2018年山东省青岛市高考数学二模试卷(理科)

1、2018 年山东省青岛市高考数学二模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1.设集合A= x|x+3）（x-6）0 B=R）（，则（ ? A）B=（A. （ -3， 6）B. 6， +）C. （ -3， -2D. （ -， -3） U（ 6， +）2.在复平面内，复数（ i 是虚数单位），则 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 九章算术 中有如下问题： “今有勾五步， 股一十二步， 问勾中容圆， 径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5 步和 12 步，问其内切圆的直径为

2、多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A.B.C.D.4. 在如图所示的框图中，若输出S=360 ，那么判断框中应填入的关于 k 的判断条件是（）A. k 2？B. k 2？C. k 3？D. k 3？5.已知各项均为正数的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，且满足a6， 3a4， -a5 成等差数列，则=（）A. 3B. 9C. 10D. 136.已知直线 x-2y+a=0 与圆 O：x2+y2=2 相交于 A，B 两点（O 为坐标原点），则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知定义域为

3、R 的奇函数 （f x），当 x 0 时，满足，则 f（ 1） +f（2） +f（ 3） + +f （2020） =（）A. log 25B. -log25C. -2D. 0第1页，共 20页8.将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数g（ x）的图象，在g（ x）图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为（）A.B.C.D.9.设变量 x,y 满足约束条件，目标函数z=3x-2y 的最小值为 -4，则 a 的值是( )A.1B.0C.-1D.10. 某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为（）A. 5B.C.D.11.已知过抛物线y

4、2 =2px（ p0）的焦点F 的直线与抛物线交于A，B 两点，且 =3，抛物线的准线l 与 x 轴交于点 C，AAlA1，若四边形 AA1CF 的面积为 12，1 于点则准线 l 的方程为（）A.B.C.D.12.对于定义域为R 的函数 f（ x），若满足 f（0） =0；当 xR，且 x0时，都有 xf（ x） 0；当 x1 0 x2，且 |x1|=|x2|时，都有 f（ x1）f（ x2），则称 f（x）为“偏 对称函致”现给出四个函数： f（1 x）=xsinx ；则其中是“偏对称函数”的函数个数为（）A. 3B. 2C.1D. 0二、填空题（本大题共4 小题，共 20.0 分）13.

5、已知向量 ,满足 |=5 ，| + |=4，| -|=6 ，则向量 在向量上的投影为 _14.已知展开式中的常数项为 30，则实数 a=_ 15.定义为 n 个正数 p1，p2， ， pn 的“均倒数”，若已知数列 an 的前 n项的“均倒数”为，又，则=_ 第2页，共 20页16.已知三棱锥A-BCD 中， AB 3，AD 1， BC 4，当三棱锥A- BCD 的体积最大时，其外接球的体积为_三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17. ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 bcosA+（ 1）求 cosB；（ 2）如图，D 为 ABC 外一点，若在平面四边形A

6、BCD 中，D =2B，且 AD=1，CD =3， BC=，求 AB 的长18. 如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱 BB 1底面 ABC， BB1=4， ABBC，且AB=BC=，点 M ， N 为棱 AB ，BC 上的动点，且AM=BN， D 为 B1C1 的中点（ 1）当点 M， N 运动时，能否出现AD面 B1MN 情况，请说明理由（ 2）若 BN=，求直线AD 与平面 B1MN 所成角的正弦值19.为了解某市高三数学复习备考情况， 该市教研机构组织了一次检测考试， 并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图第3页，共 20页（ 1）根据频率分布直

7、方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u0；（精确到个位）（ 2）研究发现， 本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布2N（ u，）（ u=u0，约为 19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占 40%（ i）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）（ ii）从该市高三理科学生中随机抽取4 人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y，求 Y 的分布列及数学期望E（Y）（说明： P表示 Xx1 的概率参考数据（ 0.7257） =0.6， （ 0.6554） =0.4）20. 在平面直角坐标系中，点F1、 F2 分

