初等矩阵专题知识专业知识讲座

1、本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 一、初等矩阵的概念和简单性质一、初等矩阵的概念和简单性质 定义5.1 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为 初 等矩阵 1.将E的第I行与第j 行交换得到初等矩阵 1 1 01 1 ( ,) 1 10 1 1 ij i Pij j ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 列列 行 行 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 称为第一类初等矩阵（又称称为第一类初等矩阵（又称 换法矩阵）. 2、用非零

2、数c乘乘E的第i 行，得到初等矩阵 ? ? 1 ( ( ) 1 p i cic ? ? ? ? ? ? ? ? 称为第二类初等矩阵（又称称为第二类初等矩阵（又称 倍法矩阵）. 注注 倍法矩阵的特点是： ；其它元素与单位 矩阵相同. ( , )i ic元 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 3、把E的第j 行的k倍加到第i行上，得到初等矩阵 1 1 ( ,). 1 1 ki p i j k j ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 行 （ ） 行 称为第三类初等矩阵（又称 消法矩阵）. 注 消法矩阵的特点是： ； 其它

3、元素与单位矩阵相同 . ( , )i jk元 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 同样可以得到与列变换相对应的初等矩阵，这些工作 留给学生.我们指出，对单位矩阵作一次列初等变换所到 的初等矩阵也包括在上面三类初等矩阵中 .因此换法、倍 法、消法初等矩阵是全部初等矩阵. 由于初等变换不改变矩阵的秩，从而把可逆矩阵 E成 可逆矩阵，因此初等矩阵是可逆矩阵初等矩阵是可逆矩阵 .直接验证可得： 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 命题5.1 初等矩阵皆可逆，其逆矩阵是

4、同类型的初等矩 阵，且 111 1 ( , )( , ), ( ( )( ( ), ( , ( )( , ().p i jp i j p i cp ip i j kp i jk c ? ? 这里 0. c? 容易验证 命题5.2 初等矩阵的转置还是初等矩阵，其转置矩阵是 同类型的初等矩阵，且 (, )(, ), ( )( ), (, ( )( , ( ).pi jpi j pi cpi cpi j kp j i k? 这里 0. c? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 矩阵和乘法和初等变换的关系是 定理定理5.1 设A是 矩

5、阵，对A施行一次行初等变换，就 相当于A左乘s级初等矩阵，对 A施行一次列初等变换，就 相当于A右乘n级初等矩阵.具体地说： s n? 1） A相当于把A的i ,j两行互换; A 相当于把 A的i ,j两列互换. 2） 相当于把A的第i行乘以非零数c；A 相 当于把A的第I列乘以 非零数c 3） A相当于A的第j行乘以k加到第i行上； A 相当于A的第i列乘以k加到第j列上. ( , )p i j( , )p i j ( )p i c A( )pi c ( , ( )p i j k (, ( )pi j k 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系

6、本人或网站删除。 11 1 1 01 1 ( ,) 1 10 1 1 ij ji Ss AA AA P i j A AA AA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 证明 只证行初等变换的情况 ，列初等变换的情况类似 可证.将A表示成分块 于是 1 2 S A A A A ? ? ? ? ? ? ? ? ， 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 这相当于把这相当于把A的的 两行交换两行交换. 2） , ij 11 1 ( ( ), 1 ii ss AA P i c AAcAc AA ? ?

7、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 这相当于把这相当于把A的第i 行乘以c. 3) 11 1 1 ( , ( ), 1 1 iij jj ss AA AAkAk P i j kA AA AA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 这个定理可以用八个字概括：“ 左行右列，首尾为主 ”. 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 二、矩阵的等价二、矩阵的等价 定义5.2 若矩阵A经过一系列初等变换得到可以化为 B， 则称A与B等价的（也称A与B相抵）. 注：1）矩阵的等价关系具有：反射性

8、、对称性、传递性； 2）等价矩阵的秩相等 由定理5.1立得 命题5.2 设A，B是同型矩阵，则 A，B等价的充要条件 是：存在初等矩阵 ，使 . 与A等价的矩阵有许许多多，那么能否挑出一种简单矩 阵，把它作为A的代表呢？ 1212 , , st P PP Q QQ 1212st BPPPAQQQ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 定理定理5.2 任意一个任意一个 矩阵矩阵A都与一形如都与一形如 的矩阵等价，且主对角线上的个数 等于A的 秩称这个矩阵为秩称这个矩阵为A的的标准形标准形 sn? 100 1000 000000

9、0000 r E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? r 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 11 0 a ? i 证明 如果A0，结论显然成立若 ，存 在 ，将A的第 两行交换，然后将 j,1两列交换， 所得矩阵的（1，1）元非零，不妨设 A中 .把A的 第一行乘 加到第 行上，然后第一列乘 加到第j列上，A化为 0 A? 0 i j a ? ,1i 1 111( 1,2,) i a a is ? ? 1 111 (1,2, ) j aajn ? ? ， 矩阵 1 10 0A ? ? ? 1 (1)(1)

10、Asn?是 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 对对 重复以上的讨论并继续下去，就可以得到标准形重复以上的讨论并继续下去，就可以得到标准形 . 由初等变换不改变矩阵的秩，故标准形中 1的个数等于A 的秩. (定理5.2证明完毕） 1 A n n 级可逆矩阵的标准形单位矩阵 , ,由命题6.26.2存在初等矩 阵 使 ， 因此我们有 定理5.35.3 n n级方阵A A可逆 A A能表成初等矩阵的乘积 1212 , , , st P PP Q QQ 1 2121 212stst A PPPEQQQPPPQQQ? ? 本文档所提供

11、的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 推论1： 两个两个 矩阵A、B等价 存在s级可逆矩 阵P和n级可逆矩阵Q，使B=PAQ 推论2：可逆矩阵可经一系列初等行变换化成单位矩阵 E sn? ? 若A可逆，A能表成初等矩阵的乘积 ,设A= ， 为初等矩阵.由初等矩阵逆，则， 12m QQQ i Q 111 21m QQ Q AE ? ? 记 ，则 是初等矩阵，且 1 (1,2, ) ii QP im ? ? i P 1 2 12 1 , mm PPPA EPPPE A ? ?且 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如

12、有不 当之处，请联系本人或网站删除。 将上面两式合起来，得将上面两式合起来，得 上式表明用上式表明用一系列的行初等变换把 A化成单位矩阵， 用这些初等变换作用于单位矩阵，就可以得到用这些初等变换作用于单位矩阵，就可以得到 这样我们得到了一个用 行初等变换求逆矩阵 的方法. 1 2 1( ) () m PPP A EE A ? ? 1 A ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 求 012 114 , 210 A ? ? ? ? ? ? ? 1 A ? 例例1、设 解 对分块矩阵（A E）作行初等变换 012 1001140 1

13、0 ()114 0 10012 10 0 21 00 0 121 00 0 1 114010102110 0121000 12100 038 02 10 0232 1 A E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 1 0021 11 0 0211 0 1042 10 1 0421 0 02 32 131 0 0 11 22 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故 . 1 221 421 31 1 22 A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 探究学习探究学习 设AX=B，A可逆，则X= B可以用下面的方法求 X 若XA=B，A可逆，则X=B 可以用下面的方法求 X . 1 A ? ? 1 A BE A B ? ? ? ? ? 行 1 A ? 1 EA BBA ? ? ? ? 初等列变换 本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不 当之处，请联系本人或网站删除。 解 ? 1 0 03232 0 1 023 .23 0 0 11313 A BX ? ? ? ? ? ? 例例2设AX=B，其中 求X 1232