第六章 投资及投资组合的收益与风险

1、第六章 投资及投资组合 的收益与风险 ?第一节第一节 投资的收益与风险投资的收益与风险 ?第二节 投资组合的收益与风险 第一节 投资的收益与风险 ? 收益的各种形式及其计算 ? 风险及风险的测度 ?投资收益是从事投资活动获得的报酬。 ?衡量投资收益的高低，通常是用收益相对于本金 的比例，即收益率。 ?收益率=收益/本金 ?收益包括两部分： ?当期收益：利息收入、股息收入 ?资本利得（价差收益） ?它是计算收益率的一种基本形式，实际中使用最多、 最普遍。最普遍。 ?是指拥有一种金融资产期间所获得的收益率。 ? HPR=(投资的期末价值期初价值+此期间所得到的收 入)/期初价值 ?例如： ?1、银

2、行储蓄：投资者期初储蓄5000元，期末获本息5200元，则 ? (52005000+0)/5000=200/5000=0.04=4% ?2、股票投资：期初 20元一股，买500股，其间获4元一股红利， 期末19元一股全部卖出，则 ? (19 500)-(20500)+(4500)/(20500) ?=0.15=15% 1、持有期收益率HPR 持有期收益率的局限性 ?不能直接用于不同期限（持有期不同）的 投资收益进行比较。 年收益率的折算年收益率的折算 ?不同期限的折合成年收益率，折算的公式为 年收益率=持有期收益率年(或365或12)持有期长度 ?如果上例中，股票投资期限是5年，而银行储蓄的期

3、限是 17个月，则 ?股票投资的年收益率为15% 1/5=3% ?银行储蓄的年收益率为4%12/17=2.82% 2、算术平均收益率、算术平均收益率 ?算术平均收益率R 的计算公式为 ? R=(R 1+R2+RN)/N ? 如果投资者一项投资， 4年的收益率分别为 10%， -5%，0和23%，年算术平均收益率为 ? (10%-5%+0+23%)/4=28%/4=7% ?它是用复利计算的一种收益率，公式为 RTW + 1 =(1+R1)(1+R 2)(1+Rn-1)(1+ Rn) 它是在考虑复利的情况下，投资者能获得的 总收益率RTW 。 3、时间权重收益率、时间权重收益率 预期收益率E(r)

4、 ?（上面几个收益率方法都是针对过去的投 资）投资更关注的是未来收益，衡量其主 要指标是预期收益率 ?预期收益率=预期收益/本金 ?实际应用时很难精确计算，要依靠估计与 预测，通常的预测方法有历史推演法和概 率估算法两种 历史推演法历史推演法 ?未来是历史的延伸，可以资产的历史收益 率为样本，计算算术平均值来估计资产的 预期收益率，其公式为 ?预期收益率E( r )=R=(R1+R2+RN)/N ?实际应用时，为了估计更精确，要求N30 ?其隐含的假设条件是各个时期的收益状况 在未来重复出现的可能性相等，都是1/N 概率估算法概率估算法 ?首先预测资产在所有情形（不同经济状态 或是不同收益区间

5、）下的收益率r(i) ，以 及预测所有情形可能出现的概率p(i)，然 后求出所有情形下预期收益的加权平均值。 即 E( r )=p(i)r(i) ?其可靠性取决于做出判断或预测的投资者， 主观性较强 举例：举例： ?形势 概率 收益率 ?繁荣 0.25 30% ?正常增长 0.50 10% ?萧条 0.25 -10% E(r)=(0.250.30)+(0.500.10)+0.25(-0.10) =0.075+0.05-0.25=0.10=10% 概率估算法概率估算法 ?风险(risk)是指未来收益的不确定性， 不确定性的程度（波动幅度）越高，风不确定性的程度（波动幅度）越高，风 险就越大。 ?

