2018年天津市红桥区高考数学一模试卷(文科)

1、2018 年天津市红桥区高考数学一模试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8 小题，共40.0 分）1.设全集 U=1 ，2，3，4 ，集合 A=1 ，2，3 ，B=1 ，3，4 ，则（? UA）B=（）A. 1，3B. 4C. 2 ，4D. ?2.“|x-1| 2成立”是“x（x-3）0成立”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.设 x，y 满足，则 z=x+y（）A. 有最小值2，无最大值B. 有最小值 -7，最大值 3C. 有最大值3，无最小值D. 既无最小值，也无最大值4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体

2、积是（）A.B.C.D. 5. 执行如图所示的程序框图后，输出的值为4P的取值范围是（），则第1页，共 16页A. PB. PC.PD. P6. 已知x123满足（ ）=log 33，则（）=log 2， x =2， xxA. x1 x3 x2B. x1 x2 x3C. x2 x1 x3D. x3 x1x27. 已知抛物线 y2=4x 的准线与双曲线-y2=1（ a 0）交于 A， B 两点，点 F 为抛物线的焦点，若 FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是（）A.B.C.D.8. 已知函数f x）=，函数gx）=asin）-2a+2a 0（），若存在 x1，x20，1，使得 f（ x1）=

3、g（ x2）成立，则实数a 的取值范围是（）A.B. ，1C.D. （0， 二、填空题（本大题共6 小题，共 30.0 分）9.设i是虚数单位，则复数的虚部是_10.设等比数列 an 的公比，前 n 项和为Sn，则=_11. 已知直线 2x+y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+2x-4y-5=0 相交于 A，B 两点，且 ACBC，则实数 a 的值为 _12. 将函数 f（ x） =2sin（ 2x+ ）的图象向右平移 个单位， 0，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象关于直线x= 对称，则 的最小值为 _13.函数 y=-ex+x 在 R 上的最大值是 _14

4、.ABC中，点D满足=，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若=在 +，则 +的最小值为 _第2页，共 16页三、解答题（本大题共6 小题，共 80.0 分）15. 学校计划举办“国学”系列讲座由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10 人参加活动， 在活动前， 对所选的 10 名同学进行了国学素养测试， 这 10 名同学的性别和测试成绩 （百分制）的茎叶图如图所示（ ）分别计算这10 名同学中，男女生测试的平均成绩；（ ）若这 10 名同学中， 男生和女生的国学素养测试成绩的标准差分别为S1，S2，试比较 S1 与 S2 的大小（不必计算，只需直接写出结果）；（ ）规定

5、成绩大于等于 75 分为优良，从这 10 名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率ABC中，内角ABC所对的边分别是a b ca=2，c=，cosA=-16. 在， ，已知（ 1）求 sinC 和 b 的值；（ 2）求 cos（ 2A+ ）的值17. 如图，四棱柱 ABCD -A1B1C1D1 的底面 ABCD 是平行四边形，且 AB=1，BC=2， ABC =60 ， E 为 BC 的中点， AA1平面 ABCD ， A1D 与 AD 1 交于 O（ ）证明： OE平面 CDD 1C1；（ ）证明：平面 A1AE平面 A1DE ；（ ）若 DE=A1 E

6、，试求异面直线AE 与 A1D 所成角的余弦值第3页，共 16页18.已知数列 an 满足 a1= ， an+1=，数列 an 的前 n 项和为 Sn，数列 bn 满足 bn=a2n，其中 nN*（ ）求 a2+a3 的值；（ ）证明：数列 bn 为等比数列；（ ）是否存在n（ nN* ），使得S2n+1=b2n？若存在，求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由19. 已知 aR，函数 f（ x） =2x3-3（a+1） x2+6ax（ ）若 a=1，求曲线 y=f （x）在点（ 2， f（ 2）处的切线方程；（ ）若 |a| 1，求 y=f（ x）在闭区间 0， 2|a|上的最小值20.已知

7、椭圆C：+=1（a b 0）的离心率为，椭圆 C 与 y 轴交于 A，B 两点，且 |AB|=2（ ）求椭圆C 的方程；（ ）设点 P 是椭圆 C 上的一个动点，且点P 在 y 轴的右侧直线PA，PB 与直线x=4 分别交于 M，N 两点若以 MN 为直径的圆与 x 轴交于两点 E，F ，求点 P 横坐标的取值范围及 |EF|的最大值第4页，共 16页答案和解析1.【答案】 B【解析】解：CU A=4 ，则（CU A）B=4，故选：B先求出集合 A 在全集 U 内的补集，再求与集合 B 的交集本题考查集合的交并 补运算，属于基础题2.【答案】 B【解析】解：由|x-1|2 解得：-2+1x2+