8、别为双曲线 C：的左、右焦点，双曲线 C 的离心率为 2，点（ 1， ）在双曲线C 上不在 x 轴上的动点 P与动点 Q 关于原点 O 对称，且四边形PF 1QF 2 的周长为（ 1）求动点 P 的轨迹方程；（ 2）在动点 P 的轨迹上有两个不同的点M（x1， y1）、 N（x2，y2），线段 MN 的中点为 G，已知点（ x1 ，x2）在圆 x2+y2=2 上，求 |OG|?|MN |的最大值，并判断此时 OMN 的形状21. 已知函数 f（ x） =x2+ax+lnx（ aR）（ 1）讨论函数 f （x）在 1， 2上的单调性；x-12（ 2）令函数 g（ x） =e+x +a-f（ x）

9、， e=2.71828 是自然对数的底数，若函数g（ x）有且只有一个零点m，判断 m 与 e 的大小，并说明理由第4页，共 20页22. 以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的2长度单位，曲线C1 的极坐标方程为sin-4cos =0，曲线 C2 的参数方程是（ 为参数）（ 1）求曲线C1 的直角坐标方程及C2 的普通方程；（ 2）已知点P，直线 l 的参数方程为（t 为参数），设直线l 与曲线 C1 相交于 M 、N 两点，求的值23. 已知函数 f（ x） =|x+1|+|x-2|（ 1）求函数 f（ x）的最小值 k；（ 2）在（ 1）的结论下

10、，若正实数a， b 满足，求证：第5页，共 20页答案和解析1.【答案】 C【解析】解：A=x|x -3，或x6，B=x|x -2 ；?A=x|-3 x6 ；R（?RA ） B=x|-3x-2= （-3，-2故选：C可解出集合 A ，B，然后进行补集、交集的运算即可考查描述法、区间表示集合的概念，以及 补集、交集的运算2.【答案】 B【解析】解：=，则在复平面内 对应的点的坐 标为：（-1，2），位于第二象限故选：B利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，求出 ，再求出在复平面内 对应的点的坐 标得答案本题考查了复数代数形式的乘除运算，考 查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.【答案】

11、 C【解析】解：直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为 r，则 5-r+12-r=13，解得 r=2内切圆的面积为 r2=4，豆子落在内切 圆外部的概率 P=1- =1- ，故选：C求出内切 圆半径，计算内切圆和三角形的面 积，从而得出答案本题考查了几何概型的概率 计算，属于基础题第6页，共 20页4.【答案】 D【解析】解：当S=1 时不满足退出循 环的条件，执行循环体后：S=6，k=5，当 S=6 时不满足退出循 环的条件，执行循环体后：S=30，k=4，当 S=30 时不满足退出循 环的条件，执行循环体后：S=120，k=3，当 S=120 时不满足退出循 环的条件，执行循环体后：S=3

12、60，k=2，当 S=360 时满足退出循 环的条件，故判断框中 应填入的关于 k 的判断条件是 k3？，故选：D由已知中的程序框 图可知：该程序的功能是利用循 环结构计算并输出变量 S的值，模拟程序的运行 过程，可得答案本题考查的知识点是程序框 图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答5.【答案】 C【解析】解：设各项均为正数的等比数列 a n 的公比为 q0，满足 a6，3a4，-a5 成等差数列，6a4=a6-a5，6a4=a4（q2-q），q2-q-6=0，q0解得 q=3则 =32+1=10故选：C设各项均为正数的等比数列 a n 的公比为 q0，由a6，3a4，-

13、a5 成等差数列，可得 6a4=a6-a5，6a4=a4（q2-q），化为 q2-q-6=0，q0解得 q，再利用求和公式即可得出本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题6.【答案】 A【解析】第7页，共 20页解：设 A （x1，y1），B（x2，y2）联立，化为：5y2-4ay+a2-2=0，直线 x-2y+a=0 与圆 O：x2+y2=2 相交于 A ，B 两点（O 为坐标原点），=16a2-20（a2-2）0，解得：a210y1+y2=，y1y2=，? x1x2+y1y2=0，（2y1-a）（2y2-a）+y1y2=0，5y1y2-2a（

14、y1+y2）+a2=0，5-2a +a2=0，解得 a=则 “”是 “”的充分不必要条件故选：A联为22，由设 A （x1，y1），B（x2，y2） 立，化：5y-4ay+a -2=0，0? x1x2+y1y2=0，可得5y1y2-2a（y1+y2）+a2=0，把根与系数的关系代入解出 a，即可判断出关系本题考查了直线与圆相交的性 质、一元二次方程的根与系数、向量数量 积的运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题7.【答案】 B【解析】解：定义域为 R 的奇函数 f（x），可得f（-x ）=-f（x），当 x0 时，满足，可得 x时，f（x）=f（x-3），则 f（