6、通常用未来收益（实际值）偏离预期收 益（均值）的幅度来衡量风险的大小。 ?主要用未来收益的标准差或方差来度量 风险，公式为 ? 2=p(i)r(i) -E(r) 2 风险及测度 风险及测度 ?则上例中 ?E(r)=(0.250.30)+(0.500.10)+0.25(- 0.10)=0.075+0.05-0.25=0.10=10% ? 2=0.25(30-10)2+0.50(10-10)2+ 0.25(-10-10)2 =200 或 =14.14 综合考虑风险与收益 ?变异系数法 ?效用值 变异系数法 ?E(r)/值越大越好 ?或是 / E(r)值越小越好 ?金融界广泛运用的一个投资效用计算公

7、式，资产 （或组合）的期望收益为 E(r)，其方差为 ? 2，其 效用值为： U=E(r)-0.005A ? 2 效用是指投资者在投资活动中获得的满足感。 ?其中A为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度不 同的投资者可以有不同的指数值， A值越大，即投 资者对风险的厌恶程度越强 ?在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越 大；方差越小，效用越大。 效用值公式 效用值的应用效用值的应用 ?例子：设某资产组合有预期收益为22% ，标准差=34% ， 无风险资产-国库券的收益为5% ，风险厌恶系数A=3 ，在 该资产组合与无风险资产之间如何做投资选择？ ?计算风险资产的效用价值 ?22 - (.00

8、53 342) =4.66% ?把风险资产组合的效用价值与无风险收益比较，风险 资产组合的效用价值略低于无风险收益。 ?风险厌恶型投资者会拒绝该风险资产组合而选择国库 券。 ?如果A=2,如何做出选择，能否接受此风险资产组合投 资？ 确定等价收益率 ?总结：我们可以把风险投资的效用值看成 是投资者的确定等价收益率。（收益率的一种表现形式）（收益率的一种表现形式） ?只有当一个资产组合的确定等价收益率大 于无风险投资收益率时，这个投资才值得。 ?风险厌恶程度不同结果不一样。 1、风险厌恶型的投资者：只愿意进行无风险投资。当 他们准备进行风险投资时，他们会要求有相应的风 险报酬，即要求获得相应的超

9、额收益或风险溢价。 （理性投资人假设） ?超额收益或风险溢价（风险收益）超额收益或风险溢价（风险收益） ：投资的期望收 益高于无风险收益的部分。 ?无风险收益指投资者在国库券、货币市场基金或银 行存款等无风险资产所获得的收益。 2、风险中性的投资者 3、风险爱好者：把风险的乐趣考虑在内，会使期望收 益率上调。 风险厌恶与投资选择 ?风险厌恶型的投资者承担风险是要报酬的， 这个风险报酬就是超额收益或风险溢价。 ?因此对于风险厌恶型的投资者来说，存在着 选择资产的均值 -方差准则： ?当满足下列 (a)、(b)条件中的任何一个时， 投资者将选择资产 A作为投资对象： ?(a) E(R A)E(RB

10、) 且 2A E(RB) 且 2A2B 均值-方差准则 均值-方差准则 ?根据上图，可以看出： 1、资产组合P优于在它东南方向 (第四象限)的任何 资产组合。 ?因为P的期望收益大于或等于第四象限中的任何 资产组合，而它的标准差则等于或小于第四象限 中的任何资产组合。 2、所有第一象限的资产组合（西北方向）都比资 产组合P更受欢迎。 ?因为其期望收益等于或大于资产组合P，标准差 等于或小于资产组合P。 3、第二和第三象限的资产组合呢？它取决于投资者 的风险厌恶程度。 均值-方差准则 （效用）无差异曲线 根据效用值公式：U=E(r)-0.005A? 2 ?高风险高期望收益与低风险低期望收益的资产

11、 组合对同一个投资者（A值相等）的吸引力是相 同的。即效用值相同。 根据E(r)=U+0.005A? 2 ?将这些效用值相等的所有的资产组合点在 均值- 方差图形中由一条曲线连接起来，这条曲线就 叫无差异曲线。 ? E(r) ? ? I1 ? I2 ? I3 ? ? 无差异曲线图 1、在均值-方差图形中，无差异曲线的斜率都为正。 2、A值确定（斜率就确定）的每一个投资者可以有无数条平 行的无差异曲线。（U值有无数个） ?且处于较上面的无差异曲线有较高的效用。 （U值越大） 3、风险厌恶程度不同的投资者有不同的无差异曲线。 （A不 同，斜率不同） ?一般风险厌恶程度较高（ A大）的投资者的投资效

