导数的性质与应用

1、第三章导数与微分导数与微分（14学时）内容：导数、左右导数的概念，导数的几何意义，导数的基本公式与运算法则，反函数、复合 函数，初等函数，隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的函数的导数，简单函数的高阶 导数，隐函数的二阶导数，由参数方程所确定的函数的二阶导数。变化率的应用，微分概念 和运算以及微分的应用。要求：理解导数的定义及其几何意义，了解连续与可导的关系。熟练掌握导数的基本公式与运 算法则，熟练掌握复合函数、初等函数、隐函数的求导方法。掌握取对数的求导法，掌握由 参数方程所确定的函数的求导法。理解高阶导数的概念及其几何意义，了解微分用与近似计 算。重点与难点：重点是导数的定义及运算法则，

2、导数的几何意、复合函数、初等函数、隐函数的求导方 法。微分的概念，求二阶导数。难点是商的导数公式的运用。求二阶导数。第三章导数与微分本章内容简介：微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分，其中导数反 映的是函数相对于自变量的变化快慢的速度，而微分则指明当自变量有微小变化时，函数大 体上变化多少。本章里，我们主要学习导数和微分的概念以及它们的计算方法，而导数的应用，贝恠下 一章讨论。第一节导数的概念教学目的：理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线，了解导数的物理意义,理解函数连续性与可导性之间的关系教学重点：导数的概念，导数的几何意义教学难点：导数定义的理解，不同形式的掌

3、握教学时数：2学时教学内容:、导数概念的引例为了引出导数的概念，我们先看下面两个关于变化率的实际问题（1 ）直线运动的速度例如，物体作匀速直线运动时，其速度为(1)位移差 s So st s to V 时间差 t to t to如果物体作变速直线运动，则上式只能表示从时刻to到t的平均速度，如果时间间隔选得较短, 这个比值（1 ）在实践中也可用来说明动点在时刻to的速度。但对于动点在时刻to的速度的精 确概念来说，这样做是不够的，而更确切地应当这样：令 t鮎,取（1 ）式的极限，如果这个 极限存在，设为Vo，即Vo lim St Sto，这时就把这个极限值Vo称为动点在时刻to的（瞬时）t t

4、o t to速度。（2 ）切线问题我们就曲线C为函数y f x的图形的情形来讨论切线问题。设 M X。，yo是曲线C上的一个点（图2-2 ），则yo f Xo。根据上述定义要定出曲线C在点M处的切线，只要定出切线的斜率就行了。为此，在点 M外另取C上的一点N x, y ,于是割线MN的斜率为tany y。xXof x f x0xx。其中 为割线MN的倾角。当点N沿曲线C趋于点M时，xx0。如果当x x0时，上式的极限存在，设为k,即limx X。k tan ，其中是切线MT存在，则此极限k是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里的倾角。于是，通过点 M x。，f x。且以k为斜率的直线MT便是

5、曲线C在点M处的切线。事实上，由 NMT以及xx0时，可见x X0时（这时MN 0）， NMT 0因此直线MT确为曲线C在点M处的切线。二、导数的定义与几何意义1 .定义上面所讨论的两个问题，一个是物理问题，一个是几何问题。但是当我们抛开它们的具 体意义而只考虑其中的数量关系时，就会发现本质上完全相同的一个极限f x f x0f x0 limxxo x x0即因变量的改变量与自变量的改变量之比，当自变量的改变量趋于。时的极限。这就是导数。定义 设函数y fx在点U（x。，）内有定义，当自变量x在xo处取得增量x（X Xox U（x。，）时，相应地函数y取得增量y f x。 x f x。；如果y

