2019版同步优化探究理数练习：第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系含答案解析

1、课时作业A组一一基础对点练1. 圆心为(4,0)且与直线3x-y= 0相切的圆的方程为()A . (x 4)2 + y2= 1B. (x 4)2 + y2 = 122 2 2 2C. (x-4)2 + y2= 6D. (x+4)2 + y2 = 9解析：由题意，知圆的半径为圆心到直线寸3xy= 0的距离，即r =3-也血3，结合圆心 坐标可知，圆的方程为(x-4)2 + y2= 12,故选B.答案：B2. (2018石家庄质检)若a，b是正数，直线2ax+ by-2= 0被圆x2 + y2 = 4截得的弦长为2 3,则t = a 1 + 2b2取得最大值时a的值为()1- 2解析：因为圆心到直

2、线的距离d 4齐b2，则直线被圆截得的弦长L二22 -二2玮如2屆)2 +4- 4孑+ b2 二 2百，所以 4a2 + b2 二 4.t 二 ap1 + 2b2二寺(2V2a)p1+ 2b20, n0，若直线(m+ 1)x+ (n+ 1)y 2= 0 与圆(x 1)2+ (y 1)2= 1 相切，则 m+n 的取值范围是.解析：因为 m0, n0,直线(m+ 1)x+ (n+ 1)y 2= 0 与圆(x 1)2+ (y 1)2= 1 相切，所以圆心 C(1,1) 到直线的距离 叫mm+n寻=1,即吋川“叶沪n+仃, 两边平方并整理得，m + n+ 1 = mnw(m； n)2,即(m+ n)

3、24(m+ n) 40,解得 m+ n2 + 2 2,所以 m+ n 的取值范 围为2 + 2 2, + X).答案：2 + 2 2, + x )6. 两圆 x2 + y2 + 2ax+ a2 4 = 0 和 x2 + y2 4by 1 + 4b2 = 0 恰有三条公切线，若 a R, b R 且1 1abM 0,则+ Q的最小值为.a b解析：两圆 x2 + y2 + 2ax+ a2 4 = 0和 x2 + y2 4by 1 + 4b2= 0配方得，(x+ a)2 + y2 = 4, x2 + (y2 22 21 a 4b 4 5 小 =9+9b+9?+9 9+2最小值为1.答案：12b)2

4、= 1,依题意得两圆相外切，故.a2 + 4b2 = 1 + 2 = 3, 即 a2 + 4b2 = 9,古+ *=時+晋)(*+古)92X ；2= 1,当且仅当弄=902,即a2 = 2b2时等号成立，故丰+已的7. 已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0),边AB所在的直线方程为x + y 2 = 0,点(1,1)在边 AD所在的直线上.(1) 求矩形ABCD的外接圆方程；(2) 已知直线I: (1 2k)x+ (1 + k)y 5 + 4k= 0(k R)，求证：直线I与矩形ABCD的外接圆相交， 并求最短弦长.解析：(1)依题意得AB丄AD ,： kAB= 1,二 kAD= 1 ,直

5、线AD的方程为y 1 = x+ 1,即卩y=x+ 2.x+ y 2= 0, x= 0, 解，得1即A(0,2).、x y+ 2= 0,y= 2,矩形ABCD的外接圆是以P(2,0)为圆心，AP| = 2 2为半径的圆，方程为(x 2)p(m+ 1 丫+ ( 2 m f = 3 + 2,2 2(m+ 1) + ( 2 m) = 25,m + 3m 10= 0,解得 m= 5 或 m= 2.所以当m= 5或m= 2时，圆C1与圆C2外切.(2) 如果圆C1与圆C2内含，则有7(m+ 1 丫+( 2 mf 3 2.2 2(m+ 1) + ( 2 m) 1, m + 3m + 20,解得2m 1,所以

6、当一2m 1时，圆C1与圆C2内含.B组一一能力提升练1.若直线x y+ 1 = 0与圆(x a)2+ y2 = 2有公共点，则实数a的取值范围是() + y2 = 8.直线I的方程可整理为(x+ y 5)+ k(y 2x+ 4)= 0, k R,x+ y 5= 0,y 2x+ 4= 0,解得x= 3,y=2,直线I过定点M(3,2).又点M(3,2)在圆内，.直线I与圆相交.圆心P与定点M的距离d= 5,最短弦长为28 5= 2 3.8. 已知圆 C仁 x + y 2mx+ 4y+ m 5= 0,圆 C2: x + y + 2x 2my+ m 3= 0, m为何值时,(1)圆Ci与圆C2外切

