2020_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直二同步课件新人教A版必修第二册

1、8.6.2直线与平面垂直(二) 必备知识必备知识自主学习自主学习 1.1.直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理 (1)(1)定理定理: :垂直于同一个平面的两条直线垂直于同一个平面的两条直线_._. (2)(2)符号符号:a,b:a,babab. . (3)(3)本质本质: :垂直关系垂直关系平行关系平行关系, ,揭示了揭示了“平行平行”与与“垂直垂直”之间的内在联系之间的内在联系. . 导思导思 1.1.直线与平面垂直有哪些性质直线与平面垂直有哪些性质? ? 2.2.直线与平面、平面与平面的距离是怎样定义的直线与平面、平面与平面的距离是怎样定义的? ? 平行平行 【思考【思考】

2、如果两条平行线中的一条与一个平面垂直如果两条平行线中的一条与一个平面垂直, ,那么另一条直线与这个平面是什么那么另一条直线与这个平面是什么 位置关系位置关系? ? 提示提示: :垂直垂直. . 2.2.距离距离 (1)(1)直线与平面的距离直线与平面的距离: :直线与平面平行直线与平面平行, ,直线上直线上_到平面的距离到平面的距离. . (2)(2)平面与平面的距离平面与平面的距离: :平面与平面平行平面与平面平行, ,其中一个平面上其中一个平面上_到另一个平到另一个平 面的距离面的距离. . 任意一点任意一点 任意一点任意一点 【思考【思考】 是不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离是

3、不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离? ? 提示提示: :不是不是, ,只有当直线与平面平行只有当直线与平面平行, ,平面与平面平行时才涉及距离问题平面与平面平行时才涉及距离问题. . 【基础小测【基础小测】 1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”,”,错的打错的打“”)”) (1)(1)对于直线对于直线a a和平面和平面, ,若若a,aa,a, ,则则. .( () ) (2)(2)对于直线对于直线a a和平面和平面, ,若若a,a, ,则则aa. .( () ) (3)(3)对于直线对于直线a,ba,b和平面和平面,若若a,aba,ab, ,则则bb. .( () ) 提示提

4、示: :(1).(1).垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行. . (2).(2).直线垂直于平行平面中的一个直线垂直于平行平面中的一个, ,也垂直于另一个平面也垂直于另一个平面. . (3)(3). .直线直线b b可能在平面可能在平面内内. . 2.2.如图如图,P,P为为ABCABC所在平面所在平面外一点外一点,PB,PCAC,PB,PCAC, ,则则ABCABC的形状为的形状为( () ) A.A.锐角三角形锐角三角形B.B.直角三角形直角三角形 C.C.钝角三角形钝角三角形D.D.不确定不确定 【解析【解析】选选B.B.由由PB,ACPB,AC, ,得得PBA

5、C,PBAC, 又又ACPC,PCPB=P,ACPC,PCPB=P, 所以所以ACAC平面平面PBC,PBC,所以所以ACBC,ACBC,所以所以ABCABC为直角三角形为直角三角形. . 3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )已知直线已知直线abab, ,平面平面,a,a, ,则则b b与与的位置的位置 关系是关系是 ( () ) A.bA.bB.bB.b C.bC.bD.bD.b或或bb 【解析【解析】选选A.A.因为因为a,aba,ab, ,所以所以bb. .又又, ,所以所以bb. . 关键能力关键能力合作学习合作学习 类型一直线与平面垂直的性质的应用类型一直

6、线与平面垂直的性质的应用( (直观想象、逻辑推理直观想象、逻辑推理) ) 【题组训练【题组训练】 1.1.在圆柱的一个底面上任取一点在圆柱的一个底面上任取一点( (该点不在底面圆周上该点不在底面圆周上),),过该点作另一个底面过该点作另一个底面 的垂线的垂线, ,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( () ) A.A.相交相交B.B.平行平行 C.C.异面异面D.D.相交或平行相交或平行 2.2.如图如图, ,在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中, ,底面底面ABCDABCD为矩形为矩形,E,F,E,F分别是棱分别是棱AB,PCAB,P

7、C的中点的中点. .若若EFEF 平面平面PCD,PCD,求证求证:PA=AD.:PA=AD. 【解析【解析】1.1.选选B.B.因为圆柱的母线垂直于圆柱的底面因为圆柱的母线垂直于圆柱的底面, ,所作的垂线也垂直于底面所作的垂线也垂直于底面, , 由线面垂直的性质定理可知由线面垂直的性质定理可知, ,二者平行二者平行. . 2.2.取取PDPD的中点的中点H,H,连接连接HF,AH,HF,AH, 因为因为FHFH CD, CD,又因为又因为AEAE CD, CD,则则AEAEHF,HF, 所以四边形所以四边形AEFHAEFH是平行四边形是平行四边形, ,所以所以EFEFAH.AH. 因为因为E