15、1）=-log25，f （2）=f（-1）=-f （1）=log25，f （3）=f（0）=0，第8页，共 20页f （4）=f（1）=-log25，f （5）=f（2）=f（-1）=-f （1）=log25，f （6）=f（3）=f（0）=0，f （7）=f（4）=f（1）=-log 25，f （8）=f（2）=f（-1）=-f （1）=log25，f （1）+f（2）+f（3）+f （2020）=-log25+log25+（0-log25+log25）672+0-log25=-log25，故选：B通过计算前几项，可得n=3，4， ，2020，数列以 3为周期的数列，计算可得所求和本题考查分

16、段函数的运用：求函数值，注意运用周期性和 对数的运算性 质，考查运算能力，属于中档 题8.【答案】 A【解析】解：将函数图象上的每个点的横坐 标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到 y=2sin（4x+），再将所得图象向左平移个单位得到函数 g（x）的图象，得到 g（x）=2sin4（x+）+=2sin（4x+），由 4x+=+k，kZ，得 x=k-，kZ，当 k=0 时，离原点最近的对称轴方程为 x=-，故选：A根据三角函数的 图象关系求出 g（x）的解析式，结合对称 轴方程 进行求解即可本题主要考查三角函数的 图象和性质，根据条件求出 g（x）的解析式，结合对称轴方程是解决本 题的关键9.【

17、答案】 C【解析】第9页，共 20页解：作出约束条件所对应的可行域（如图），目标函数z=3x-2y 可化为y=x-z，平移直线 y=x-z 可知，由，解得x=a-1，y=a，A （a-1，a），当直线经过点 A 截距取最小 值，z 最小，3（a-1）-2a=-4，解得 a=-1故选：C作出可行域，变形目标函数并平移直 线 y=x-z 可得结论 本题考查简单线 性规划，准确作图、利用目标函数的几何意 义求最值是解决问题的关键，属中档题10.【答案】 D【解析】解：由三视图可得，该几何体为四棱锥 D-BCC 1B1 和三棱锥 B1-DEB 的组合体则的四棱锥D-BCC 1B1的体积为V1=锥B1-

18、DEB 的体积为，三棱V2=，则该几何体的体 积为第10 页，共 20页故选：D由三视图可得，该几何体为四棱锥 D-BCC 1B1 和三棱锥 B1-DEB 的组合体，利用几何体的体 积公式即可 计算本题考查了根据三 视图求几何体的体 积，属于中档题11.【答案】 A【解析】【分析】本题考查抛物线的方程与性 质，考查四边形面积的计算，正确运用抛物线的定义是关键设|BF|=m，|AF|=3m，则 |AB|=4m，p=m，BAA 1=60，利用四边形 AA 1CF 的面积为 12，建立方程，求出m ，即可求出准线 l 的方程【解答】解：设 |BF|=m，|AF|=3m，则|AB|=4m，p=m，BA

19、A 1=60，四边形 AA 1CF 的面积为 12，=12，m=，=，准线 l 的方程为 x=-，故选 A12.【答案】 B【解析】解：由 可知当 x 0 时，f （x）0，当x 0 时，f （x）0，f（x ）在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递 增，第11 页，共 20页f1（ ）=f1（）=0，f1（x）在（0，+）上不单调，故f 1（x ）不满足条件 ，f1（x）不是“偏对称函数 ”；又 f2（x）=ln（-x）=ln，f2（x ）在R 上单调递减，不满足条件 ，f2（x）不是“偏对称函数 ”；由 可知当 x 10 时，f （x1）f（-x2），即f（x）-f（-x）0 在（-

20、，0）上恒成立，对于 f 3（x），当x 0 时，f3（x）-f 3（-x）=-x-e-x+1，令 h（x）=-x-e-x+1，则 h（x ）=-1+e-x0，h（x）在（-，0）上单调递增，故 h（x）h（0）=0，满足条件 ，由基本初等函数的性 质可知 f 3（x）满足条件 ， ，f为对称函数 ”；3（x） “偏对2xx（x2，（x），f（x）=2e）于 f 44-e -1=2 e -x1，f （x）2（1-2，当 x 0 时，0e）4- =0时x2当 x0，e 1，f4（）x2（1-），-=0f4（x）在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递 增，满足条件 ，当 x0，令m（x）=f