6、与x之比当x 0时的极限存在，则称函数y f x在点X。处可导，并称这个极限为函数y f x在 点xo处的导数，记为y x x，即x xolim -ylim -XoXfx Xox OXx OXyXoO(2)f Xo，翌或df XdxX Xodx也可记作X Xo函数f X在点Xo处可导有时也说成f X在点Xo具有导数或导数存在。导数的定义式(2)也可取不同的形式，常见的有f XoX-T叫Hhlimx0x Xo区间可导和导函数(1) 如果函数y = f (x)在某个开区间(a,b )内每一点x处均可导，则称函数y = f (x)在区 间(a,b )内可导。(2) 若函数y=f(x)在某一范围内每一

7、点均可导，则在该范围内每取一个自变量x的值，就可得到一个唯一对应的导数值， 这就构成了一个新的函数，称为原函数y =f (x)的导函数，导函数往往简称为导数。如果函数f x在开区间a， b内可导，且f a及f b都存在，就说f x在闭区间a，b 上可导。2、导数的几何意义函数y = f (x)在x0处的导数f (x)在几何上表示曲线y = f (x)在点M(x0, y0)处的切线的斜 率，即卩f (x) tan山为切线与x轴正向的夹角。根据点斜式直线方程，可得 点M(x0,y0)处的切线方程为：y yof (x)(x X。)相应点处的法线方程为:y yo（x X。）f （Xo）f x是曲线y

8、f x在X。，f X。点的切线斜率；路程S S t对时间t的导数S to是to时刻的速度；在抽象情况下，f X。表示y f x在x x。点变化的快慢。求导练习下面根据导数定义求一些简单函数的导数例1 求函数f X C （ C为常数）的导数。X-T叫HhCmOCh cmoHh这就是说，常数的导数等于零。例2 求函数f x xn （ n为正整数）x a处的导数。na r xlimx a x a x a x af x ff alim解:lim xx aaxn 2n 1n 1a na 。把以上结果中的a换成x得f x nxn1，即xnnx更一般地，对于幕函数y x （为常数），有这就是幕函数的导数公式

9、。利用这公式，可以很方便地求出幕函数的导数，例如:2时,（x 0）的导数为1时,x11x21x2 11x，即2 20）的导数为12x ；例3例求函数畑曲的导数? SiQ 刃2=lim cos(z + ) - = cos x, kQ 2 h2这就是说,正弦函数的导数是余弦函数用类似的方法，可求得(cos)r - - sin就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数例4求函数f x axa a In a。这就是指数函数的导数公式。特殊地，当 a e时，因Ine 1，故有xxe e 。上式表明，以e为底的指数函数的导数就是它自己，这是以 e为底的指数函数的一个重要特性。 ( a 0, a 1 )的导数。X

10、-T叫HhhhXa叫Hh1h a叫HhXa例5 设 y log a x, x (0,), a 0且a 1,求y.X 解:y lim lOga(X X)logaX 愉竺x 0xx 0xlim -log a(x x)x 0 xx-log a ex1xln a特别地(ln x)- x例6函数f(x)=| x|，在点x = 0处是否可导？解:f(0 x) f(0) xXsgn( x)f (0)lim sgn( x) 1, f (0)x 0lim sgn( x)x 01,由于f (0) f (0)，所以f(x)=| X |在X = 0处不可导.据函数f x在点X。处的导数f X。的定义是一个极限，因此f

11、 X。存在即fx在点Xo处可导的充分必要条件是左、右极限lim f X0 h f X0h 0hf Xo都存在且相等。这两个极限分别称为函数x在点X。处的左导数和右导数，记作f Xo及f X0，即X0 lim d0 h 0f X0lim 山0h 0h f X00h现在可以说，函数在点X0处可导的充分必要条件是左导数 f X0和右导数f X0都存在且 相等。例7求指数函数y ex的图形在点(0, 1)处的切线方程和法线方程。解 由例4和导数的几何意义知，y ex的图形在点(0, 1 )处的切线斜率为yx0 e 1，所以切线方程为y 11(x 0)，即y x 1法线方程为y 1 (x 0)，即y x