8、FEF平面平面PCD,PCD, 所以所以AHAH平面平面PCD,PCD,所以所以AHPD,AHPD,所以所以PA=AD.PA=AD. 1 2 1 2 【解题策略【解题策略】 关于线面垂直性质定理的应用关于线面垂直性质定理的应用 (1)(1)在证明与垂直相关的平行问题时在证明与垂直相关的平行问题时, ,可以考虑线面垂直的性质定理可以考虑线面垂直的性质定理, ,利用已知利用已知 的垂直关系构造线面垂直的垂直关系构造线面垂直, ,关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面. . (2)(2)注意线面垂直性质定理的推论的应用注意线面垂直性质定理的推论的应用, ,利

9、用平行关系转化为垂直关系利用平行关系转化为垂直关系, ,或将或将 垂直关系转化为平行关系垂直关系转化为平行关系. . 【补偿训练【补偿训练】 如图如图, ,在三棱锥在三棱锥P-ABCP-ABC中中,PA,PA底面底面ABC,BAC=90ABC,BAC=90,F,F是是ACAC的中点的中点,E,E是是PCPC上的点上的点, , 且且EFBC,EFBC,则则 = =. PE EC 【解析【解析】在三棱锥在三棱锥P-ABCP-ABC中中, , 因为因为PAPA底面底面ABC,BAC=90ABC,BAC=90, , 所以所以ABAB平面平面APC.APC. 因为因为EFEF平面平面PAC,PAC,所以

10、所以EFAB,EFAB, 因为因为EFBC,BCAB=B,EFBC,BCAB=B, 所以所以EFEF底面底面ABC,ABC,所以所以PAEF,PAEF, 因为因为F F是是ACAC的中点的中点,E,E是是PCPC上的点上的点, , 所以所以E E是是PCPC的中点的中点, ,所以所以 =1.=1. 答案答案: :1 1 PE EC 类型二空间中的距离问题类型二空间中的距离问题( (数学运算、逻辑推理数学运算、逻辑推理) ) 【典例【典例】如图如图, ,在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,CD,CD平面平面 PAD,AD=2PD=4,AB=6,PA=2 ,BAD=60PAD,AD=2P

11、D=4,AB=6,PA=2 ,BAD=60, ,点点Q Q在棱在棱ABAB上上 (1)(1)证明证明:PD:PD平面平面ABCD;ABCD; (2)(2)若三棱锥若三棱锥P-ADQP-ADQ的体积为的体积为2 ,2 ,求点求点B B到平面到平面PDQPDQ的距离的距离. . 5 3 【思路导引【思路导引】(1)(1)证明证明PDPD与平面与平面ABCDABCD内的两条相交直线垂直内的两条相交直线垂直; ; (2)(2)将所求距离转化将所求距离转化, ,再转化为三棱锥的高求值再转化为三棱锥的高求值. . 【解析【解析】(1)(1)因为因为AD=2PD=4,PA=2 ,AD=2PD=4,PA=2

12、, 所以所以PAPA2 2=PD=PD2 2+AD+AD2 2, ,即即PDAD,PDAD, 因为因为CDCD平面平面PAD,PAD,所以所以CDPD,CDPD,且且ADCD=D.ADCD=D. 所以所以PDPD平面平面ABCD.ABCD. 5 (2)(2)因为三棱锥因为三棱锥P-ADQP-ADQ的体积为的体积为2 ,2 , 所以所以 S S ADQADQ PD=2 ,PD=2 ,所以所以S S ADQADQ=3 . =3 . 所以所以 ADADAQAQsinsin 60 60=3 ,=3 ,所以所以AQ=3.AQ=3. 所以所以Q Q为为ABAB中点中点, ,即点即点A A到平面到平面PDQ

13、PDQ的距离等于点的距离等于点B B到平面到平面PDQPDQ的距离的距离. . 在在ADQADQ中中, ,由余弦定理可得由余弦定理可得 所以所以S S PDQPDQ= = PDPDDQ= .DQ= . 由由V VP-ADQ P-ADQ=V =VA-PDQ A-PDQ 2 = 2 = d,d,所以所以 . . 所以点所以点B B到平面到平面PDQPDQ的距离为的距离为 . . 3 1 3 1 2 33 3 22 DQADAQ2AD AQcos 6013. 1 2 13 3 1 3 13 6 39 d 13 6 39 13 【解题策略【解题策略】 空间中距离的转化空间中距离的转化 (1)(1)利用

