2021-2021年江苏省南京市高考数学模拟试卷（5月份）（解析版）

1、2021-2021年江苏省南京市高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题1已知集合A=x|xa0，B=x|x22x30，若BA，则实数a的取值范围是2已知i为虚数单位，复数z满足=i，则|z|=3如图是某市教师基本功大赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后的5个数据的标准差为（茎表示十位数字，叶表示个位数字）4已知三角形的顶点为A（2，4）、B（1，2）、C（2，3）则BC边上的高AD所在直线的方程是5阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是；6在等腰直角三角形ABC的斜边AB上任取一点M，则AMAC的概率为7已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线

2、，给出下列命题：若m，m，则；若mn，m，则n；若=m，nm，且n，n，则n且n若m，则m其中真命题的个数是8若双曲线E： =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于9设定义在R上的奇函数y=f（x），当x0时，f（x）=2x4，则不等式f（x）0的解集是10已知实数x，y满足，则的取值范围是11已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q=2，S10=1023，则S2+S4+S6+S8+S10的值为12已知P1（x1，x2），P2（x2，y2）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，P1OP2=（为钝角）若sin（）=，则的x1x2+y1y2值为13如图，在

3、凸四边形ABCD中，AB=1，BC=，ACCD，AC=CD，当ABC变化时，对角线BD的最大值为14已知函数f（x）=x2+ax+b存在实数x0，且有|x0|3，使得f（x0）=0，则a2+4b2的最小值二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数y=f（x）图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=1的解16如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1CC1，A1B=A1D，AB=AD求证：（

4、1）AA1BD；（2）BB1DD117在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的点S（x，y）到点M（1，0）的距离与它到直线x=4的距离之比为（1）求曲线C的方程；（2）若点A（x1，y1）与点P（x2，y2）在曲线C上，x12+x22=4且点A在第一象限，点P在第二象限，点B与点A关于原点对称，求三角形PAB的面积18某种产品具有一定时效性，在这个时期内，由市场调查可知：每件产品获利a元，在不作广告宣传的前提下可卖出b件；若作广告宣传，广告费为n+1（nN）千元时比广告费为n千元时多卖出件，设作n（nN）千元广告时销售量为Cn件（1）试写出销售量Cn与n（nN）的函数关系式（2）当a=10，b=

5、4000时，厂家应作几千元广告，才能获取最大利润？19已知正项数列an，bn满足：对任意正整数n，都有an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，且a1=10，a2=15（）求证：数列是等差数列；（）求数列an，bn的通项公式；（） 设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围20已知函数f（x）=，直线y=x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数）（1）求实数a的值；（2）用minm，n表示m，n中的最小值，设函数g（x）=minf（x），x（x0），若函数h（x）=g（x）cx2为增函数，求实数c的取值范围附加21如图，求垂直投影到直线y=x上的投

6、影变换矩阵22在直角坐标系xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x2）2+y2=4（）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2交点的直角坐标；（）求圆C1与C2的公共弦所在直线的极坐标方程23甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立（）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）24设数集A=1，x1，x2，xn，其中0x1x2xn，n2，向量集B=|

7、=（x，y），xA，yA若B，B使得=0，则称A具有性质P（1）若a1，数集A=1，1，a，求证：数集A具有性质P；（2）若b，数集A=1，1，b具有性质P，求b的值；（3）若数集A=1，x1，x2，xn（其中0x1x2xn，n2）具有性质P，x1=1，x2=q（q为常数，q1），求数列xk的通项公式xk（kN*，kn）参考答案与试题解析一、填空题1已知集合A=x|xa0，B=x|x22x30，若BA，则实数a的取值范围是a3【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】利用一次不等式的解法、一元二次不等式的解法分别解出A，B，再利用BA即可得出【解答】解：由xa0，可得xa，A=（，a）由x22x