8、1，即-1 x 3由 x（x-3）0，解得0x 3“ |x-1|2 成立 ”是“x（-3）0 成立 ”必要不充分条件故选：B利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法分别解出，即可判断出关系本题考查了不等式的性 质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题3.【答案】 A【解析】约画出解：先根据 束条件可行域，由图线z=x+y过时知，当直点 A（2，0） ，z 最小值为：2当直线 z=x+y 没有最大 值故选：A先根据约束条件画出可行域，再利用几何意 义求最值，只需求出直线 z=x+y过点 A 时，z 的最小值即可本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意 义求最值，属于

9、中档题第5页，共 16页4.【答案】 C【解析】解：由三视图知：几何体是以半径为 1，母线为3 的半圆锥图，（如 ）可得 该圆锥的高 h=底面面积 S=，几何体的体 积 V=故选：C由已知中的三 视图，可知该几何体是一个以半径 为 1，母线为 3 的半圆锥 求出底面面 积，代入圆锥体积公式在除以 2，可得几何体的体积 本题考查的知识点是由三 视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状5.【答案】 A【解析】拟执行程序框图，可得解：模n=1，S=0满足条件 SP，S=，n=2满足条件 SP，S=，n=3满足条件 SP，S=+= ，n=4，不满足条件，退出循环 输值为4， 出 n 的p 的取值

10、范围是，故选：A模拟执行程序框 图，依次写出每次循环得到的 S，n 的值，当直到退出循环，输出 n 的值为 4，从而可解得 p 的取值范围本题主要考查了循环结构的程序框 图，正确依次写出每次循 环得到的 S，n 的值是解题的关键，属于基础题6.【答案】 B【解析】第6页，共 16页解：x3 满足=log3x3，x3 0，0，x3 1又 x1=2 0，0x 2= 1，x1 x2x3故选：B利用指数函数与 对数函数的 单调性即可得出本题考查了指数函数与 对数函数的 单调性，属于基础题7.【答案】 D【解析】解：依题意知抛物 线的准线 x=-1代入双曲线方程得y=不妨设 A （-1，），FAB 是等

11、腰直角三角形， =2，解得：a=，c2=a2+b2=+1=，e=故选：D先根据抛物 线方程求得准 线方程，代入双曲线方程求得 y，根据双曲线的对称性可知 FAB 为等腰直角三角形，进而可求得 A 或 B 的纵坐标为 2，进而求得a，利用 a，b 和 c 的关系求得 c，则双曲线的离心率可得本题主要考查了双曲线的简单性质解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出 FAB 为等腰直角三角形8.【答案】 C【解析】第7页，共 16页解：当x0 ，1 时，f（x）=，值域是 0，1，值域是，存在 x1、x20，1使得 f （x1）=g（x2）成立，若则或 2-0，即， 2-2a 1a 的取值范围是故选：C

12、根据 x 的范围值值进确定函数 f （x）的 域和 g（x）的 域， 而根据 f （x1）=g（x 2）成立，推断出，先看当二者的交集为空集时刻求得 a 的范围，进而可求得当集合的交集非空 时 a 的范围 本题主要考查了三角函数的最值值问题，不等式的应题，函数的 域用，解 的关键是通过看两函数 值域之间的关系来确定 a 的范围9.【答案】【解析】解：=，复数的虚部是故答案为：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查了复数代数形式的乘除运算，考 查了复数的基本概念，是基 础题10.【答案】 15【解析】解：对于，先通过等比数列的求和公式，表示出S4，得知 a4=a1q3，进而把 a1 和

13、 q 代入第8页，共 16页约分化简可得到答案本题主要考查了等比数列中通 项公式和求和公式的 应用属基础题11.【答案】 5【解析】圆标准方程为22，圆心（ ，），半径，解： 的（x+1） （ ）+ y-2=C-1 2r=AC BC，圆线AB的距离 d= ， 心C到直即 d=，解得 a=5故答案为：5根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直 线的距离公式即可得到 结论本题主要考查点到直线的距离公式的 应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本 题的关键12.【答案】【解析】解：将函数 f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移 个单位所得图象的解析式 f（x）=2sin2（x-）+

14、=2sin（2x-2+ ），再将图象上每一点的横坐 标缩短到原来的倍所得图象的解析式 f （x）=2sin（4x-2+ ）因为所得图象关于直 线 x=对称，所以当 x=时函数取得最 值，所以 4- 2+ =k+ ，kZ整理得出 =-+，kZ当 k=0 时，取得最小正 值为故答案为：根据三角函数 图象的变换规律得出图象的解析式 f （x）=2sin（4x-2+ ），再根据三角函数的性 质，当x= 时函数取得最 值，列出关于 的不等式，讨论求解即可第9页，共 16页本题考查三角函数 图象的变换规律，三角函数的图象与性质在三角函数图象的平移 变换中注意是 对单个的 x 或 y 来运作的，如本题中，向

