普通物理学第七版第二章讲解

1、 N个质点组成的系统 - 研究对象称为质点系 。 内力：系统内部各质点间的相互作用力 质点系 特点：成对出现；大小相等方向相反 结论：质点系的内力之和为零 0? ? i i f ? 2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理 外力: 系统外部对质点系内部质点的作用力 F? f f 约定：系统内任一质点受力之和写成 ii fF ? ? 外力之和 内力之和 一、 质点系的内力和外力 二、 质心 抛手榴弹的过程 C O X Y 质 点 系 的 质 量 中 心 ， 简 称 质 心 。 具 有 长 度 的 量 纲 ， 描 述 与 质 点 系 有 关 的 某 一 空 间点的位置。 质心运动反映了质点系

2、的整体运动趋势。 x z y O m2 r2 m1 r1 c rc mi ri rN mN 对于N个质点组成的质点系： Ni mmmm?, 21 Ni rrrr ? ? ? ? ? , 21 Mxmx iic / ? Mymy iic / ? Mzmz iic / ? ? ? i mM Mrmr iic / ? ? ? 直角坐标系中 直角坐标系下 x z y O c rc dm r d d c r m r m ? ? ? dr m m ? ? 面分布 体分布 线分布 lmdd ? Smdd? Vmdd? 对于质量连续分布的物体 ? Mmxx c /d ? ? Mmyy c /d ? ? Mmz

3、z c /d ? ? 注意： 质心的位矢与参考系的选取有关。 刚体的质心相对自身位置确定不变。 质量均匀的规则物体的质心在几何中心。 质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质 心与重心位置重合。 x z y O c rc dm r i ii c m rm r ? ? ? ? ? 设有一个质点系，由 个质点组成，它的质心 的位矢是： n n nn mmm rmrmrm ? ? ? ? ? ? ? 21 2211 质心的速度为 t r v c c d d ? ? ? i i i m t r m ? ? ? d d ? i ii m vm ? ? ? ? 三、 质心运动定理 质心的加速度为质心的加

4、速度为 t v a c c d d ? ? ? i i i m t v m ? ? ? d d ? i ii m am ? ? ? ? 由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得 n fffF t v mam 113121 1 111 d d ? ? ? ? ? ? n fffF t v mam 223212 2 222 d d ? ? ? ? ? ? 132 d d ? ? nnnnn n nnn fffF t v mam ? ? ? ? ? ? 对于内力 iii Fam ? ? ? ? ? ? ? , 0, 0 2112 ? niin ffff i ii c m am a ? ? ? ? ? M F

5、 m F a i i i c ? ? ? ? ? ? ci aMF ? ? ? 质心运 动定理 表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力 作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体 的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作 用其上的一个质点的运动一样。 例题 一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为 R，求此半 圆形铁丝的质心。 任取一小段铁丝， 其长度为dl，质量 为dm，以表示铁 丝的线密度 解：建立如图坐标系。 dd ,ml?0 c x ? d c yl y m ? ? ? 0 sindRR m ? ? ? ? ? 2 2 R m ? ? 2 2 R R ? ? ? 2/ c yR? 例

6、一质量 的人站在一条质量为 ， 长度 的船的船头上。开始时船静止，试求当人走 到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。） kgm50 1 ?kgm200 2 ? ml4? 解： 设 表示 船本身的质心 b c o 1 x? 1 x 2 x? 2 x d x y b c b c? 当人站在船的左端时当人站在船的左端时 21 2211 mm xmxm c x ? ? ? 当人站在船的右端时 21 2211 mm xmxm c x ? ? ? 对船和人这一对船和人这一 系统，在水平方向上系统，在水平方向上 不受外力，因而在水 平方向的质心不变。平方向的质心不变。 cc xx? o 1 x? 1 x

7、 2 x? 2 x d x y b c b c? 22112211 xmxmxmxm? )()( 222111 xxmxxm? l-d d )(8.0 21 1 ml mm m d? ? ? o 1 x? 1 x 2 x? 2 x d x y b c b c? 22 动量定理 动量守恒定律 的瞬时效果牛顿第二定律描述了力 生什么效果？力作用一段时间后会产 一、冲量 ? 恒力的冲量 21 ,ttF?作用时间恒矢量作用力 ? )(: 12 ttFI力对质点的冲量 ? ? 在时间t1 ? t 2间隔内，力F是变化的 求t1 ? t 2时间间隔内的总冲量 ? 将区间t1 ? t 2分成无穷多小段； ?

