2020_2021学年高中数学第一章解三角形1.2第2课时测量高度角度问题学案含解析新人教A版必修520210311270

1、第2课时测量高度、角度问题内容标准学科素养1.准确理解实际测量中常用的仰角、俯角、方向角等概念2.掌握测量高度的常见方法3.能把方向角等角度条件转化为解三角形的条件，解决航海等角度问题.运用直观想象提升数学运算发展逻辑推理转化数学抽象授课提示：对应学生用书第9页基础认识知识点相关术语知识梳理名称术语意义图示仰角与俯角在同一铅直平面内，目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角坡角坡面与水平面的夹角设坡角为，坡度为i，则itan_坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比值方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的最小正角方向角正北或正南方向线与目标方

2、向线所成的锐角 自我检测1若P在Q的北偏东37方向上，则Q在P的()A东偏北53方向上B北偏东37方向上C南偏西37方向上 D西偏南53方向上答案：C2在200 m的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30，60，则塔高为_答案： m授课提示：对应学生用书第10页探究一利用仰角测量高度阅读教材P13的例3测量器材：测角仪，卷尺方法步骤：(1)选水平基线HG，使H，G，B三点共线，与A点构造一个面内的三角形(2)测量HG长度，和角度ADE，ACE，测角仪高度为h.(3)在ACD中求AC，在ACE中求AE，进而求ABAEh.例1如图，在坡角为15的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地

3、面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30，且第一排和最后一排的距离为10 m，则旗杆的高度为_ m.解析如图，设旗杆高为h，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BCh.在ABC中，AB10 m，CAB45，ABC105，ACB30，由正弦定理，得，故h30 m.答案30方法技巧此类题所选基线与建筑物位于同一个平面内，一般要构造两个三角形，基线和建筑物分别是两个三角形的边，通过正、余弦定理求解跟踪探究1.如图，要在山坡上A，B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A，B两处测得塔顶C的仰角分别为60和45，AB长为40 m，斜坡与水平面成30角，则铁塔CD

4、的高为_ m.解析：延长CD交过A，B的水平线于E，F，因为CAE60，CBF45，DBF30，所以BCF45，ACE30，BDF60，所以BCA15，ADC120，CBA15，CAD30.所以ACAB40，在ACD中，由正弦定理得，即，解得CD.答案：阅读教材P14例5测量器材：测角仪，卷尺方法步骤：(1)选基线(公路)AB.(2)在A点测山顶D在水平面上的射影点E的方向角(3)在B点测E的方向角及山顶的仰角(4)测出AB长度(5)在空间中运用三角形ABC和BCD，求CD.例2如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D.现测得BCD，BDC，CDs，并在点C

5、测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.解析在BCD中，BCD，BDC，CBD180()，即，BCs.在ABC中，由于ABC90，tan .ABBCtan s.方法技巧对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择一条过建筑物底部点的基线，在基线和基线所在的平面上取另外两点，这样四点可以构成两个小三角形其中，把不含未知高度的那个小三角形作为依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理解决即可跟踪探究2.如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB20 m，在A点处测得P点仰角OAP30，在B点处测得P点的仰角OBP45，又测得AOB60，求

6、旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)解析：在RtAOP中，OAP30，OPh.OAOPh.在RtBOP中，OBP45，OBOPh.在AOB中，AB20，AOB60，由余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcos 60，即202(h)2h22hh，解得h2176.4，h13 m.即旗杆的高度h约为13 m.探究二利用俯角测量高度阅读教材P1314例4测量器材：测角仪方法步骤：(1)选基点A.(2)在C处测A的俯角.(3)在B处测A的俯角.(4)解三角形，在斜三角形中求AB，在RtABD中求BD或在斜三角形中求AC，在RtADC中求CD.例3飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海

7、拔15 000 m，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18，经过108 s后又看到山顶的俯角为78，则山顶的海拔高度为()A(1518sin 18cos 78)kmB(1518sin 18sin 78)kmC(1520sin 18cos 78)kmD(1520sin 18sin 78)km解析如图，作CDAD，垂足为点D.A18，CBD78，ACB60，AB1 00010830(km)，在ABC中，BC20sin 18.CDAD，CDBCsinCBD20sin 18sin 78(km)，山顶的海拔高度为(1520sin 18sin 78) km.故选D.答案D方法技巧通过俯角

8、构造三角形，运用正弦定理求解跟踪探究3.如图，在离地面200 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15，山脚A处的俯角为45，已知BAC60，则山的高度BC为_ m.解析：根据题意，可得在RtAMD中，MAD45，MD200，所以AM200.因为在MAC中，AMC451560，MAC180456075，所以MCA180AMCMAC45，由正弦定理，得AC200，在RtABC中，BCACsinBAC200300 m.答案：300探究三测量角度阅读教材P1516例6方法步骤：(1)根据题意画出海轮的行驶方向及位置(2)解三角形，根据余弦定理求AC，根据正弦定理求角(3)根据方向角的概念求航向例4某

9、海上养殖基地A接到气象部门通知，位于基地南偏东60方向，距离基地20(1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(1)小时后开始影响基地，持续2小时求台风移动的方向解析如图所示，设刚接到通知时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C,2小时后，开始不影响基地时台风中心为D，则B，C，D在同一直线上，且AD20，AC20.由题意知，AB20(1)，DC20，BC(1)10.在ADC中，DC2AD2AC2，DAC90，ADC45.在ABC中，由余弦定理得cosBAC，BAC30.又B位于A的南偏东60方向上，

10、且603090180，D位于A的正北方向又ADC45，台风移动的方向为北偏西45方向方法技巧解决测量角度问题的注意点(1)明确方位角和方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，并根据题意画出正确的示意图，这是最关键的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用跟踪探究4.某沿海四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中ABC60，BCD135，AB80 n mile，BC(4030)n mile，AD70 n mile，D位于A的北偏东75方向现在有一艘轮船从A出发沿直线航行，一段时间到达D后，轮船收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方

11、位角是南偏西，则sin _.解析：连接AC(图略)，在ABC中，根据余弦定理得AC2802(4030)2280(4030)cos 60，解得AC50(n mile)再根据正弦定理，得sinACB，则cosACB，于是sin(135ACB).在ACD中，根据正弦定理，得sin D，所以D30，因此根据题意，753045，所以sin .答案：授课提示：对应学生用书第11页课后小结测量高度时常见的三种数学模型及其特征(1)有以下三种数学模型底部可到达底部不可到达解直角三角形解直角三角形解一般三角形(2)特征底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中

12、两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面此类问题中观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”(3)解三角形应用题的方法步骤解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所求三角形的边角的大小，从而得出实际问题的解这种数学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：素养培优方程、不等式思想在三角形实际应用中的展现据气象台预报，距S岛正东方向300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响，问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由解析：设台风中心经过t小时到达B点，由题意，SAB903060，在SAB中，SA