12、 1 0例8求过点(2,0)且与曲线y丄相切的直线方程.x解 显然点(2,0)不在曲线y -上.由导数的几何意义可知，若设切点为X(xo,yo)，则1yoXo的所求切线斜率k为Xo1Xo故所求切线方程为11y2(x Xo).XoXo又切线过点(2,0)，所以有112 (2 (其中为当Xo)xoXo于是得xo=1, yo=1,从而所求切线方程为y 1 (x 1),即 y2 x导数与连续的关系limx o xX存在。则有极限的函数与无穷小的关系知道，Xo时为无穷小)，由lim y lim f x x lim x o。x ox ox o可知, 定理 如果函数y f x在点x处可导，则函数在该点必连续

13、反之，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例9研究函数f(X)1xsin ,x0,在点X 0处的连续性和可导性因为 lim f (x)x 01lim xsin X 0 x0 f (0)所以f(x)在点x0处连续，但是lim竺X 0 xf(0)0.1 xsi n lim x x 0 x1 lim sin x 0 x不存在,故f (x)在点x 0处不可导.启发与思考1、数学、物理、化学、生物以及经济中哪些概念可以用导数来描述。2、 若hm0 f(X0 h) f(X0 h) 0，能否说明f(x)在x X。处连续？可导？f/(x)f/(x)3、 如果x，m 0 (X)和xo (x)都存在，且相等，问

14、f(x)在X X。处是否可导?小结：本节讲述了导数的定义，导数的几何意义，可导与连续之间的关系，作业：作业见作业卡第二节函数和差积商的求导法则，反函数的导数教学目的：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函数的导数教学重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法教学难点：反函数求导教学时数：2学时教学内容：1.函数和、差、积、商的求导法则设函数u u(x)及v v(x)在点X处具有导数，根据导数定义，很容易得到和、差、积、商的求导 法则(1) u x v x u X v X(2) u x v x u x v x u x v xcu x cu xuvw u vw uv w uvw

15、/、 u x u x v x u x v x(3) -v xv x证明：(1)f(x)f(xlim X)f(x)xu(xlim x) v(x x) u(x)v(x)xu(xlimX) u(x)xv(xlimX 0x) v(x)XIu (x) v，(x)所以f(x)在点X处可导，且f(x) u(x) v(x)，即u X v X u X v X，类似的，可以得u X v X u X v X因此得函数得和、差得求导法则两个可导函数之和(之差)得导数等于这两个函数得导 数之和(差)这个法则可以推广导任意有限项的情形(2 )由导数定义与极限法则，有f (x)lim f(xx)f(x)x 0lim u(x

16、 x)v(x x) u(x)v(x)x 0x lim u(x x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x)x 0limu(x x) u(x) Hm v(x x) u(x)lim v(x v(x x)v(x) v(x)x 0xx 0x 0u (x)v(x) u(x)v (x)其中,lim v(x x) v(x)是因为v (x)存在，从而v(x)在x处一定存在。x 0所以,f(x)在点x处可导，且f (x) u x v x u x v x，简记u x v x u x v x u x v x因此得函数积得求导法则：两个可导函数得乘积得导数等于第一个因子的导数与第二个

17、 因子的乘积，加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积。积的求导法则也可以推广到任意个有限个函数之积的情形。(3 )设 y f (x)u(x) v(x)y 虬3 回 u(xx)v(x) u(x)v(xx)v(x x) v( x)v(x x)v( x)u(xx)u(x)v(x)u(x)v(xx)v(x)v(x x)v(x)u(xx)u(x)v(x)u(x)v(xx)v(x)yxx因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是 xT0时，V(X+ ()f v(x)，从而lim yx 0 xu(x)v(x)u(x)v(x)即 y u uv 2uvvvv(x)2说明:(1)-vu；(2) u uv2

18、uvvv学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幕函数及正、余弦函数经加、 减、乘、除运算得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数 的定义去求这里仅证(2)叫HhmI hlhm0hu x h v x hh1 .u x h v x hu x h u xhh u x v x h u x v xhmvx hXVh hXVmoHhXu尸二一+ /+? vr 例1已知 -，求才二(丄y+Qt w-ir3 十卅 +0 二-” =(sin 解.例2已知，求)1 (iog a 兀y +(/ y 二 cosx+/xn a例 3 y 2x3 5x2 3x 7 ,求 y解 y(2

