三角形的三种重要线段的应用

1、.1 专训三角形的三种重要线段专训三角形的三种重要线段 的应用的应用 习题课习题课 .2 三角形的角平分线、中线和高是三角形中三三角形的角平分线、中线和高是三角形中三 种重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关种重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关 系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起到系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起到 了很大的作用，因此我们需要从不同的角度认识了很大的作用，因此我们需要从不同的角度认识 这三种线段这三种线段 .3 1 应用应用三角形的角平分线的应用三角形的角平分线的应用 类型类型1 三角形角平分线定义的直接应用三角形角平分线定义的直接应用 1. (1)如图，

2、在如图，在ABC中，中，D，E，F是边是边BC上的三点，上的三点， 且且1234，以，以AE为角平分线的三为角平分线的三 角形有角形有_； (2)如图，已知如图，已知AE平分平分BAC，且，且 12415，计算，计算 3的度数，并说明的度数，并说明AE是是DAF的角平分线的角平分线 ABC和和ADF .4 解：解： (2)因为因为AE平分平分BAC，所以，所以BAECAE. 又因为又因为1215， 所以所以BAE12151530. 所以所以CAEBAE30. 所以所以CAE4330. 又因为又因为415，所以，所以315. 所以所以2315. 所以所以AE是是DAF的角平分线的角平分线 .5

3、2. 如图，在如图，在ABC中，中，BE， CD分别为其角平分线且分别为其角平分线且 交于点交于点O. (1)当当A60时，求时，求BOC的度数；的度数； (2)当当A100时，求时，求BOC的度数；的度数； (3)当当A时，求时，求BOC的度数的度数 类型类型2 求三角形两内角平分线的夹角度数求三角形两内角平分线的夹角度数 .6 解：解： (1)因为因为A60， 所以所以ABCACB120. 因为因为BE，CD为为ABC的角平分线，的角平分线， 所以所以EBC ABC，DCB ACB. 所以所以EBCDCB 12060. 所以所以BOC180(EBCDCB)180 60120. 1 2 1

4、2 1 2 .7 (2)因为因为A100， 所以所以ABCACB80. 因为因为BE，CD为为ABC的角平分线，的角平分线， 所以所以EBC ABC，DCB ACB. 所以所以EBCDCB 8040. 所以所以BOC180(EBCDCB)180 40140. 1 2 1 2 1 2 .8 (3)因为因为A， 所以所以ABCACB180. 因为因为BE，CD为为ABC的角平分线，的角平分线， 所以所以EBC ABC，DCB ACB. 所以所以EBCDCB90 . 所以所以BOC180(EBCDCB) 180 90 . 1 2 1 2 1 2 1 90 2 a a 骣 桫 1 2 .9 第第(1)

5、(2)问很容易解决，第问很容易解决，第(3)问就是类比前面解问就是类比前面解 决问题的方法用含决问题的方法用含的式子表示的式子表示 .10 2 应用应用三角形的中线的应用三角形的中线的应用 类型类型1 求与中线相关线段长的问题求与中线相关线段长的问题 3. 如图，已知如图，已知AE是是ABC的中线，的中线，EC4，DE2， 则则BD的长为的长为() A2 B3 C4 D6 A .11 4. 如图，已知如图，已知BECE，ED为为EBC的中线，的中线，BD8， AEC的周长为的周长为24，则，则ABC的周长为的周长为() A40 B46 C50 D56 A 同类变式同类变式 .12 因为因为AE

6、C的周长为的周长为24，所以，所以AECEAC24. 又因为又因为BECE， 所以所以AEBEACABAC24. 又因为又因为ED为为EBC的中线，的中线， 所以所以BC2BD2816. 所以所以ABC的周长为的周长为ABACBC241640. 故选故选A. .13 6. 如图，在如图，在ABC中，中，D为为BC上一点，上一点，E，F分别为分别为 AD，BE的中点，且的中点，且S ABC 8 cm2，则图中阴影部，则图中阴影部 分的面积是分的面积是_ 类型类型2 求与中线相关的面积问题求与中线相关的面积问题 2 cm2 .14 3应用应用三角形的高的应用三角形的高的应用 8. 如图，已知如图，

7、已知ABBD于点于点B，ACCD于点于点C，AC与与 BD交于点交于点E.ADE的边的边DE上的高为上的高为_，边，边 AE上的高为上的高为_ AB 类型类型1 找三角形的高找三角形的高 DC .15 9.【动手操作题动手操作题】画出图中画出图中ABC的三条高的三条高(要标明要标明 字母，不写画法字母，不写画法) 类型类型2 作三角形的高作三角形的高 解：解： 如图如图 .16 10. 如图，在如图，在ABC中，中，BC4，AC5，若，若BC边上边上 的高的高AD4.求：求： (1)ABC的面积及的面积及AC边上的高边上的高BE的长；的长； (2)AD BE的值的值 类型类型3 求与高相关线段

8、的问题求与高相关线段的问题 .17 解：解： (1)S ABC BCAD 448. 因为因为S ABC ACBE 5BE8， 所以所以BE . (2)AD BE4 . 1 2 1 2 1 2 1 2 16 5 16 5 5 4 .18 11. 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，D为为BC边上一点，边上一点， DEAB，DFAC，BGAC，垂足分别为点，垂足分别为点E， F，G. 试说明：试说明：DEDFBG. 类型类型4 证与高相关线段和的问题证与高相关线段和的问题 .19 解：解： 如图，连接如图，连接AD， 因为因为S ABC S ABD S ADC， ， 所以所以 ACBG ABD

9、E ACDF. 又因为又因为ABAC，所以，所以BGDEDF. 1 2 1 2 1 2 “等面积法等面积法”是数学中很重要的方法，而在涉及是数学中很重要的方法，而在涉及 垂直的线段的关系时，常将线段的关系转化为面垂直的线段的关系时，常将线段的关系转化为面 积的关系来解决积的关系来解决 .20 思考题思考题 1.在等腰三角形在等腰三角形ABC中，中，ABAC，一腰上的中线，一腰上的中线BD 将这个三角形的周长分成将这个三角形的周长分成15 cm和和6 cm两部分，求两部分，求 这个等腰三角形的三边长这个等腰三角形的三边长 2. 如图，如图，ABC的面积为的面积为16，点，点D是是BC边上一点，且

10、边上一点，且 BD BC，点，点G是是AB边上一点，点边上一点，点H在在ABC内内 部，部，BDGH，且，且BDGH.则图中阴影部分的面则图中阴影部分的面 积是积是() A3 B4 C5 D6 1 4 B .21 1解：解：设设ADCDx cm， 则则AB2x cm，BC(1564x)cm. 依题意，有依题意，有ABAD15 cm或或ABAD6 cm， 则有则有2xx15或或2xx6， 解得解得x5或或x2. 当当x5时，三边长为时，三边长为10 cm，10 cm，1 cm； 当当x2时，三边长为时，三边长为4 cm，4 cm，13 cm， 而而4413，故不能组成三角形，故不能组成三角形 所以这个等腰三角形的三边长为所以这个等腰三角形的三边长为10 cm，10 cm，1 cm. .22 2.设设ABC的边的边BC上的高为上的高为h，AGH的边的边GH上上 的高为的高为h1