15、右平移 个单位后相位 应变为 2（x-）+ ，而非 2x-+ 13.【答案】 -1【解析】解：函数y=-ex+x，y =1-ex，由 y=0得 x=0，当 x（-，0）时，y0，函数 y=x-ex 单调递 增，当 x（0，+）时，y0，函数 y=x-ex 单调递减，所以，当 x=0 时，y 取得最大 值，最大值为 -1故答案为：-1求出导函数，判断函数的单调性然后求解函数的最小 值即可本题考查函数的导数的应用，函数的最小值的求法，考查计算能力14.【答案】【解析】图解：如 所示，ABC 中，=+=+=+（-）=+，又点 E 在射线 AD （不含点A）上移动，设=k，k 0，=+，又，=+2=，

16、当且仅当 k=时取“ =；”第10 页，共 16页+值为的最小故答案为：根据题意画出图形，利用、表示出，再利用表示出，求出与 ，利用基本不等式求出的最小值本题考查了平面向量的 线性运算与基本不等式的 应用问题，是基础题目15.【答案】 解：（ ）由频率分布直方图得男生测试的平均成绩为：= （ 64+76+77+78 ） =73.75，女生测试的平均成绩为：= （ 56+79+76+70+88+87 ） =76 （ ）由频率分布直方图得 S1 S2（ ）设“两名学生的成绩均这优良”为事件 A，男生按成绩由低到高依次为 64， 76，77， 78，女生按成绩由低到高依次为56， 70，76， 79

17、， 87， 88，则从 10 名学生中随机选取一男一女两名同学共有24 种方取法：64 ， 56 ， 64 ， 70 ， 64 ， 76 ， 64 ， 79 ， 64 ， 87 ， 64 ， 88 ， 76 ， 56 ， 76 ， 70 ， 76 ， 76 ， 76 ， 79 ， 76 ， 87 ， 76 ， 88 ， 77 ， 56 ， 77 ， 70 ， 77 ， 76 ， 77 ， 79 ， 77 ， 87 ， 77 ， 88 ， 78 ， 56 ， 78 ， 70 ， 78 ， 76 ， 78 ， 79 ， 78 ， 87 ， 78 ， 88 ，成绩大于等于 75 分为优良，其中两名均

18、为优良的取法有12 种取法，分别为：76 ， 76 ， 76 ， 79 ， 76 ， 87 ， 76 ， 88 ， 77 ， 76 ， 77 ， 79 ， 77 ， 87 ， 77 ， 88 ， 78 ， 76 ， 78 ， 79 ， 78 ， 87 ， 78 ， 88 ，这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率P（A）=【解析】（）由频率分布直方 图能求出男生、女生测试的平均成 绩（由频率分布直方 图得 S1S2（）设“两名学生的成 绩均这优良”为事件 A，男生按成绩由低到高依次 为 64，76，77，78，女生按成绩由低到高依次 为 56，70，76，79，87，88，从 10 名学生中

19、随机选取一男一女两名同学，利用列 举法能求出 这两名同学的国学素养 测试成绩均为优良的概率第11 页，共 16页本题考查频率分布直方 图的应用，考查概率的求法，考 查列举法等基 础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基 础题16.【答案】 解：（ 1） cosA=-，A 为三角形内角，sinA=，a=2， c=，由正弦定理=得： sinC=，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得： 4=b2+2+ b，解得： b=1；（ 2） cos2A=- ，sin2A=- ；cos（ 2A+ ） =cos2Acos -sin2Asin =【解析】（1）由cosA 的值，利用同角三角函数

20、间基本关系求出 sinA 的值，再由 a，c 的值，利用正弦定理求出 sinC，利用余弦定理求出 b 的值即可；（2）原式利用两角和与差的余弦函数公式化 简后，将 sin2A 与 cos2A 的值代入计算即可求出 值此题考查了正弦、余弦定理，以及两角和与差的余弦函数公式，熟 练掌握定理及公式是解本 题的关键17.【答案】 解：（ ）取 AD 的中点 H，连接 OE，EH ，则 OH 是 AD1D 的中位线，则 OHD 1D ，则正方形 ABCD 中， EHCD，则平面 OHE平面 C1D 1DC ，OE? 平面 OEH，OE平面 CDD 1 C1；（ ）依题意， BE=EC= BC=AB=CD

