初中几何三角形五心及定理性质

1、初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。 三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21。2、重心和三角形任意两个顶点组成的3 个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。3、重心到三角形3 个顶点距离的平方和最小。4、在平面直角坐标系中

2、，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（ X1+X2+X3 ）/3，（ Y1+Y2+Y3 ）/3）。5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。外心定理第 1 页 共 6 页三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。2、若 O 是 ABC 的外心，则 BOC=2 A（ A 为锐角或直角）或 BOC=360 -2A（ A 为钝角）。3、当三角形为锐角三角形时， 外心在三角形内部； 当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。5、外心到三顶

3、点的距离相等垂心定理图 1图 2三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。第 2 页 共 6 页垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7 个点可以得到 6 个四点圆。2、三角形外心O、重心 G 和垂心 H 三点共线，且 OG GH=1 2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line ）3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2 倍。4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。推论：1. 若 D 、 E 、 F 分别是ABC 三边的高的垂足，则1 = 2 。（图 1）2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。 （图 1）3. 若 D 、 E 、 F 分别是

4、ABC 三边的高的垂足，则1 = 2 。（图 2）定理证明已知：ABC中，AD、BE 是两条高， AD、BE 相交于点 O，连接 CO 并延长交 AB 于点 F ，求证： CFAB证明：连接 DE ADB= AEB=90 度 A、B、D、E 四点共圆 ADE= ABE第 3 页 共 6 页又 ODC= OEC=90 度 O、D、C、E 四点共圆 ACF= ADE= ABE又 ABE+ BAC=90 度 ACF+ BAC=90 度 CFAB因此，垂心定理成立内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。2、直角三角形的内心到边

5、的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。3、P 为ABC所在空间中任意一点， 点 0 是ABC内心的充要条件是： 向量P0=(a 向量 PA+b向量 PB+c向量 PC)/(a+b+c).4、O 为三角形的内心， A、B、C 分别为三角形的三个顶点，延长AO 交 BC边于 N，则有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC第 4 页 共 6 页5、(欧拉定理 )ABC 中， R 和 r 分别为外接圆为和内切圆的半径，O 和 I 分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr 6、（内角平分线分三边长度关系） ABC 中，0 为内心， A 、B、 C 的内角平分线分别交 BC、A

6、C、AB于 Q、P、R， 则 BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.7、内心到三角形三边距离相等。旁心定理三角形的旁切圆 （与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。旁心一定在三角形外。2、任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。3、旁心到三角形三边的距离相等。第 5 页 共 6 页如图，点 M 就是 ABC 的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。巧记诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混重 心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为 “重心 ”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好外 心三角形有六元素，三个内角有三边作三边的中垂线，三线相交共一点此点定义为外心，用它可作外接圆内心外心莫记混，内切外接是关键垂 心三角形上作三高，三高必于垂心交高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成