19、x3 5x2 3x 7)(2x3)(5x2)(3x)7322(x )5(x )(3x)2 3x25 2x 3 6x210x3例 4 f(x)4cosxsin ,求 f2(J解 f (x) (x3 4cosx sin )2(x3)(4 cos x) (sin ) 3x24si nx2所以f(2)3(孑24si n 2解y(2、xsi n x)2(、xs in x)2(. x)si nx 2. x(si n x)sin xx cosxx例6 ytanx，求 y。,si nxsin x cosx sin x cosx解：ytanx2cosxcos x2 . 2 .cos x sin x122 2se

20、c x，cos xcosx即tan xsec x。例5设y2*；x sin x,求y这就是正切函数的导数公式。例7 ysecx，求y。11 cosx 1 cosxsin xsecx解：y22secx tan xcosxcos xcos xsecxsecxta nx。这就是正割函数的导数公式。用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式：2cot x CSC x，cscx cscxcot x。导数的基本训练(1)ysin xln x(2)y2 x sin e(3)y2x In(4)y2xex x2(5)ycxa b(6)yIn x2.sin x小结：本节讲述了导数的四则运算法则，求反函数的导

21、数的方法作业：作业见作业卡第三节 反函数的导数与复合函数的导数教学目的：掌握反函数、复合函数的求导法则，熟练反函数、复合函数的求导方法 教学重点：反函数、复合函数的求导法则教学难点：理解反函数、复合函数的求导方法教学时数：2学时 教学内容: 一、 反函数的导数至今，我们没有合适的方法求出三角函数sin x, cosx, tan x, cot x的对应的反函数 arcsin x,arccosx,arctanx, arc cot x的导数，用下面介绍的反函数的求导法则就可逐一解决。设x (y)是直接函数，在区间Iy内单调且连续，那么它的反函数 y f(x)，在对应的 区间I(x) x |x (y)

22、, t ly内也是单调、连续的。若再假定 x (y)在区间I y内可导且在 点y ly处，(y)0。在此假定下，考虑它的反函数y f(x)在对应点x处的可导性及导数f(x)与(y)的关系。任取x lx，给x以增量，由y f (x)单调，可得y f(x x) f(x) o，于是有丄ox _xy因为y f (x)连续，所以x 0时，必有y 0，从而有1lim -y 0 xy1 。(y)这说明反函数yf (x)在点x处可导，且1f(x)飞定理1 设函数yf(x)与x(y)互为反函数，y f(x)在点x可导(y)在相应点y可导,且坐dy(y) 0,则f (x)17y)简单的说成：反函数的导数是其直接函

23、数导数的导数例 1 设 y=arcsin x,求 y .1y (sin y)y解 由定理1及xsin y可知11 sin2y1cosy这里记号(sin y)表示求导是对变量y进行的，(arcsin x)同样我们可得到lOg a x1xl n aarcta nx arc cot x11 x211 x2例2求反正切函数y arctanx的导数。(厂)内单调增加、可导，且解 y arctanx时x tan y的反函数，而 x tany在I y2, - Ft、，/(tan y)sec y 0，所以yarctanx每点都可导，并有y(arcta nx)1I(tan y)12sec y，又sec2 y 1

24、 tan2 y 1 x2，于是有(arcta nx)11 x2类似的，可求得(arccotx)11x2例3求对数函数y loga x(a 0,a1)的导数。让学生做练习复合函数求导定理复合函数求导法则（链导法）如果u X在点Xo可导，而y f u在点UoXo可导，则复合函数y点X。可导，且其导数为dydxUoXo 。X Xo证：由于y f u在点Uo可导，因此存在,于是根据极限与无穷小的关系有其中0时,Uof UoUoo时的无穷小。上式中 u规定f Uo U0，这时因yU乘上式两边，得Uof UoUo o，U右端亦为零，故U两边，得Uou对u o也成立。用x o除Uoy于是lim lim f