14、线面、面面平行转化利用线面、面面平行转化: :利用线面距离、面面距离的定义利用线面距离、面面距离的定义, ,转化为直线或转化为直线或 平面上的另一点到平面的距离平面上的另一点到平面的距离. . (2)(2)利用中点转化利用中点转化: :如果条件中具有中点条件如果条件中具有中点条件, ,将一个点到平面的距离将一个点到平面的距离, ,借助中点借助中点 ( (等分点等分点),),转化为另一点到平面的距离转化为另一点到平面的距离. . (3)(3)通过换底转化通过换底转化: :一是直接换底一是直接换底, ,以方便求几何体的高以方便求几何体的高; ;二是将底面扩展二是将底面扩展( (分割分割),), 以

15、方便求底面积和高以方便求底面积和高. . 【跟踪训练【跟踪训练】 (2020(2020渭南高一检测渭南高一检测) )如图所示的几何体中如图所示的几何体中,ABC -A,ABC -A1 1B B1 1C C1 1为三棱柱为三棱柱, ,且且AAAA1 1平面平面 ABC,AAABC,AA1 1=AC,=AC,四边形四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形,AD=2CD,ADC=60,AD=2CD,ADC=60. . (1)(1)求证求证:AC:AC1 1平面平面A A1 1B B1 1CD;CD; (2)(2)若若CD=2,CD=2,求求C C1 1到平面到平面A A1 1B B1 1CDC

16、D的距离的距离. . 【解析【解析】(1)(1)因为因为ABC -AABC -A1 1B B1 1C C1 1为三棱柱为三棱柱, ,且且AAAA1 1平面平面ABC,AAABC,AA1 1=AC,=AC, 四边形四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形,AD=2CD,ADC=60,AD=2CD,ADC=60. . 所以四边形所以四边形AAAA1 1C C1 1C C是正方形是正方形, ,所以所以ACAC1 1AA1 1C,C, 设设CD=a,CD=a,则则AD=2a,AD=2a, , , 所以所以CDCD2 2+AC+AC2 2=AD=AD2 2, ,所以所以ACDC,ACDC,所以所以

17、ACAB,ACAB, 因为因为AAAA1 1AB,AB,又因为又因为ACAAACAA1 1=A,=A, 所以所以ABAB平面平面ACCACC1 1A A1 1, , 所以所以A A1 1B B1 1ACAC1 1, ,因为因为A A1 1B B1 1AA1 1C=AC=A1 1, , 所以所以ACAC1 1平面平面A A1 1B B1 1CD.CD. 22 ACa4a2 a2acos 603a (2)(2)因为因为CD=2,CD=2,所以所以AD=4,AC=AAAD=4,AC=AA1 1= ,= ,所以所以ACAC1 1= .= . 所以点所以点C C1 1到平面到平面A A1 1B B1 1

18、CDCD的距离为的距离为 ACAC1 1= .= . 1642 32 6 1 2 6 类型三直线与平面垂直关系的综合应用类型三直线与平面垂直关系的综合应用( (直观想象、逻辑推理直观想象、逻辑推理) ) 角度角度1 1探究性问题探究性问题 【典例【典例】已知四边形已知四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形,PA,PA平面平面ABCD,ABCD,当平行四边形当平行四边形ABCDABCD满足满足 条件条件时时, ,有有PCBD(PCBD(填上你认为正确的一个条件即可填上你认为正确的一个条件即可).). 【思路导引【思路导引】构造条件使构造条件使BDBD平面平面PAC.PAC. 【解析【解析

19、】连接连接AC,AC,因为四边形因为四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形,PA,PA平面平面ABCD,ABCD,所以所以BDPA.BDPA. 当平行四边形当平行四边形ABCDABCD是菱形时是菱形时,BDAC,BDAC, 又又PAAC=A,PAAC=A,所以所以BDBD平面平面PAC,PAC,所以所以PCBD.PCBD. 答案答案: :平行四边形平行四边形ABCDABCD是菱形是菱形( (答案不唯一答案不唯一) ) 【变式探究【变式探究】 将本例的条件变为将本例的条件变为: :在矩形在矩形ABCDABCD中中,AB=2 ,BC=a,PA,AB=2 ,BC=a,PA平面平面ABCD,A