21、 ，ABE 是正三角形， AEB=60 ，又 CDE 中， CED =CDE = （180-ECD ） =30，AED=180 -CED-AEB =90 ，即 DE AE，AA1平面 ABCD ， DE ? 平面 ABCD ， DE AA 1AA1AE=A， DE 平面 A1AE，DE ? 平面 A1DE ，平面 A1AE平面 A1 DE（ ）取 BB 1 的中点 F，连接 EF、 AF，连接 B1C，第12 页，共 16页BB1C 中， EF 是中位线， EFB1CA1B1ABCD， A1 B1=AB=CD ，四边形 ABCD 是平行四边形，可得B1CA1DEF A1 D，可得 AEF （或

22、其补角）是异面直线AE 与 A1D 所成的角CDE中，DE=，CD =，A1， AE=AB=1E=A1，由此可得 BF=，AF =EF= ， A=cosAEF= ，即异面直线 AE 与 A1D 所成角的余弦值为【解析】（）取AD 的中点 H，连接 OE，EH，证明平面 OHE平面 C1D1DC 即可（）根据题意，得ABE 是正三角形， AEB=60，等腰CDE 中CED=（180-ECD）=30，所以AED=90 ，得到 DEAE，结合 DEAA 1，得DE平面 A 1AE ，从而得到平面 A1AE 平面平面 A 1DE（）取BB1 的中点 F，连接 EF、AF ，连接 B1C证出 EFA 1

23、D，可得AEF（或其补角）是异面直线 AE 与 A 1D 所成的角利用勾股定理和三角形中位线定理，算出 AEF 各边的长，再用余弦定理可算出异面直 线 AE 与 A 1D 所成角的余弦值本题主要考 查空间线 面平行，面面垂直的判断，以及异面直线所成角的 计 算，根据空间直线和平面的判定定理和性 质定理进行转化证明是解决本 题的关键 综较强，有一定的难度 合性18.【答案】 解：（ I） 因为 a2=1 ，a3=-3，所以 a2+a3=-2（或者根据已知 a2n+1+a2n=-2n，可得 a3+a2=-2 ） （3分）（ II ） 证明： bn+1=a2n+2=2a2n+1+4n=2（ -a2n

24、-2n） +4n=-2 a2n=-2 bn， b1=a2=2a1=1，故数列 bn 是首项为 1，公比为 -2 的等比数列 （ 7 分）（III ）由（II）知，所以设，又 S2n+1 =a1+（a2+a3） +（ a4+a5） +（ a2n+a2n+1） =a1+c1+c2+cn=第13 页，共 16页则由，得 2n2+2n+40=4n ，设 f（ x） =4x-2x2-2x-40（x2），则 g（ x）=f（ x）=4xln4-4 x-2，g（ x）=4xln2 4-4 0（ x2），所以 g（ x）在 2，+）上单调递增， g（ x） g（ 2） =f（ 2） 0，即 f（ x） 0，所

25、以 f（ x）在 2，+）上单调递增又因为 f（ 1） 0， f（ 3）=0 ，所以仅存在唯一的n=3 ，使得成立 （ 13 分）【解析】（）根据数列的 递推关系即可求 a2+a3 的值；（）根据等比数列的定 义即可证明数列 b n 为等比数列；（）求出 S2n+1，b2n，解方程即可得到结论 本题主要考查递推数列的应用以及等比数列的证查明，考 学生的运算和推理能力【答案】 解：（ ）当 a=1 时， f（ x）=6 x2-12x+6 ，所以 f （ 2） =619.f（2） =4， 曲线 y=f（ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线方程为 y=6x-8；（ ）记 g（ a）为 f（ x）在

26、闭区间 0， |2a|上的最小值f （ x） =6x2-6（ a+1 ）x+6 a=6（x-1）（ x-a），令 f（ x） =0，得到 x1=1，x2=a，当 a 1时，x0（0，1） 1（ 1， a） a（a， 2a） 2afx）+0-0+（f（ x）0极大值极小值单调递增3a-1单调递减单调递增 4a3a2（ 3-a）比较 f（ 0）=0 和 f（a） =a2（ 3-a）的大小可得 g（ a）=当 a -1 时，X0（0， 1）1（ 1，-2a）-2af x）-0+f（ x）0单调递减极小值 3a-1单调递增-28a3-24a2g（ a） =3 a-1，综上， f（ x）在闭区间 0，|2a|上的最小值为g（ a）=【解析】（）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐 标，即可求曲线 y=f （x）在点（2，f（2）处的切线方程；第14 页，共 16页（）分类讨论，利用导数确定函数的 单调性，从而可得极值，即可得到最值本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意 义，考查函数的最 值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档 题20.【答案】 解：（