江苏省宿迁市高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1.6 点到直线的距离1课件 苏教版必修2

1、点到直线距离点到直线距离 复复 习习 巩巩 固固 : 两点间距离公式：两点间距离公式： 已知两点已知两点P1（x1，y1） P2（x2，y2），设中点坐），设中点坐 标标M（x0，y0） 已知两点已知两点P1（x1，y1） P2（x2，y2） 22 121212 ()()PPxxyy 中点坐标公式：中点坐标公式： 12 0 12 0 2 2 xx x yy y 此公式的探究过程中体现了那种此公式的探究过程中体现了那种 重要的数学思想？重要的数学思想？ 数形结合数形结合 构造法构造法 如何计算点（，）到直线如何计算点（，）到直线 AB:5x+4y-7=0的距离呢？的距离呢？ 过点作过点作，垂足为

2、，垂足为， 则点到直线的距离就则点到直线的距离就 是线段的长是线段的长 方法一：方法一：通过求点的坐标，通过求点的坐标， 用两点间的距离公式求用两点间的距离公式求 由由，可知所在直线的斜率为：，可知所在直线的斜率为： 4 5 求出的方程即求出的方程即4x-5y+12=0. 3.联立和所在直线的方程联立和所在直线的方程 5x+4y-7=0 4x-5y+12=0 得垂足的坐标得垂足的坐标 1 38 8 (,) 4 14 1 5x+4y-7=0 O x y ( 1,3)A (3,2)B ( 2 , 4 )D 问问 题题 探探 究究 : E 用两点间的距离公式，求出点到的距离用两点间的距离公式，求出点

3、到的距离 22 138819 (2)(4) 414141 DE 方法一的不足：方法一的不足：运算量较大运算量较大 下面我们通过构造三角形，下面我们通过构造三角形， 利用面积关系求出点到的距离利用面积关系求出点到的距离 问问 题题 探探 究究 : 方法二：方法二：如图过点分别作轴如图过点分别作轴y轴的平行线轴的平行线 交直线于点，我们通过计算交直线于点，我们通过计算 的面积，求出的面积，求出 求出求出 93 (,4), (2,) 54 MN 计算计算 919319 2,4. 5544 DMDN 由三角形面积公式得：由三角形面积公式得： 22 1 91 9 1 9 54 . 1 91 94 1 (

4、)() 54 D MD N D E M N O x y 9 (,4) 5 M 3 (2,) 4 N (2,4)D AB:5x+4y-7=0 问问 题题 探探 究究 : 于是求得平行四边形的面积为：于是求得平行四边形的面积为： 19 4119 41 ABDE 思考：思考：推广到一般方程推广到一般方程,如何求点到直线的距离呢如何求点到直线的距离呢? 问问 题题 探探 究究 : Q y x l O 0 ,)y 0 P(x 10 (,)N xy 01 (,)Mxy 一般地，对于直线一般地，对于直线 0 :0(0,0),),l AxBy CABy 0 外一点P(x ,.,PPQlQPxy过点 作垂足为过

5、点 分别作 轴 轴的平行线 l 0110 交 于点 （ ， ） 、 （ ， ） 问问 题题 探探 究究 : y x l Q O 0 ,)y 0 P(x 01 (,)N xy 10 ( ,)M x y 001 0,0,ByCAxByC 1 由 Ax 00 1 ,. ByCAxC y AB 1 得 x 00 10 . AxByC xx A 所以 PM 00 20 AxByC PNyx B PQ是是RtPMNPMN斜边上的高斜边上的高,由三角形面积可由三角形面积可 知知 00 2222 . PMPNPMPNAxByC PQ MN PMPNAB 问问 题题 探探 究究 : 由此我们得到，点由此我们得到

6、，点 00 ( ,)P x y 到直线到直线 :0l AxBy C 的距离的距离 00 22 . AxByC d AB 这就是点到直线的距离公式这就是点到直线的距离公式 思考：此探究过程中体现了那种重要的数学思想？思考：此探究过程中体现了那种重要的数学思想？ 数形结合的思想数形结合的思想 基基 本本 公公 式式 : 例例.求点（，）到下列直线的距离求点（，）到下列直线的距离 (1) 2x+y-10=0(2) 3x=2 例例 题题 讲讲 解解: 例例.求两条平行直线求两条平行直线x+3y-2=0与与 2x+6y-9=0之间的距离之间的距离 求线到线的距离求线到线的距离 点到线的距点到线的距 离离

7、 问题：问题： 例例 题题 讲讲 解解: 思考：此探究过程中体现了那种重要的数学思想？思考：此探究过程中体现了那种重要的数学思想？ 转化的思想转化的思想 一般地，已知两条平行直线一般地，已知两条平行直线 22 :0l Ax By C 11 :0l Ax By C 12 ().CC 的距离如何求呢？的距离如何求呢？ 一般地，已知两条平行直线一般地，已知两条平行直线 22 :0l Ax By C 11 :0l Ax By C 12 ().CC 002 0AxByC 00 (,)P x y 2 l设设是直线是直线上任意一点，上任意一点， 则则 002. AxByC 即即 于是点于是点 00 (,)P

8、 x y 到直线到直线 11 :0lAxByC的距离的距离 00112 2222 AxByCCC ABAB d 1 l 2 l就是直线就是直线和和的距离的距离 注意注意：当当两条直线的方程中两条直线的方程中x、y的系数的系数 相同相同时才能使用上述公式时才能使用上述公式 公公 式式 推推 导导 : 例例.建立适当的直角坐标系，证明等腰三角形建立适当的直角坐标系，证明等腰三角形 底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上 的高的高 解题步骤与过程：解题步骤与过程： 建立适当的直角坐标系建立适当的直角坐标系 确定相应点的坐标确定相应点的坐标 利用点到线的距离利用点到线的距离 公式求解公式求解 求出直线的方程求出直线的方程 例例 题题 讲讲 解解: ,0)(x (,0)a ( ,0)a (0, )b x y O E F B A P C 课本课