8、30，解得1x3B=（1，3）BA，a3故答案为：a32已知i为虚数单位，复数z满足=i，则|z|=1【考点】复数代数形式的混合运算【分析】设出z=a+bi，得到1abi=b+（a+1）i，根据系数相等得到关于a，b的方程组，解出a，b的值，求出z，从而求出z的模【解答】解：设z=a+bi，则=i，1abi=b+（a+1）i，解得，故z=i，|z|=1，故答案为：13如图是某市教师基本功大赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后的5个数据的标准差为（茎表示十位数字，叶表示个位数字）【考点】茎叶图；极差、方差与标准差【分析】根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方

9、法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和方差，从而求出标准差【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据83，84，85，86，87的平均数为=85方差为 （8385）2+（8485）2+（8585）2+（8685）2+（8785）2=2标准差为故答案为：4已知三角形的顶点为A（2，4）、B（1，2）、C（2，3）则BC边上的高AD所在直线的方程是3x5y+14=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程【分析】求出BC的斜率，可得BC边上的高的斜率，利用点斜式，可求BC边上的高所在直线的方程【解答】解：（1）B（1，2

10、）、C（2，3），BC的斜率是=BC边上的高的斜率为BC边上的高所在直线的方程为y4=（x2）即3x5y+14=0故答案为：3x5y+14=05阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是0；【考点】程序框图【分析】根据题中的流程图，模拟运行，依次根据条件计算s和n的值，直到n2021运行结束，输出此时的s的值即为答案【解答】解：根据题中的流程图，模拟运行如下：输入s=0，n=1，此时n2021，符合条件，s=0+sin=，n=2，此时n2021，符合条件，s=+sin=，n=3，此时n2021，符合条件，s=+sin=，n=4，此时n2021，符合条件，s=+sin=，n=5，此时

11、n2021，符合条件，s=+sin=0，n=6，此时n2021，符合条件，s=0+sin2=0，n=7，此时n2021，符合条件，s=0+sin=，n=8，此时n2021，符合条件，通过运行即可发现运行中的s的值具有周期性，周期为6，2021=6336，s=0，n=2021，此时n2021，不符合条件，结束运行，输出s=0故答案为：06在等腰直角三角形ABC的斜边AB上任取一点M，则AMAC的概率为【考点】几何概型【分析】欲求AMAC的概率，先求出M点可能在的位置的长度，AC的长度，再让两者相除即可【解答】解：在等腰直角三角形ABC中，设AC长为1，则AB长为，在AC上取点D，使AC=1，则若

12、M点在线段AB上，满足条件AC=1，AB=AMAC的概率为=故答案为：7已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：若m，m，则；若mn，m，则n；若=m，nm，且n，n，则n且n若m，则m其中真命题的个数是2【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据面面垂直的判定定理进行判断即可，根据线面平行的性质以及线面垂直的性质进行判断，根据线面平行的判定定理进行判断，根据线面平行，面面垂直的判定定理进行判断【解答】解：根据面面垂直的定义知若一个平面内有一条直线和平面垂直，则两个平面垂直，即若m，m，则成立；故正确，若mn，m，则n或n；故错误，若=m，nm且n，n，则n且n此命题正确，

13、因为由线面平行的判定定理知，面外一条直线与面内一条直线平行，可得此线与面平行故正确，若m，则m或m或m或m与相交故错误，故正确的是，故答案为：28若双曲线E： =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于9【考点】双曲线的简单性质【分析】设|PF2|=x，由双曲线的定义及性质得|x3|=6，由此能求出|PF2|【解答】解：设|PF2|=x，双曲线E： =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，a=3，b=4c=5，|x3|=6，解得x=9或x=3（舍）|PF2|=9故答案为：99设定义在R上的奇函数y=f（x），当x0时，f

14、（x）=2x4，则不等式f（x）0的解集是（，20，2【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数奇偶性的性质，先求出函数的解析式，然后解不等式即可【解答】解：当x0，则x0，此时f（x）=2x4，f（x）是奇函数，f（0）=0，f（x）=2x4=f（x），即f（x）=2x+4，x0，当x0时，由f（x）=2x40，得0x2，当x=0时，f（x）0成立，当x0时，由f（x）=2x+40，得2x4，即x2，则x2，综上0x2或x2，即不等式的解集为（，20，2，故答案为：（，20，2，10已知实数x，y满足，则的取值范围是1，【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何

