；对于 C，乙的计算能力是5，甲的计算能力是4，故乙的计算能力优于甲的计算能力，故 C正确；对于 D，乙的六大能力总和为24，甲的六大能力总和为25，故 D 正确故选： B根据雷达图中所给的信息，逐项分析即可本题考查命题真假的判断，考查简单的合情推理等基础知识，考查读图识图能力、分析判断能力，是基础题6.【答案】 D【解析】 解：如图，连接 ?，?为 BD的中点，则 F 为 AC 的中点，1又 E 为 ?的中点， ?为 ?的中位线，得 ?/

10、?，111与?11 ?相交， ?与 ?1不平行，故 A 错误；连接 ?， ?，可得 ?为等边三角形，即 ?= 60 ，1111111又 ?/?，?/?， ?为 EF 与 BD 所成角为 60，故 B 错误；11?11?1?1与平面?相交，而?/?C错误；1?11 ，与平面1?1相交，故在正方体 ?-?中， ?，而 ?，11? ?1111111又 ?=1， ?，?平面 ?1 ?1?11平面 ?11，而 ?/?11 ?1，故 D 正确故选： D由 ?/?，?与 ?与111?相交， 判定 A 错误；求出异面直线所成角判断B 错误； 由?1平面 ? 相交， ?/?D 正确1 ?11判断 C 错误；证明

11、直线与平面垂直判断本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题7.【答案】 C【解析】 解：根据函数 ?(?)=1?+1122?(?)=cos(?- ?)的图2象，第6页，共 17页可得 ?1 - ?= ?，即 ?= ?+ ?12?2 ? ?1由图象可知，2 ?(0) 0 ，即 1 ? 0?可得： 0 ? 2那么 ?= ?+ ? 3?2可得 ?的值为 4故选： C根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质即可得到结论本题主要考查三角函数最值的求解，利用图象求出三角函数的解析式是解决本题的关键8.【答案】 A【解析】 解：被 3 除余 2 且

12、被 5 除余 3 的数构成首项为8，公差为 15 的等差数列，记为? ，?则 ?= 8 + 15(? - 1) = 15?-7 ，2令 ?= 15?- 7 2020 ，解得 ? 135 15 将1到2020 这 2020 个自然数中满足被3除余 2且被 5除余 3 的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是135故选： A根据“被3除余 2且被5 除余 3 的数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前 n 项和公式，可得结果本题考查数列的项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题9.【答案】 B【解析】 解：因为 0 =log 4 1 ?=

13、 log 43 log 4 4 = 1，0 ?=log 5 4 2- 8 0.92，log 5 4 =2?2 0.86 ，1-?2?43=?3 ?5log 4 5 (?43+?452=(?415)2 1，?4= log 4 32)2?4 ?45?， b，c 的大小关系为? ? 0)：1222交于 A， B 两点若 ?为等边三角形，可知AB 垂直 x 轴，所以 2?= 3 ?2? ，可得12?2，2?= 3?即 21 + ?= 3?，解得 ? = 2，所以双曲线的渐近线方程为： ?= 2?.故选： A利用双曲线的对称性，结合已知条件判断 AB 的位置，然后利用通径与焦距列出方程，求解即可本题考查

14、双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题11.【答案】 B【解析】 解：正四面体PABC，如图所示：，把平面 PAB 与平面 PCB 展开得：，连接 AD 交 PB 于点 E，此时根据两点之间线段最短得到?+ ?的值最小，设正四面体 PABC 的棱长为 3a，则在 ?中， ?= 120， ?= 3?， ?=?，2221 ，所以由余弦定理得：cos?=?+? -?2? ?= -2解得： ?= 2 ，所以四面体 PABC 的棱长为 6，则把四面体 PABC 放入正方体中， 正方体的棱长为3，2又因为正方体的外接球即是四面体PABC 的外接球，所以四面体 PABC 的外接球的半径为

15、 13 32 =36，22所以四面体 PABC 的外接球的表面积为4?(362，2 )= 54?第8页，共 17页故选： B把平面 PAB 与平面 PCB 展开，连接 AD 交 PB 于点 E，此时 ?+ ?的值最小，在 ?中利用余弦定理求出PA 的长，把四面体PABC 放入正方体中，利用四面体PABC 的棱长得到正方体的棱长， 从而求出正方体的外接球的半径，即为四面体 PABC 的外接球的半径，再利用球的表面积公式即可得到该正四面体外接球的表面积本题主要考查了正四面体的外接球，以及利用展开图求距离最小值，是中档题12.【答案】 D【解析】 解：由已知设 (?,?)是 ?= ?(?)上任意一点