25、ux o x x o根据函数在某点可导必在该点连续的性质知道，当x o时，u o,从而可以推知lXmo又因U x在点Xo可导，有Xo故即证毕limX 0 xdyx Xo/f Uolimx 0 xUoXo。复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形。我们以两个中间变量为例，设x，则dy du 而 du du dx dxdu dvdv dx故复合函数yx的导数为dy dy du dvdx du dv dx当然，这里假定上式右端所出现的导数在相应处都存在例4设y ex5，求先5yex可以看作由y eu， ux5复合而成的，因此dydxdy du u 5 45xdu dx5x4ex已知求丄dy n

26、1. .cos=(In sm jcj = (san x) = = cot x解. J.:二一 一：j .L例3y3 1 2x2，求沖。dx解：dy11 2x2 31 2 - 21 2x2 31 2x234xdx33 1 2x2 2例 4 y In cos ex，求 dydx(2)y3arcta n、x(3)yInx2a2(4)ycos x e(5)y. 1In cos-x(6)ysin、x1 cos-x(7)yxcose e(8)ytan2x解：所给函数可分解为Xy In u , u cosv , v e 。1 duu， dvdv x sinv, e ,dxdydx1 si n v uxsin

27、 e x 才e coseX丄Xe ta n e 。不写出中间变量，此例可这样写:In cosex dx-cos e coseXsin eXx e coseX xXe ta n e 。1.自我训练题：（1）y In In In x 22 抽象的复合函数求导练习（所出现的抽象函数均可导）(1)yxf e(2)ycosx2xf e(3)yf sinx2(4)yf 2x g tanx启发与思考1.复合函数是由那些函数复合而成的2.中间变量函数的定义域与复合函数的定义域是什么关系？小结：本节讲述了复合函数的求导法则，训练了复合函数的求导方法及抽象的复合函数的求 导方法作业：作业见作业卡.第四节 隐含数的

28、导数和由参数方程确定的函数的导数初等函数的导数教学目的：熟练初等函数的求导方法，了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数 掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数教学重点：高阶导数的求法隐函数求导教学难点：高阶导数的归纳方法隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幕指函数的求导法教学时数：4学时教学内容：一、隐函数的导数先介绍显函数、隐含数的定义如果在含变量x和y的关系式F(x,y)=O中,当x取某区间I内的任一值时，相应地总有满足该方程的惟一的y值与之对应，那么就说方程 F(x,y) =0在该区间内确定了一个隐函数 y=y(x).这时y(x)不一定都能用关于x的表达式表示

29、.若方程F(x,y) =0确定了隐函数y =y(x)，则将它代入方程中，得F(x,y(x) =0对上式两边关于x求导(若可导)，并注意运用复合函数求导法则，就可以求出y(x)来.把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如从方程x y3 1 0解出y 31 x，就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。但在实际问题 中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能 直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。下面通过具体例子来说明这种方法。例1求方程y=cos(x+y)所确定的隐函数y=y(x)的导数.解：将方程两边关于x求导，y sin

30、(x y)(1y),sin (x y)y(1 sin(x y) 0).1 sin (x y)1. 隐函数求导方法小结：(1 )方程两端同时对x求导数，注意把y当作复合函数求导的中间变量来看待，例如1ln y x y .y(2 )从求导后的方程中解出y来.(3 )隐函数求导允许其结果中含有 y.但求一点的导数时不但要把x值代进去，还要把对 应的y值代进去。例2 xy ey e，确定了 y是x的函数，求y 0。y1解：y xyey y0， yy， x 0 时 y 1， y 0x ee自我训练：(1) x y . a，求y。(2) x3 y3 a3，求 y。(3) xy In y 1，求 y 0 。