20、BCD,若在若在BCBC上存在上存在 点点Q Q满足满足PQDQ,PQDQ,试求试求a a的最小值的最小值. . 2 【解析【解析】假设在假设在BCBC边上存在点边上存在点Q,Q,使得使得PQDQ,PQDQ,连接连接AQ,AQ,因为在矩形因为在矩形ABCDABCD 中中,AB=2 ,BC=a,PA,AB=2 ,BC=a,PA平面平面ABCD,ABCD,所以所以PADQ,PADQ, 因为因为PQDQ,PAPQ=P,PQDQ,PAPQ=P,所以所以DQDQ平面平面PAQ,PAQ, 所以所以DQAQ,DQAQ, 所以所以AQD=90AQD=90, ,由题意得由题意得ABQABQQCD,QCD, 设设

21、BQ=x,BQ=x,所以所以x(a-xx(a-x)=8,)=8,即即x x2 2-ax+8=0(-ax+8=0(* *),), 当当=a=a2 2-320-320时时,(,(* *) )方程有解方程有解, , 所以当所以当a4 a4 时时, ,在在BCBC上存在点上存在点Q Q满足满足PQDQ,PQDQ, 故故a a的最小值为的最小值为4 .4 . 2 2 2 角度角度2 2综合性问题综合性问题 【典例【典例】(2020(2020本溪高一检测本溪高一检测) )如图如图,AB,AB为为O O直径直径,C,C为为O O上一点上一点,PA,PA平面平面 ABC,AEPB,AFPC,ABC,AEPB,

22、AFPC,求证求证:PBEF.:PBEF. 【思路导引【思路导引】设法证明设法证明PBPB平面平面AEF,AEF,即证明即证明AFPB.AFPB. 【证明【证明】因为因为PAPA平面平面ABC,BCABC,BC在平面在平面ABCABC上上, ,所以所以PABC.PABC. 又又ABAB是圆是圆O O的直径的直径, ,所以所以ACBC.ACBC. 又又AC,PAAC,PA在平面在平面PACPAC中交于中交于A,A, 所以所以BCBC平面平面PAC.PAC.又又AFAF平面平面PAC,PAC,所以所以BCAF.BCAF. 因为因为AFPC,BC,PCAFPC,BC,PC在平面在平面PBCPBC中交

23、于中交于C,C, 所以所以AFAF平面平面PBC.PBC.又又PBPB平面平面PBC,PBC,所以所以AFPB.AFPB. 又又AEPB,AF,AEAEPB,AF,AE在平面在平面AEFAEF中交于中交于A,A, 所以所以PBPB平面平面AEF,AEF,所以所以PBEF.PBEF. 【解题策略【解题策略】 关于线面垂直判定、性质的应用关于线面垂直判定、性质的应用 (1)(1)分析已知的垂直关系分析已知的垂直关系, ,得出能够推出的线线、线面垂直得出能够推出的线线、线面垂直, ,即挖掘已知条件即挖掘已知条件, ,以以 方便后续证明方便后续证明. . (2)(2)证明垂直关系时往往需要逆向思维证明

24、垂直关系时往往需要逆向思维, ,如要证明直线如要证明直线a a垂直于平面垂直于平面内直线内直线b,b, 可以考虑证明直线可以考虑证明直线b b垂直于直线垂直于直线a a所在的平面所在的平面. (3)(3)掌握线线、线面垂直的相互转化掌握线线、线面垂直的相互转化. . 【题组训练【题组训练】 (2020(2020丽水高一检测丽水高一检测) )如图如图, ,在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,PA,PA底面底面 ABCD,ADBC,ABC=90ABCD,ADBC,ABC=90,AB=BC=1,PA=AD=2.,AB=BC=1,PA=AD=2. (1)(1)求证求证:CD:CD平面平面PA

25、C;PAC; (2)(2)在棱在棱PCPC上是否存在点上是否存在点H,H,使得使得AHAH平面平面 PCD?PCD?若存在若存在, ,确定点确定点H H的位置的位置; ;若不存在若不存在, ,说说 明理由明理由. . 【解析【解析】(1)(1)由题意由题意, ,可得可得DC=AC= ,DC=AC= , 所以所以ACAC2 2+DC+DC2 2=AD=AD2 2, ,即即ACDC,ACDC, 又因为又因为PAPA底面底面ABCD,ABCD,所以所以PACD,PACD, 又因为又因为PAAC=A,PAAC=A,所以所以DCDC平面平面PAC.PAC. 2 (2)(2)过点过点A A作作AHPC,A