15、意义进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到定点D（0，1）的斜率，由图象知，AD的斜率最大，BD的斜率最小，此时最小值为1，由得，即A（1，），此时AD的斜率k=，即1，故的取值范围是1，故答案为：1，11已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q=2，S10=1023，则S2+S4+S6+S8+S10的值为1359【考点】等比数列的前n项和【分析】由等比数列的前n项和公式得a1=1，由此利用等比数列的性质能求出S2+S4+S6+S8+S10【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，公比q=2，S10=1023，=1023，解得a1=1，S2+S4+S6+S

16、8+S10=+=22+24+26+28+2105=5=1359故答案为：135912已知P1（x1，x2），P2（x2，y2）是以原点O为圆心的单位圆上的两点，P1OP2=（为钝角）若sin（）=，则的x1x2+y1y2值为【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】由条件求得cos（）的值，可得cos 的值，再利用两个向量的数量积的定义、两个向量的数量积公式求得x1x2+y1y2的值【解答】解：由题意可得，sin（）=0，还是钝角，cos（）=，cos=x1x2+y1y2=|cos=11（）=，故答案为：13如图，在凸四边形ABCD中，AB=1，BC=，ACCD，AC=CD，当ABC变化时，对角线B

17、D的最大值为+1【考点】解三角形的实际应用【分析】设ABC=，ACB=，求出AC，sin，利用余弦定理，即可求出对角线BD的最大值【解答】解：设ABC=，ACB=，则AC2=42cos，由正弦定理可得sin=，BD2=3+42cos2cos（90+）=72cos+2sin=7+2sin（45），=135时，BD取得最大值+1故答案为： +114已知函数f（x）=x2+ax+b存在实数x0，且有|x0|3，使得f（x0）=0，则a2+4b2的最小值35【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数的性质【分析】将x2+ax+b=0变形为xa+2b+x2=0，即点（a，2b）在直线xa+2b+x2=0上

18、，则a2+4b2的表示点（a，2b）与（0，0）的距离的平方；（0，0）到直线xa+2b+x2=0距离的平方为，通过换元，利用对勾函数的单调性，求出最小值【解答】解：由于x2+ax+b=0，则xa+b+x2=0，点（a，2b）在直线xa+2b+x2=0上，则a2+4b2的表示点（a，2b）与（0，0）的距离的平方（0，0）到直线xa+2b+x2=0距离的平方为，a2+4b2，令t=1+4x21+49=37，a2+4b2=（t+2），由y=t+2（t37）为增函数，当t=37时有最小值35+；当且仅当x=3取等号故a2+4b2的最小值为35故答案为：35二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答

19、应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数y=f（x）图象向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=1的解【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦；函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】（1）把函数f（x）的解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调区间2k，2k+（kZ），求出x的范围，即为函数f（x）的单调递增区间；（2）根据平移规

20、律“左加右减”，由f（x）的解析式得到向右平移2个单位后的解析式g（x），令g（x）=1，得到sin（2x）=0，根据正弦函数的图象与性质即可求出x的值，即为方程g（x）=1的解【解答】解：（1）函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1，由2k2x+2k+（kZ）得：kxk+（kZ），则f（x）的单调递增区间是k，k+（kZ）；（2）由已知得：g（x）=sin2（x）+1=sin（2x），由g（x）=1得： sin（2x）=0，2x=k（kZ），则x=+（kZ）16如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1CC1，A1B=A1D，A

21、B=AD求证：（1）AA1BD；（2）BB1DD1【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）取BD中点E，连接AE、A1E，根据等腰三角形底边的中线也是底边上的高，得AEBD且A1EBD，因此BD平面A1AE，结合线面垂直的性质，得AA1BD；（2）根据AA1CC1，结合线面平行判定定理，可证出CC1平面AA1B1B再用线面平行的性质定理，得BB1CC1，同理可得DD1CC1，根据平行线的传递性，可得BB1DD1【解答】解：（1）取BD中点E，连接AE、A1EABD中，AB=AD，E为BD中点AEBD，同理可得A1EBD，AE、A1E平面A1AE，AEA1E=EBD平面A1AE，AA