31、22y j、(4) In . x y arctan, 求 y 。x2. 取对数求导法对于幕指函数y uxvx是没有求导公式的，我们可以通过方程两端取对数化幕指函数为 隐函数，从而求出导数y。例3求y xsinx x 0的导数。解：这函数既不是幕函数也不是指数函数，通常称为幕指函数。为了求这函数的导数, 可以先在两边取对数，得In y sinx Inx;上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得于是1 . . 1 y cosx In x sin x ， yx.sinxsinx.sinxy y cosx In xxcosx In xxx由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把多因子乘积开方的求

32、导运算，通过取对数得到化简.2 2例4求y马 的导数.(x41)(x21)解先在两边取对数，得In y=2ln( x2+2)-ln(x4+1)-ln( x2+1).上式两边对x求导,得4x4x3x22 x412xx214x4x3y y(px 2 x 12x2 )，X 1 3 4x3-4x 12xZ7(x2 2 卡(4x注：关于幕指函数求导，除了取对数的方法也可以采取化指数的办法。例如xx exlnx ,这样就可把幕指函数求导转化为复合函数求导；例如求 y xe ex的导数时，化指数方法比 取对数方法来得简单，且不容易出错。二、由参数方程确定的函数的求导x t若由参数方程确定了 y是x的函数，如

33、果函数 x t具有单调连续反函数y tx tt x,且此反函数能与函数y t复合成复合函数，那么由参数方程所确定的y t函数可以看成是由函数y t、t - x复合而成的函数y x。现在，要计算这个复 合函数的导数。为此，再假定函数x t、y t都可导，而且/ t 0。于是根据复合函 数的求导法则与反函数的导数公式，就有dydxdy dt dt dxdydt1 dx dttt，即dydxtt。上式也可写成dy dy dt dx dx。dt如果xt、yt还是二阶可导的，由dydxtt还可导出y对x的二阶导数公式:d2yd dydtdttttt 1dx2dx dx dttdx2tt，即d2ytttt

34、dx23 t例求由下列参数方程所确定的函数的导数dy:dx/ i)x 1 sint,(I /y t cost;/ 2 /x ln(1 t2) y 2arctanti,(i t)2/八 dxdy.匕(1)- cost，乔 cost tsint，所以dydy dtdx dtcost tsintcosttsin tdXdt2t厂己dtdy21 t22(t1)32所以1 tdydxdydt dxdt2(t3 t21 t22t1 t2t)(t2t 1)求椭圆的参数方程X aCOst 在t y bsint7处切线方程。当t 时，椭圆上的相应点4M o的坐标为x0 a cos U,y0 bsi n 424b

35、、2。2椭圆在点M。处的切线斜率dy(bsint), |dx (a cost) t 4bcost asin t于是得椭圆在点Mo处得切线方程为y号-(x 4)，化简得abx ay .2ab 0例已知抛射体得运动轨迹得参数方程为X V1t,1 2 y y,t 尹求抛射体在时刻t运动速度得大小和方向。让学生做练习启发与思考1、用定义法与运算法则求导时，有时结果不一致，这是为什么？2、 若曲线用极坐标方程()表示，那么/( 0)是否是曲线在点(。)，。)处切线的 斜率？小结：本节讲述了隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，利用取对数的方法解决了幕指函数的求导问题作业：作业见作业卡第五节高阶导数教学目

36、的 了解高阶导数的定义，熟悉高阶导数的计算.教学重点高阶导数(微分)的计算.教学难点高阶导数(微分)的计算.教学时数：2教学内容引言前面已经看到，当X变动时，f(x)的导数f(x)仍是x的函数，因而可将f(x)再对x求 导数，所得出的结果(f(x)(如果存在)就称为f (x)的二阶导数.例如，已知运动规律s s(t)，则它的一阶导数为速度，即v s(t)，对于变速运动，速度也是t的函数：v v(t).如果在一段时间t内，速度v(t)的变化为v v(t t) v(t).那么在这段时间内，速度的平均变化率为V乞凹，这就是在t这段时间内的平均tt加速度，当t 0时,极限lim V就是速度在t时刻的变

