《高数》积分判别法

1、积分判别法若在 1, )上 f 减 , 非负 , 则 f (n) 收敛1 f 收敛 .此时 1 f f (n) 1 f + f (1).23n证1 ff (1) = f (1), 2 f f (2)f ( k) nf + f (1). 令 n得证 .k1121n 1nn 1f , nf f (n) n 1 f , 相加得 1f注. 条件可改为x 充分大时 f 减 , 非负 .例 1(p 级数 )1 当且仅当 p 1时收敛 .n p证一 . p 0 时用积分判别法 ; p 0 时由必要条件 .证二p1 时由 n p n1 得发散 , p1 时用积分判别法 .*证三p1 时由 n p n1 得发散

2、 . p 1 时按下列方法加括号: 括号内的项数依次为1, 2, 4, 8,16, ,则由 1121, 1141,及比较2 p3p2 p2 p 14 p7 p4 p4 p 1判别法知加括号后的级数收敛, 故 p 级数也收敛 .11n 3n ln nln p n ,.n 2 n ln p n,备考 . 设 f (x) = ( x ln px)1 (x 2), 则 p 0 时显然 f 减 . 而 p 0时对充分大的 x, f 仍减 p 0 时 f (x) = (x ln px) 2 ln p 1x (ln x + p) e p), 故可直接应用积分判别法得 (n ln pn) 1 当 p 1 时收

3、敛 , p 1 时发散 .n1n1n p111(1n) 3 (n 2 ) .n1 (n ) .(1n) p q(n q ) . sin n ( n ). 1(nan10, 或 10)an1 ,或n !n nane1(上ennan 1(n 1) 2册 p.40.4(5).1 ne(n1)(2n) (an= (1 + n )( 2n 1)(2n2)4 nn(ln n) p ( nan11anln n(p 1时 ,发散 ;p1 时取 q 使 pq1, 则 0 或 annq,收n pn 1n敛 ).q ( na1) (a 1) (由a x 1 ln a (x 0)知 na1=O(1xn ). p.16

4、.1 (9) 类似 ).nn 1n n 111(ln ln x) 2* n1( n12 n). * (ln n)ln ln n(ln x( 2n 2ln n 1)2( 2n 2 )20(x ), n 充分大时 (ln n) ln ln n= exp(ln ln n)2 0, an 收敛 , 则an= n, 发散 ).与 an an+1 收敛 . 与 an 比较 .11例 3(p.16.9(4).考察 n 3n(ln n) p (ln ln n) q 的收敛性 .解 设 f (x) = x (ln x)p (ln ln x) q, 则 f (x) = ln 充分大时 p, q , f ( x)

5、0, 故可用积分判别法 .使 pr 1,p 1 x (ln ln x) q 1(ln x + p) ln ln x + q ), xIdxdu. p1时取 r3 f ( x)ln 3 u p ln q u由 u r1 0 知 I 收敛 . p=1 时 I =dt, 当且仅当 q1时收敛 . p 1 或 p=1, q 1时收敛 , 在其它情形发散 .*例 4 (p.16.10) an ,非负 , 则 an 收敛 2m a2 m (=2a2 + 4a4 +)收敛 .证 设 2 m a2m = s. 因为 s2n = a1 + a2 + a2n = a1 + (a2 + a3 ) + (a4 + a

6、7 )+( a2n 1a2n1 )a2 n a1+ 2a24+1+ s, 故n a1+ s, 由收敛+ 4 a= an s s2n原理得 an 收敛 .a 3 + a 4 等得 1 n设 an = s, 则由 a 2a 1 + a 2 , 2 a 42m am(a1 + a2 ) + ( a3 + a4 )2 m 12+(a 5+ + a 8) += s. 因此 2m a2 m 的部分和有界 , 从而收敛 .应用: 1p收敛 2m1=2(1p)m 收敛21 p 1 .2mp 1n111收敛2 m收敛收敛p1.n ln pn2m ln p 2mm p ln p2m pan 1) = l ,n收敛 , l 1 时 a时 a 发散 ,l =an1时