22、1平面A1AE，AA1BD；（2）AA1CC1，AA1平面AA1B1B，CC1平面AA1B1B，CC1平面AA1B1BCC1平面CC1B1B，平面CC1B1B平面AA1B1B=BB1BB1CC1，同理可得DD1CC1，BB1DD117在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的点S（x，y）到点M（1，0）的距离与它到直线x=4的距离之比为（1）求曲线C的方程；（2）若点A（x1，y1）与点P（x2，y2）在曲线C上，x12+x22=4且点A在第一象限，点P在第二象限，点B与点A关于原点对称，求三角形PAB的面积【考点】轨迹方程【分析】（1）利用直接法，建立方程，化简可得曲线C的方程；（2）求出直线A

23、B的方程，运用点到直线的距离公式求得P到直线AB的距离，弦长AB，运用三角形的面积公式可得SPAB=d|AB|=|x1y2x2y1|，再由A，P满足椭圆方程，结合条件x12+x22=4，计算即可得到三角形PAB的面积为定值【解答】解：（1）曲线C上的点S（x，y）到点M（1，0）的距离与它到直线x=4的距离之比为，=，化简可得=1；（2）直线AB的方程为y=x，即为y1xx1y=0，可得P（x2，y2）到直线AB的距离为d=，|AB|=2，则SPAB=d|AB|=|x1y2x2y1|，由x10，x20，y10，y20，y12=（4x12），y22=（4x22），可得y1=，y2=，则|x1y2

24、x2y1|=|x1|y2+|x2|y1=（|x1|+|x2|）由x12+x22=4，可得x12=4x22，x22=4x12，即有|x1y2x2y1|=（x12+x22）=2故当x12+x22=4时，三角形PAB的面积为218某种产品具有一定时效性，在这个时期内，由市场调查可知：每件产品获利a元，在不作广告宣传的前提下可卖出b件；若作广告宣传，广告费为n+1（nN）千元时比广告费为n千元时多卖出件，设作n（nN）千元广告时销售量为Cn件（1）试写出销售量Cn与n（nN）的函数关系式（2）当a=10，b=4000时，厂家应作几千元广告，才能获取最大利润？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）根

25、据在不作广告宣传的前提下可卖出b件；若作广告宣传，广告费为n+1（nN）千元时比广告费为n千元时多卖出件，直接列式；（2）b=4000时，Cn=4000（2），设获利为Tn，则有Tn=Cn101000n=40000（2）1000n欲使Tn最大，根据数列的单调性可得，代入结合n为正整数解不等式可求n，进而可求最大利润【解答】解：（1）广告费为1千元时，Cn=b+；2千元时，Cn=b+；n千元时，Cn=b+=b（2）；（2）b=4000时，Cn=4000（2），设获利为Tn，则有Tn=Cn101000n=40000（2）1000n欲使Tn最大，则，得n=5，此时Tn=7875即该厂家应生产7875

26、件产品，做5千元的广告，能使获利最大19已知正项数列an，bn满足：对任意正整数n，都有an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，且a1=10，a2=15（）求证：数列是等差数列；（）求数列an，bn的通项公式；（） 设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围【考点】等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合【分析】（）通过已知得到关于数列的项的两个等式，处理方程组得到，利用等差数列的定义得证（）利用等差数列的通项公式求出，求出bn，an（）先通过裂项求和的方法求出Sn，代入化简得到关于n的二次不等式恒成立，构造新函数，通过对二次项系数的讨论求出函数的