8、 取其中一小段dt, 这一小段内力的冲量 dtFId ? ? t1 F 0 t t2 dt F ? 变力的冲量变力的冲量 冲力与时间的关系 ? t1 ? ? t 2的总冲量为上式的积分 ? ? 2 1 t t dtFI dI ? t1 F 0 t t2 dt F 冲力与时间的关系 S 其大小等于 图上面积S 12 2 1 2 1 2 1 PPPddt dt Pd dtFI t t P P t t ? ? ? ? ? ? PPPdtFI t t ? ?12 2 1 ? 质点动量定理： 物体在运动过程中所受合外力的冲量， 等于该物体动量的增量。 二、动量定理 pF ? ? dd ? ?t 2、方向

9、 注意：注意： 的方向无关及变力、与 的方向相同与 FPP PI 21 ? ? 1、某方向上的冲量只改变该方向上的动量 而不改变与它垂直方向上的动量 zzzyyy xx t t xx mvmvImvmvI mvmvdtFI 1212 12 2 1 ? ? ? PPPdtFI t t ? ? 12 2 1 ? ? ? F ? ? ? 2 1 12 1t t dtF tt F ? 3、对于碰撞、冲击等问题，可由作用效果 估算平均冲力 4、仅适用于惯性系，v应相对于同一惯性系 t 2 t 1 t F12 12 tt vmvm ? ? ? ? 例例 动量定理解释了“逆风行舟” 船 前 进 方 向 风吹

10、来 取一小块风dm为研究对象 0 ? ? ? ? 0 P ? P ? PI ? ? PI ? ? mPd 00 ? ? ? ? 初 mPd? ? ? ?末 由牛顿第 三定律 前 进 方 向 风对帆的冲量大小 PI ? ? 方向与 相反 P ? ? t P F ? ? ? ? ? 例1、质量m=1kg的质点从o点开始沿半径R=2m的圆 周运动。以o点为自然坐标原点。已知质点的运动 方程为 m。试求从 s到 s 这段时间内质点所受合外力的冲量。 2 5 . 0ts?2 1 ?t 2 2 ?t 解： o ? 2 1 2 2 1 s 2 1 1 ? ? R s ?22 2 1 2 2 ?s ? R s

11、2 2 1 vm? 2 vm ? t dt ds v? )(2 1 1 ? ?smv? )(2 1 2 ? ?smv? o 1 vm? 2 vm? )( 12 vmvmvmI ? ? ? 1 vm? 2 vm? )( vm ? ? ? ? ?6 2 2 2 1 ?mvmvI 2 2 1 2 ? mv mv tg? 4454? 例2、一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力 大小为F=400-4? ?105 5t/3，子弹从枪口射出时 的速率为300m/s。设子弹离开枪口处合力 刚好为零。求：（刚好为零。求：（1 1）子弹走完枪筒全长所 用的时间t。（2）子弹在枪筒中所受力的 冲量I。（3）子弹的质量。

12、 解： （1） 0 3 104 400 5 ? ? ?tF st003. 0 104 4003 5 ? ? ? ? sN t t dttFdtI ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 . 0 32 104 400 3 104 400 003 . 0 0 25 003 . 0 0 5 （3） 0 ? mvI gkg v I m2002. 0 300 6 . 0 ? （2） 例例3：矿砂从传送带A落到另一传送带落到另一传送带B，如图，其速，如图，其速 度 ，方向与竖直方向成 30 角，而传送 带B与水平成 15 角，其速度 。如传送 带的运送量恒定，设为 。 求求 落到传送落

13、到传送 带B上的矿砂在落上时所受的力。 smv/4 1 ? smv/2 2 ? sKgk/20? ? 15 ? ? 1 v ? 30 2 v )/(98. 398. 3 75cos24224)( 22 smtkm mvm ? ? ? ? 解：设在极短的时间解：设在极短的时间 内落在传送带上矿砂的质量为内落在传送带上矿砂的质量为 m， 即即 ，这些矿砂动量的增量，这些矿砂动量的增量 tkm ? 12 )(vmvmvm ? ? t? ? ? 30 ? 15 2 mv 1 mv ? ?mv? ? 15 ? ? 1 v ? 30 2 v N t tk t vm F6 .79 98. 3)( ? ? ?