7、；圆Ci与圆C2内含.解析：对于圆Ci与圆C2的方程，经配方后得22C仁(x m) + (y+ 2) = 9;29C2： (x+ 1) + (y m) = 4.(1) 如果圆Ci与圆C2外切，则有A - 3, 1B - 1,3C. 3,1D . (,- 3 U 1 ,+x)解析：欲使直线x-y+ 1二0与圆(x-a)2 + 2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径，2即可，即吕w ,2,化简得|a+ 1|2,解得-3aO)，则|xo|= yo+ 1,又xo=刚|= yo+ 1 ,xo=吃，or r4yo,所以联立2解得因此圆M的方程为(x2)2 + (y- 1)2 = 22,展开整理

8、凶=4yo,yo= 1,得 x2 + y2x2y+ 1 = 0,故选 A.答案：A3. 已知圆M: x2 + y2- 2ay= 0(a0)截直线x + y= 0所得线段的长度是2,2,则圆M与圆N: (x-1)2+ (y-1)2= 1的位置关系是()A .内切B .相交C.外切D .相离解析：由题知圆M : x2 + (y- a)2 = a2,圆心(0, a)到直线x+y= 0的距离4=走，所以2寸a2-弓=2 ,2,解得a= 2.圆M，圆N的圆心距|MN|= .2,两圆半径之差为1,故两圆相交.答案：B4. 直线ax+ by+ 1 = 0与圆x2 + y2= 1相切，则a+ b+ ab的最大

9、值为()A . 1B . - 1C. 2 +D. 2+ 1解析：直线ax+ by+ 1 = 0与圆x2 + y2= 1相切，1 2 2 二圆心0(0,0)到直线ax+ by+ 1 = 0的距离等于半径，即2 2= 1? a + b = 1,易知a+ b+ abva + b的最大值一定在 a0, b0 时取得， a+ b+ ab=Q(a+ bf + ab=# 1 + 2ab + ab.令/1 + 2ab = t,n.t2 1贝U ab=.a2+ b212tabw 2=2(当且仅当 a= b=2时取“=”)且 ab0,； 1a2 + 4b2 2(a2 + b2) = 2b2 a2 = 1，当且仅当

10、 ,即a2= b2= 1时等号成立，此时d取得最小值，此时r2 = 2,圆C的面积为2n.答案：2n6 已知方程x2 + y2 2x 4y+ m= 0.(1)若此方程表示圆，求实数 m的取值范围；若(1)中的圆与直线x+ 2y 4= 0相交于M , N两点，且0M丄0N(0为坐标原点)，求m的值;(3) 在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程.解析：(1)由 D2+ E2 4F0 得(2)2+ ( 4)2 4m0,解得 m5.(2)设 M(x1, y1), N(x2, y2)，由 x+ 2y 4= 0 得 x=4 2y; 将 x=4 2y 代入 x2 + y2 2x 4y+ m= 0 得

11、5y2 16y+ 8+ m= 0,二 y + y2 =学，y1y2 = + 5丄ON狀=-J 即 xix2 + yiy2 = 0.t xix2= (4 2yi)(4 - 2y2) = 16 8(yi + y2)+ 4yiy2,X1X2+ y1y2= 16 8(y1 + y2)+ 5y1y2= 0, 即(8 + m) 8X16 + 16= 0,解得 m= 5.141845设圆心C的坐标为(a, b)，则a= 2(xi +血)=5, b= 21 +松=5，半径r=|OC|= 5，所求圆的方程为Jx-4)+ y-1卜晋.7已知圆M : (x+ 1)2+ y2二1,圆N: (x- 1)2 + y2=

12、9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆 心P的轨迹为曲线C.(1) 求C的方程；(2) 1是与圆P,圆M都相切的一条直线，I与曲线C交于A, B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 解析：由已知得圆M的圆心为M(1,0),半径n = 1;圆N的圆心为N(1,0)，半径匕=3.设圆P的圆心为P(x, y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以 |PM|+|PN匸(R+ r1) + (r2 R) = 3 + 匕=4.由椭圆的定义可知，曲线 C是以M , N为左，右焦点，长半轴长为2,短半轴长为，3的椭圆(左2 2顶点除外)，其方程为乡+ y = 1(xm 2).对于曲线C上任意一点P(x, y),由于|PM| |PN|= 2R-22,所以R2,当且仅当圆P的圆 心为(2,0)时，R= 2所以当圆P的半径最长时，其方程为(x-2)2 + y2= 4.若I的倾斜角为90则I与y轴重合，可得AB|= 23.若I的倾斜角不为90由门工R知I不平行于x轴，设I与x轴的交