26、HPC,垂足为垂足为H,H, 由由(1)(1)可得可得CDAH,CDAH,又又PCCD=C,PCCD=C, 所以所以AHAH平面平面PCD,PCD, 因为在因为在RtRtPACPAC中中,PA=2,AC= , ,PA=2,AC= , , 所以可得所以可得PH= PC,PH= PC,即在棱即在棱PCPC上存在点上存在点H,H, 且且PH= PC,PH= PC,使得使得AHAH平面平面PCD.PCD. 2 PHPA PAPC 2 3 2 3 【补偿训练【补偿训练】 (2020(2020三明高一检测三明高一检测) )在直三棱柱在直三棱柱ABC -AABC -A1 1B B1 1C C1 1中中,BA

27、C=90,BAC=90, ,以下能使以下能使 A A1 1CBCCBC1 1的是的是( () ) A.AB=ACA.AB=ACB.AAB.AA1 1=AC=AC C.BBC.BB1 1=AB=ABD.CCD.CC1 1=BC=BC 【解析【解析】选选B.B.如图如图, , 在直三棱柱在直三棱柱ABC -AABC -A1 1B B1 1C C1 1中中,BAC=90,BAC=90, ,即即ABAC,ABAC,又又AAAA1 1AB,AAAB,AA1 1AC=A,AC=A,所以所以 ABAB平面平面AAAA1 1C C1 1C,C,又又A A1 1C C平面平面AAAA1 1C C1 1C,C,所

28、以所以ABAABA1 1C,C,若若AAAA1 1=AC,=AC,则长方形则长方形AAAA1 1C C1 1C C为为 正方形正方形, ,可得可得A A1 1CACCAC1 1, ,又又ABACABAC1 1=A,=A,所以所以A A1 1CC平面平面ABCABC1 1, , 又又BCBC1 1平面平面ABCABC1 1, ,所以所以A A1 1CBCCBC1 1. . 1 12 2 3 34 4 方法总结方法总结 易错提醒易错提醒 核心素养核心素养 核心知识核心知识 逻辑推理：线面垂直的逻辑推理：线面垂直的 的综合应用中的相互转的综合应用中的相互转 化问题化问题 线面垂直的判断方法：线面垂直

29、的判断方法： （1 1）基本事实）基本事实4 4； （2 2）线面平行的性质定理；）线面平行的性质定理； （3 3）面面平行的性质定理；）面面平行的性质定理； （4 4）线面垂直的性质定理；）线面垂直的性质定理； 直线与直线与 平面垂直（二平面垂直（二 ） （1 1）注意线面垂直关）注意线面垂直关 系应用中的转化思想系应用中的转化思想 （2 2）注意求直线到面）注意求直线到面 的距离、平行平面间的的距离、平行平面间的 距离时转化思想的应用距离时转化思想的应用 性质定理性质定理 平行平面平行平面 间的距离间的距离 直线到面直线到面 的距离的距离 应用应用 课堂检测课堂检测素养达标素养达标 1.1

30、.ABCABC所在的平面为所在的平面为,直线直线lAB,AB,lACAC, ,直线直线mBC,mACmBC,mAC, ,则直线则直线l,m,m的位的位 置关系是置关系是( () ) A.A.相交相交B.B.异面异面C.C.平行平行D.D.不确定不确定 【解析【解析】选选C.C.因为因为lAB,AB,lACAC且且ABAC=A,ABAC=A, 所以所以l平面平面ABC.ABC.同理可证同理可证mm平面平面ABC,ABC, 所以所以lmm. . 2.2.如图如图,AB,AB是是O O的直径的直径,C,C是圆周上不同于是圆周上不同于A,BA,B的任意一点的任意一点,PA,PA平面平面ABC,ABC,

31、则四面则四面 体体P-ABCP-ABC的四个面中的四个面中, ,直角三角形的个数有直角三角形的个数有( () ) A.4A.4个个B.3B.3个个C.2C.2个个D.1D.1个个 【解析【解析】选选A.A.因为因为ABAB是圆是圆O O的直径的直径, ,所以所以ACB=90ACB=90, ,即即BCAC,BCAC,所以三角形所以三角形ABCABC 是直角三角形是直角三角形. .又因为又因为PAPA圆圆O O所在平面所在平面, ,所以所以PAC,PAC,PABPAB是直角三角形是直角三角形. .因为因为 BCBC在在O O内内, ,所以所以PABC,PABC,因此因此BCBC垂直于平面垂直于平面PACPAC中两条相交直线中两条相交直线, ,所以所以BCBC平面平面 PAC,PAC,所以所以PBCPBC是直角三角形是直角三角形. .从而从而PAB,PAB,PAC,PAC,ABC,ABC,PBCPBC中中, ,直角三角形的直角三角形的 个数是个数是4.4. 3.3.已知平面已知平面平面平面,a,a是直线是直线, ,则则“aa”是是“aa ” ”