27、最大值，令最大值小于0，求出a的范围【解答】解：（）由已知，得2bn=an+an+1，an+12=bnbn+1由得将代入得，对任意n2，nN*，有即是等差数列（）设数列的公差为d，由a1=10，a2=15经计算，得，（）由（1）得不等式化为即（a1）n2+（3a6）n80设f（n）=（a1）n2+（3a6）n8，则f（n）0对任意正整数n恒成立当a10，即a1时，不满足条件；当a1=0，即a=1时，满足条件；当a10，即a1时，f（n）的对称轴为，f（n）关于n递减，因此，只需f（1）=4a150解得，a1综上，a120已知函数f（x）=，直线y=x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数

28、）（1）求实数a的值；（2）用minm，n表示m，n中的最小值，设函数g（x）=minf（x），x（x0），若函数h（x）=g（x）cx2为增函数，求实数c的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出f（x）的导数，设出切点（m，n），可得切线的斜率，由切线方程可得a，m的方程，解方程可得a=1；（2）y=f（x）和y=x的交点为（x0，y0），分别画出y=f（x）和y=x在x0的图象，可得1x02，再由新定义求得最小值，求得h（x）的解析式，由题意可得h（x）0在0xx0时恒成立，运用参数分离和函数的单调性，即可得到所求c的范围【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f

29、（x）=，设切点为（m，n），即有n=，n=m，可得ame=em，由直线y=x为曲线y=f（x）的切线，可得=，由解得m=1，a=1；（2）函数g（x）=minf（x），x（x0），由f（x）=的导数为f（x）=，当0x2时，f（x）递增，x2时，f（x）递减对x在x0递增，设y=f（x）和y=x的交点为（x0，y0），由f（1）（11）=0，f（2）（2）=0，即有1x02，当0xx0时，g（x）=x，h（x）=g（x）cx2=xcx2，h（x）=1+2cx，由题意可得h（x）0在0xx0时恒成立，即有2c+，由y=+在（0，x0）递减，可得2c+当xx0时，g（x）=，h（x）=g（x）c

30、x2=cx2，h（x）=2cx，由题意可得h（x）0在xx0时恒成立，即有2c，由y=，可得y=，可得函数y在（3，+）递增；在（x0，3）递减，即有x=3处取得极小值，且为最小值可得2c，由可得2c，解得c附加21如图，求垂直投影到直线y=x上的投影变换矩阵【考点】几种特殊的矩阵变换【分析】根据题意设点A（x0，y0），过A作y=x的垂线，垂足B（x1，y1），就是A的映射，求得AB的方程，将y=x代入直线方程，求得x1和y1，将其写成矩阵乘积的形式，即可求得矩阵M【解答】解：设点A（x0，y0），过A作y=x的垂线，垂足B（x1，y1），就是A的映射，AB的斜率1，方程yy0=（xx0）=

31、xx0，y=x代入：xy0=xx0，整理得：2x=x0y0，x1=（x0y0）y1=x1=（x0y0）垂直投影到直线y=x上的投影变换矩阵M=22在直角坐标系xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x2）2+y2=4（）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2交点的直角坐标；（）求圆C1与C2的公共弦所在直线的极坐标方程【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化【分析】（）利用极坐标与直角坐标的互化，求出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2交点的直角坐标；（）利用圆C1与C2的解得的直角坐标，求出公共弦所在直线的极

32、坐标方程【解答】（本题满分10分） 选修44：极坐标与参数方程解：（）圆C1的极坐标方程为=2，圆C2的极坐标方程=4cos解，得=2，=，故圆C1与圆C2交点的坐标为（2，），（2，）注：极坐标系下点的表示不唯一（）由，得圆C1与C2交点的直角坐标分别为（1，），（1，）故圆C1与C2的公共弦的参数方程为，t极坐标方程为：=23甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立（）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期

33、望）【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及均值【解答】解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，Ak表示第k局甲获胜，Bk表示第k局乙获胜，则P（Ak）=，P（Bk）=，k=1，2，3，4，5（）P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（）2+（）2+（）2=（）X的可能取值为2，3，4，5P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）=，P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）=，P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）=，P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）=，或者P（X=5）=1P（X=2）P（X=3