21、4（x）-f 4（-x）=e2x-e-2x+e-x-ex-2x，则 m（x）=2e2x+2e-2x -e-x-ex-2=2（e2x+e-2x ）-（e-x+ex）-2，-xx，则2，于是（）2（22（2，令 e+e =t）-=0tm x =2t -t-6=2t-2-单调递增，m（x）在（-，0）上m（x）m（0）=0，故f 4（x ）满足条件 ，又 f4（0）=0，即f4（x）满足条件 ，f4（x）为“偏对称函数 ”故选：B条件 等价于 f（x ）在（-，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，条件 等价于 f （x）-f（-x）0 在（-，0）上恒成立，依次判断各函数是否满足条件即可得第12

22、 页，共 20页出结论本题考查了函数单调性的判断，函数最值的计算，属于中档题13.【答案】 -1【解析】解：向量满足，可得（+22）=16，（ - ）=36，即为2+2+2? =16，2+2-2? =36，两式相减可得?=-5，则向量在向量上的投影 为=-1故答案为：-1运用向量的平方即为模的平方，以及向量的投影概念，代入计算可得所求 值本题考查向量的性 质：向量的平方即为模的平方，以及向量的投影概念，考 查运算能力，属于基础题14.【答案】 3【解析】【分析】本题考查了二项式定理的 应用问题，是基础题根据二项式展开式定理，求出展开式中的常数 项即可【解答】解：=（x+） +45?（2x）?（

23、-1）（ ） ，+?-1 展开式中的常数 项为? ?2x=30，解得 a=3故答案为 315.【答案】【解析】【分析】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题第13 页，共 20页由题意可得：=，可得：a+a2 2时，1+a2n=2n +n n2a1+a2+an-1=2（n-1）+n-1相减可得 ann=1 时，a1=3对于上式成立可得=n，=再利用裂项求和方法即可得出【解答】题=，解：由 意可得：可得：a1+a2+an=2n2+n2n2时，a1+a2+an-1=2（n-1）+n-1an=4n-1n=1 时，a1=3对于上式成立an=4n-1=n，=则=+

24、+=1-=故答案为：16.【答案】【解析】解：如图所示：当 BC平面 ABD 时，三棱锥的体积最大由于：AB=3 ，AD=1 ，BC=4，BD=，第14 页，共 20页所以：BD2+AD 2=AB 2，则：ABD 为直角三角形设外接球的半径 为 r，则：，解得：，所以球体的体 积为：故答案为：直接利用三棱 锥的体积和球的体 积运算求出 结果本题考查的知识要点：三棱锥的体积运算和球的体 积运算17.【答案】 解：（ 1）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、 c，且：，则：，整理得：，由于： sinA0，所以： cosB=（ 2）由于 D=2B，所以：在 ACD 中， AD =1，C

25、D =3，由余弦定理得：AC2=AD2+CD 2-2AD ?CD cosD=1+9+2=12 ，所以： AC=2在 ABC 中， BC=，222cosB所以： AC =AB +BC -2AB BC，?整理得：，解得：故 AB的长为 【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等 变换和正弦定理求出cosB 的值 （2）利用（1）的结论，进一步利用余弦定理求出 结果第15 页，共 20页本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等 变换，正弦定理和余弦定理的应用18.【答案】 解：（ 1）当 M， N 为棱 AB， BC 中点时，AD 面 B1MN 证明如下：连结 CD ，CNB1D，且 CN=B1D

26、= BC，四边形 B1DCN 为平行四边形，DC 面 B1MN ，M、 N 为棱 AB，BC 中点， ACMN ，又 AC? 面 B1 MN， MN? 面 B1MN，AC 面 B1MN， DC AC=C，面 ADC 面 B1MN （ 2）如图，设AC 中点为 O，作 OEOA，以 OA、 OE、 OB 分别为 x， y，z 轴，建立空间直角坐标系， BN= ， AB=BC=3 ， AC=6，M（ 2，0， 1）， N（ -1，0， 2）， A（ 3， 0，0）， B1（ 0，-4， 3）， D（ - ， -4， ）， =（ -3， 0，1）， =（2， 4， -2），设平面 B1MN 的法向量