37、化率，也就是加速度，即t o ta(t) limv(t).t o t综上知：a(t) v(t)(S(t) 加速度是路程s(t)对时间的导数的导数说加速度是路程对时间的二阶导数记为a(t)v(t)(s(t)或ddt2这就是二阶导数的物理意义.例如自由落体运动规律为:-gt22v gt a g .般地，有如下定义:、高阶导数定义定义(二阶导数) 若函数f的导函数f 在点Xo可导，则称f 在点Xo的导数为f在点X。的二阶导数，记作f(Xo)，即lim f(X)X xox Xo3f(xo)，此时称f在点X。二阶可导.如果f在区间I上每一点都二阶可导，则得到一个定义在I上的二阶可导函数，记作f(x)，x

38、 I，或记作 f，y，豊函数yf (x)的二阶导数f(x) 一般仍旧是x的函数.如果对它再求导数，如果导数存在的话，称之为函数y f (x)的三阶导数，记为y，f(x)，或卡函数y f(x)的n 1阶导数的导数称为函数yd n yf (x)的n阶导数，记为y,f(n)，或一ydx相应地，y f (x)在Xo的n阶导数记为：y(n)n(n)(x ) U(X0丿，ndxX Xo二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数我们知道，在物理学上变速直线运动的速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数，即:V =而加速度a又是速度v对时间t的变化率，即速度v对时间t的导数:dv d (ds dr =dt曲1贞这

39、种导数的导数曲&丿叫做s对t的二阶导数。、高阶导数的计算的例子从高阶导数的定义可知，求高阶导数无非是反复运用求一阶导数的方法.例1设一质点作简谐运动，其运动规律为sAsin t(A,是常数),求该质点在时刻t得的速度和加速的。解 由一阶导数和二阶导数的物理意义知v(t)d? (Asin t)cos t ,t)A 2 sin/八d2s a(t)2 (A cosdt2例2求幕函数y xn (n为正整数0的各阶导数.般地，任何首项系数为1的多项式：xna1xn 1a2xn 2a.的n阶导数为n! , (n 1)阶导数为零.例6求函数f (x)(x 0,1)的n阶导数。 x(1 x)注竞赛题：已知yf

40、 (x)， f(x)f(x)0，证明方程f(x)0至多只有1个根.例 4. y1sin x,，y2cos x.，贝U y1(n)(si nx)(n) sin(x -2(n);y2(cosx)(n)cos(x n )例5.求对数函数yln(1 x)(x1)的n阶导数。(例5，例6让学生做练习) 三、高阶导数的计算法则(n)(n)(n)1 . u v U V .2 . (uv)(n)(n)v(0)(n 1)v(1)(n 2)严kCnU(n k)v(k)Cnu(o)v(n)其中u(0)(0)C；u(n k)v(k)(Leibniz 公式)注将Leibniz公式与二项式展开作一比较可见:nn 01 n

41、(u v) u vCnu1v1C：un kvkuovn.(这里 U0v01),在形式上二者有相似之处.练习:1 .函数yy(x)由方程4 t。厶确定，试求sin tdx及其在t0,处的值.22 .函数yy(x)由方程a(cos: ;sin;)确定，试求乎a(s int tcost)dxtgt .3 .设函数y y(x)由 ra(1cos )确定，试求 ，鱼d dx6.研究函数f(x)2x ,x2x , x的高阶导数.四、隐含数、复合函数的高阶导数、参数方程的高阶导数从定义出发，重复应用一阶导数法则，容易建立“复合函数”的高阶导数，“参数方程”的高阶导数公式.但这些公式非常繁，对于求高阶导数没有