12、用无 差异曲线较为陡峭，因为风险的增加他要求很高的期望 收益的增长（斜率较大）； ?而一般风险厌恶程度较低（风险容忍度较高）的投资者 的投资效用无差异曲线较为平缓（斜率较小）。 无差异曲线的特征无差异曲线的特征 风险的分类 可分散风险可分散风险：公司自身原因（技术、经营管理）造：公司自身原因（技术、经营管理）造 成亏损的风险。或叫非系统风险。 投资者可以购买很多、不同种类的证券（ 证券组合） 来分散风险。 不可分散风险：影响所有公司业绩的外部宏观因素 带来的风险。或叫系统风险、市场风险。 只有通过各种套期保值技术和方式来避免。 p ? 组合中证券数量 系统性风险 非系统性风险 总风险 第二节

13、投资组合的风险和收益 投资组合（portfolio） ?凡是由一种以上的证券或资产所构成的集合，即可 称为投资组合。 100万 60万 基金 20万 政府公债 20万 股票 伞公司股票 雨较多的年份 少雨年份 股市的牛市 股市的熊市 伞需求大减 概率 0.4 0.3 0.3 收益率 30% 12% -20% ?E(r伞公司)=(0.430)+(0.312)+0.3(-20)=9.6% ?2(伞公司)=0.4(30-9.6)2+0.3(12-9.6)2+0.3(-20- ? 9.6)2=431.04 ?=431.041/2=20.76 或20.76% 单个资产的计算 马柯维茨的投资组合理论 ?马

14、柯维茨 (Harry Markowitz)1952 年发表了论文投资组合的选择， 投资组合理论首次被提出，标志着现代投资理论发展的开端。该理论为那 些想增加个人财富，但又不甘冒风险的投资者指明了一个获得最佳投资决 策的方向。 ?马在读研究生期间，其导师财务学杂志主编凯彻姆教授要马克维茨 去读威廉姆斯的投资价值理论一书。 ?马想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股票，他终于明白投资 者不仅要考虑收益，还担心风险，分散投资是为了分散风险。同时考虑投 资的收益和风险，马是第一人。当时主流意见是集中投资。 ?马运用线性规划来处理 收益与风险的权衡问题 ，给出了选择最佳资产组 合的方法，完成了论文，

15、1959年出版了专著，不仅分析了分散投资的重要 性，还给出了如何进行正确的分散方法。 ?马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资的理 论和方法，第一次采用定量的方法证明了分散投资的优点。他用数学中的 均值方差，使人们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供最 大收益的资产组合。获1990年诺贝尔经济学奖。 ？ ?投资者将其资金的投资者将其资金的50%投资于伞公司的股票，其余的投资于伞公司的股票，其余的50%投投 资于收益率为资于收益率为3%的国库券（或的国库券（或无风险资产），因此投资者），因此投资者 的整个投资组合的期望收益率为的整个投资组合的期望收益率为 ?E(r投

16、资者)=0.5E(r伞公司)+0.5E(r国库券) ? =(0.59.6%)+(0.53%)=6.3% 9.6% ?投资组合的预期收益率（即期望收益率）是每个资产的预 期收益率（即期望收益率）的加权平均值。每个资产在投 资组合中所占的资金比例是加权的权重。 投资组合的收益 _ 1 _ i N i i rx p r ? ? ? 21 _ 2 _ 1 _ 1 _ rrrr xx i x p N i i ? ? ? 211221 2 2 2 2 2 1 2 1 11 2 2cov?xxxxxx j N i N j iijp ? ? ? 两种资产的资产组合收益与风险两种资产的资产组合收益与风险 通常，

17、当组合中只有两种资产或证券（N=2）时 ?COV12 = ? 12 = ?12 ?1 ? 2 ?上例中：投资者=0.5伞公司=0.520.76%=10.38% ?（无风险资产的=0，无风险资产与任何风险资产的收益变动无相关性， 即?=0） 资产组合风险仍用组合收益率的方差或标准差来衡量，由概率论可得 ?相关系数?是测度两种资产互补程度与方向 的指标； ?正的意味着资产收益同向变动，负的则是反 方向变动； ?取值范围在 1+1之间，其绝对值越 接近于1，说明相关性越强 ?=0 ？ 相关系数 1、当=1时，表明两种资产完全正相关（ 降险效果最差） 上式简化为：? P 2=(x1?1+x2?2)2