27、 =（ x， y， z），则，取 x=1，得=（1， 1， 3），又=（ - ， -4， ）， cos ， =，设直线 AD 与平面 B1MN 所成角为，则 sin =|cos |=直线 AD 与平面 B1MN 所成角的正弦值为【解析】（1）连结 CD，推导出四边形 B1DCN 为平行四边形，从而DC面 B1MN ，当M 、N 为棱 AB ，BC 中点时，AC MN ，则 AC 面 B1MN ，由此能证明面 ADC 面B1MN （2）设 AC 中点为 O，作OEOA ，以OA、OE、OB 分别为 x ，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直 线 AD 与平面 B1MN 所成角的正弦

28、 值 本题考查线面平行的点的位置的确定与证明，考查线面角的正弦 值的求法，第16 页，共 20页考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19.【答案】 解：（ 1）u0=65 0.05+75 0.08+85 0.12+95 0.15+105 0.24+115 0.18+125 0.1+135 0.05+145 0.0 3 103（ 2）（ i ）设本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩为x1，则 P（x x1） =1- （） =0.4，（） =0.6，=0.7257，解得 x 1171本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是11

29、7 分（ii）由题意可知Y B 4P Y=k）=k1-）4-k，k=012 34（，），（?（）（， ， ， Y 的分布列为：Y01234PE（Y） =4= 【解析】（1）根据加权平均数公式 计算；（2）（i）令=0.7257计算 x1 的值；（ii ）根据二项分布的概率公式得出Y 的分布列和数学期望本题考查了频率分布直方 图，二项分布列与数学期望，属于中档 题20.【答案】 解：（ 1）设 F 1， F 2 分别为（ -c， 0），（ c， 0）可得，b2=c2-a2=3a2，又点（ 1， ）在双曲线 C 上， ，解得，c=1连接 PQ， OF 1=OF2， OP=OQ， 四边形 PF 1Q

30、F 2 的周长为平行四边形四边形PF12 2， 动点 P 的轨迹是以点F1、 F2 分别为左右焦点的椭圆（除+PF =2左右顶点），动点 P 的轨迹方程（x0）；2x22=222=1（ ）1+y1y1 +y2， |OG|?|MN |=?=?第17 页，共 20页= 1当 3-2x1x2-2y1 y2=3+2x x2+2y1y2? x1x2 +y1y2=0 时取最值，【解析】1）可得，b2 2 22，解得，c=1又PF（=c -a =3a1+PF2=2 2，可得动点 P 的轨迹是以点 F1、F2 分别为左右焦点的 椭圆（除左右顶点），即可2）可得x2222（1+y1 =2，y1+y2 =1|OG

31、|?|MN|=?=?= xx+y y =0时? 121 2取最值，此时 OMN 为直角三角形本题考查了椭圆的方程，最值计算，考查了计算能力，转化思想，属于中档题21.【答案】 解：（1）由已知x ，且f（ ）=，0x当 =a2-80时，即当 -2a2 时， f（ x） 0，则函数 f（ x）在 1， 2递增，2或 a 22当 =a -8 0 即 a -2时， 2x +ax+1=0 有 2 个根，x=，x 0， x=，1，当1时，令 f （ 1） =3+a0，解得： a-3，故 -3a-2或 a 2时，函数 f（ x）在 1，2递增，2当 1 2时，令 f（ 1） =3+ a0， f（ 2）=

32、+a 0，解得： - a -3，故当 - a -3 时，函数f（ x）在 1，）递减，在 ， 2递增，3当2时，令 f（ 2）= +a0，解得： a- ，故 a- 时，函数f（ x）在 1， 2递减；（ 2）函数 g（ x） =ex-1+x2+a-f（ x） =ex-1-lnx-ax+a，则 g（ x） =ex-1 - -a=h（ x），则 h（ x） =ex-1 + 0，g（ x）在（ 0， +）递增，第18 页，共 20页当 x0， g（ x） +，x+， g（ x）+，故 g（ x） R，故 g（ x）在（ 0，+）上有唯一零点 x1，当 x（ 0，x1）， g（ x） 0， x（ x1， +）， g（ x） 0，故 g（ x1）为 g（ x）的最小值，由已知函数 g（ x）有且只有 1 个零点 m，则 m=x1，故 g（ m） =0， g（ m） =0，则，则 em-1-ln m-（ em-1 -） m+（ em-1-） =0，m-1=0，得（ 2-m） e -ln m+令 p（ x）=