42、多大帮助，因此不作深入讨论.作为例子，我们指出参数方程求二阶导数的方法.设， 在,上都是二阶可导，则由参数方程x(t)所确定的函数的一阶导数y(t)dydx(t)(t)dt(g (也) dt dt(dx， dx dxdt(t) (t)(t) “(t)3(t)隐含数:例7求由方程xey y e 0所确定的隐含数yy(x)的二阶导数。解 将方程两边对x求导，并注意到y是x的函数，有yy e xe y y 0 ，(1)解得 eyy r(1)式两端同时对x求导，得y y y 2ye y e y xe (y ) xe y从上式中解出二阶导数y y e y (2 xy )1 xey再将(2)代入(3 )式

43、，整理，得e2yy(2 xey)(1 xey)3例8 试求由摆线参量方程X a(t sint)所确定的函数y y(x)的二阶导数. y a(1 cost)过程略第六节微分及其应用教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算教学重点：微分的计算教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算教学时数：2学时教学内容:、微分的定义及其几何意义1.微分的定义计算函数增量 y f X。x f xo是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由Xo变到Xo X

44、(图2-1 )，问此薄片的面积改变了多少？设此薄片的边长为X,面积为A，则A是x的函数：A X2。薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量X自Xo取得增量2X X 。第一部分2xo A是A的线性函数,X时，函数A，即A XoX2 Xo 2Xo从上式可以看出， A分成两部分,即图中带有斜线的两个矩形面积之和,而第二部分 X 2在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当X0时，第二部分X 2是比X高阶的无穷小，即X 2 0 X。由此可见，如 果边长改变很微小，即| X很小时，面积的改变量 A可近似地用第一部分来代替般地，如果函数y f x满足一定条件，则函数的增量y可表示为其中A是不依

45、赖于 X的常数，因此A X是X的线性函数，且它与 y之差y A X 0 x ,是比X高阶的无穷小。所以，当A 0,且| x很小时，我们就可近似地用 A X来代替y定义设函数y f x在某区间内有定义，X0 x及X0在这区间内，如果函数的增量y f X0X f X0口表示为y A x 0 x ,其中A是不依赖于x的常数，而0 x是比X咼阶的无穷小，那么称函数y f x在点X0是可微的，而 A X叫做函数y f x在点x0相应于自变量增量X的微分，记作 dy ,即dy A x。下面讨论函数可微的条件。设函数y f x在点X0可微，则按定义有式成立。式两边除以X，得y A 0 x。XX于是，当X 0

46、时，由上式就得到A lim 丄X o Xf Xo 。因此，如果函数f X在点Xo可微，则f X在点Xo也一定可导（即f Xo存在），且A f Xo反之，如果y f x在点Xo可导，即lim - f XoX o X存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成f Xo，X其中 O （当x O ）。由此又有f XoX X。因 X O X，且不依赖于 X，故上式相当于式，所以f X在点XO也是可微的由此可见，函数f X在点Xo可微的充分必要条件是函数f X在点Xo可导，且当fX在点Xo可微时，其微分一定是XodyXo0时,y limlimX ody1limy1 o f Xo X o X o f Xo从而，

47、当0时,y与dy是等价无穷小，这时有dy 0 dy ，即dy是y的主部。又由于dyf Xo X是X的线性函数，所以在fXoo的条件下，我们说dy是y的线性主部（当 x O ）。这是由式有从而也有y dydyO。式子丄空表示以dy近似代替y时的相对误差，于是我们得到结论：在f X。0的条件dy下，以微分dy f Xo x近似代替增量 y f xox f xo时，相对误差当 x 0时趋于零。因此，在| x很小时，有精确度较好的近似等式y dy。函数y f x在任意点x的微分，称为函数的微分，记作dy或df x，即卩dy f x x。注1:由微分的定义，我们可以把导数看成微分的商。例如求sinx对.x的导数时就可以注2：函数在一点处的微分是函数增量的近似值,它与函数增量仅相差 x的高阶无穷小即d sin xd、xcosxdx2 x cos x。1 dx2 x看成sin x微分与、x微分的商,因此要会应用下面两个公式:y dy f