16、，则关于 (-1,0) 的对称点为 (-2 -?,-?) 在 ?(?)= ln(-? -2) - ?- 2的图象上，所以 -? = ln-(-2- ?)-2 + (?+2)- 2，所以： ?(?)= -? -?(?)=-1-1，?，?设切点为 (?)0，?=-1-1，?0,-?0 -01故切线为 ?- (-? 0 - ?0)= (-1- ?0)(?- ?0) ，由已知切线过 (0,0)，所以 ? + ?= ? + 1，000所以 ?= ?，所以 ?= -1 -1-?+10=?故?= -?+1?故选： D先根据图象关于(-1,0)对称，求出 ?(?)的解析式，然后设切点，求导数，进而写出切线方程

17、，再根据切线过原点，求出切点坐标，即可求出a 的值本题考查导数的几何意义及切线方程的求法，注意利用切点满足的条件列方程解决问题属于基础题13.【答案】 -6【解析】 解：根据题意，向量?= (1,2) ，?= (-3,?)，若 ?= ?，则 -3 = ?1，解可得 ?= -3 ，? = -6 ；? = 2?故答案为： -6；根据题意，由数乘向量的坐标公式可得若?，则 -3 = ?1，解 ?、m 的值，即可= ?= 2?得答案本题考查数乘向量的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题314.【答案】 5【解析】 解：某校组织两个班级的学生参加社区劳动，这两个班级拟从高一年段的两个班级和高二年段的

18、四个班级中选出，基本事件总数2?= ?6 = 15选出的班级中至少有一个班级来自高一年段包含的基本事件个数211= 9，?= ?2+ ?2?4则选出的班级中至少有一个班级来自高一年段的概率为?= ? =9=3?155故答案为： 35第9页，共 17页基本事件总数2= 15.选出的班级中至少有一个班级来自高一年段包含的基本事件?= ?6211个数 ?= ?+ ? = 9，由此能求出选出的班级中至少有一个班级来自高一年段的概224率本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题315.【答案】 5 5【解析】 解： ?=22 ?，利用正弦定理可得：?=2，2?又

19、?=222? +? -?，2?2222可得? +? -?，2= 2?22= 5，整理可得：? +?2?2222222 ?+?22? +? -52?2? 4，当且仅当 ?= ?时等号成立，?=? +? -?=2(? +? )2?2?=5?5? 5?的最大值为 1- cos 2?= 3，当且仅当 ?= ?时等号成立，5故答案为： 5， 3522利用正弦定理可得：2? +?= 5 ，根据余弦定?= 2?，根据余弦定理进而可求得：2?理，基本不等式可求4sinC 的最大值?，当且仅当 ?= ?时等号成立，进而可求5本题考查了正弦定理，余弦定理与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16

20、.【答案】 (0, 6- 24【解析】 解：如图所示，设椭圆的右焦点为E，则四边形AFBE 是平行四边形， ?150 ， ?30 由椭圆的定义可知，?+ ?= 2?，不妨设为 ?+ ?= 2?，由基本不等式的性质可知，(?+?)22?= ?，42222222在 ?中，由余弦定理知，? +? -?(?+?) -2?-?4? -4?cos?=2?=2?=2?- 1 =2(?2 -?2 )2(?2 -?2 )2，- 1 - 1 =21- 2?第10 页，共 17页32322- 36- 2 2 ?30 ， cos ?2,1), 1 - 2?2，解得 ?4 = (4 )，0 ? 0，2，即 ?2?+1

21、?+2?+2 ?+1?+2 -1)1)故得证【解析】 本题第 (1) 题当 ? 2时根据公式 ? = ? - ?，代入进行计算并加以转化可?-1?-1?得 ?= ?-1 (? 2) ，从而可发现数列 ? 是一个常数列，进而可计算出数列?的通项公式；第 (2)题先根据第 (1) 题的结果计算出数列?的通项公式，然后将通项公式进行转化可发现数列 ?2 为公比的等比数列， 再根据等比数列的求和公式写出的?是以 2 为首项，?表达式，同时可得 ?与 ?的表达式，然后运用作差法代入计算可证明不等式成立?+1?+2本题主要考查数列求通项公式，等比数列的判别和求和公式及不等式的综合问题考查了转化与化归思想，

22、作差法，以及逻辑推理能力和数学运算能力本题属中档题18.【答案】 解： (1) 茎叶图如下：第11 页，共 17页(2) 解法一：由 (1) 中的茎叶图可知，自热米饭的销售量较方便面更高，两种速食品的销售量波动情况相当，所以认为自热米饭更受欢迎解法二：方便面的销售量平均值为100 +3-7-2-7+6-14-13-6-9-1= 95，10自热米饭的销售量平均值为100 +-12-4-2-3+1-1+2+7+4+12=100.4 ，10所以自热米饭的销售量平均值比方便面销售量平均值更高，因此认为自热米饭更受欢迎( 注：本小题只需根据统计学知识参照给分)-1+1011-(3) 计算 ?=2=2,?=100.4 ，又 10-，10 (-165，(-2?-?)(? -?) = 165?) =?=1 ?2?=1 ?10-166? ( ?-