18、或 ? P=x1?1+x2?2 组合的标准差恰好等于组合中两种证券标准差的加权平均值。 2、当=-1时，表明两种资产完全负相关（ 可以完全无风险） 上式简化为：? P 2=(x1?1-x2?2 D) 2 或 ? P=|x1?1-x2?2| 此时如果两种资产的比例恰当 (x1 = ?2 /?1+ ?2) ，组合标准差 可以降低到0. 3、当1时，组合标准差会小于两种证券标准差的加权平均值。 （风险会降低） 由此可见，当相关系数从-1变化到1时，证券组合的风险逐 渐增大。除非相关系数等于1，二元证券投资组合的风险始终小 于单独投资这两种证券的风险的加权平均数，即通过证券组合， 可以降低投资风险。

19、相关性对资产组合标准差的效应 为什么通过构建组合可以分散和降低风险？为什么通过构建组合可以分散和降低风险？ =0？ 互补组合的收益与风险 ?冷饮公司股票 ? 雨较多的年份 少雨年份 ? 股市的牛市 股市的熊市 冷饮需求大增 ? ?概率 0.4 0.3 0.3 ?收益率 4% -10% 30% ?冷饮公司的期望收益率为 7.6%，方差为248.64%，标 准差为15.77% 。 ?投资者将原来投资于国库券的 50%资金购买冷饮公司股票，则 新组合的期望收益为 8.6%6.3%，标准差为7.03%10.38% 可见，互补的选择效果比与无风险资产构成的组合还好 。 ?以上三种投资选择进行归纳比较：

20、? 资产组合 期望收益 标准差 ?全部投资于伞公司股票 9.6% 20.76% ?一半伞股票一半国库券 6.3% 10.38% ?一半伞股票一半冷饮股票 8.6% 7.03% 互补组合的收益与风险 对原风险具有相反作用的资产是最有力的降险工具 例题例题 ?假定投资者选择了A和B两个公司的股票作为组合对象，已 知数据为： E(rA)= 0.25 ?A=0.08 ; E(rB)= 0.18 ?B=0.04 ?如果A和B两个公司的股票的相关系数=1 ，求出该投资 者所有投资组合的收益与风险，并在直角坐标系中画出收 益与风险的关系图。 ?E(rP)= x1E(rA)+ x2E(rB)= 0.25x1

21、+ 0.18x2 ? P=x1? A+x2?B = 0.08x1 + 0.04x2 ? x1 =0.5 x1 =0.2 x1 =0 x1 =1 x2 =0.5 x2 =0.8 x2 =1 x2 =0 ? 代入求解画图即可 ?如果A和B两个公司的股票的相关系数=-1，=0， =0.5？ ?可以分别得到一条曲线，如下图 （给定值后变换A、B两种资产的投资比例） ? E(r p) 25 A （资金全部投在 A上） ? =-1 ? =0.5 ? =-0.5 ? =1 ? 18 B （资金全部投在 B上） ? ? 0 4 8 ? 不同下收益与风险的关系几何表达 或叫机会集合线：由某些给定资产所构建的全部资产组合的集合。 可以用所有资产组合的期望收益率与标准差构成的集合来表示。 如上图中连接两个资产组合的连线。即为相关系数不同的两种资 产组合的可行集。从图中可以看出： 1、两个资产构成的资产组合的可行集是一条通过两个资产点的曲 线，随着相关系数的不断变小，这条曲线越是往左弯曲，弯曲程 度越来越高； 2、当集合线为直线（ =1 ），表示分散化没有益处，不能降低风 险； 3、当 =-1 ，曲线弯曲程度达到极限成一条折线，资产组合存在 一个完全对冲的机会，此时从分散化中获得最多利益，构造了一 个无风险资产组合； 4、当集合线为抛物线（ -11 ），表示从分散