14、 ? ? ? ? ? 的方向与 的方向相同 F)( vm ? ? ? ?sin75sin 2 vmvm ? ? ? ? ? 29? ? ? 30 ? 15 2 mv 1 mv ? ?mv? 设这些矿砂在 时间内的平 均作用力为 ，根据动量定 理 ， t? F )(mvtF? 动量定理动量定理 例4 质量M=3t的重锤，从高度 h=1.5m处自由落到受锻 压 的 工 件上 ， 工 件 发生 形 变 。 如 果作 用 的 时间 (1)?=0.1s， (2)?=0.01s 。试求锤对工件的平均冲力。 h N ? g ? M 解：以重锤为研究对象，分析受 力，作受力图： 动量定理动量定理 解法一：锤对

15、工件的冲力变化范围很大，采用平均 冲力计算，其反作用力用平均支持力代替。 在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。 0 )(MvMvMgN? ,末状态动量为0。 初状态动量为 ghM 2 ()0 (2)N MgMgh? ? ? 得到 ?/2ghMMgN? 解得 代入M、h 、? 的值，求得： (1) ) 1 . 0/5 . 18 . 928 . 9(103 3 ?N 牛顿 5 1092. 1? )01. 0/5 . 18 . 928 . 9(103 3 ?N 牛顿 6 1092. 1? (2) 动量定理动量定理 解法二： 考虑从锤自由下落到静止的整个过程， 动量变化为零。动量变化为零。 重力作

16、用时间为 gh/2? 支持力的作用时间为? 根据动量定理，整个过程合外力的冲量为零，即 0)/2(?ghMgN? 得到解法一相同的结果 ?/2ghMMgN? 若系统所受的合外力 0 0 1 ? ? ? 合外 n i i F ? 系统总动量守恒 恒矢量? ? ? n i n i iiii vmvm 11 0 ? ? ? ? ? ? n i ii n i ii t t n i i vmvmdtF 1 0 11 2 1 ? ? 合外 三、动量守恒定律三、动量守恒定律 分量式 , 0 1 ? ? ? n i ix F系统x方向动量守恒 ? ? ? n i n i ixiixi vmvm 11 0 ,

17、0 1 ? ? ? n i iy F系统y方向动量守恒 ? ? ? n i n i iyiiyi vmvm 11 0 , 0 1 ? ? ? n i iz F系统z方向动量守恒 ? ? ? n i n i iziizi vmvm 11 0 注意：注意： （1）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个 质点的动量不变，（系统内的动量可以相互转移） 而是指系统动量总和不变。 （2）守恒条件： F合外=0 或F内F 外（如：碰撞，打击等） （4）动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的 定律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观 领域。 （3）动量守恒定律中所有的质点的 动量必须相对 于同一个惯性参考系

18、 例：设炮车以仰角例：设炮车以仰角? ?发射炮弹，炮弹出膛速度发射炮弹，炮弹出膛速度 相对于炮车速度为 炮车和炮弹的质量为M和 m。不计地面摩擦力，求炮车反冲速度。不计地面摩擦力，求炮车反冲速度 。 。 u ? 解：炮弹相对于地的速度为： vuV ? ? ? 由水平方向动量守恒： 0)cos(?Mvvum? ?cos mM mu v ? ?解得： v ? u ? V ? v ? V ? m M u ? v ? 解:物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力， 它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此 可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍 等于零，即 例 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且 以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块的 质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度 (大小和方向)。 0 3 3 2 2 1 1 ?vmvmvm m3