数列大题专题训练)

1、数列大题专题训练1.已知数列 an、 bn满足：a- ,an bn = 1,bn d.41 -a.(1) 求 b-,b2,b3,b4；(2) 求数列 bn的通项公式；(3)设 Sn = a2 玄2玄3 玄3玄4 . a.an 1 ， 求实数a为何值时4aSn bn恒成立.2.在平面直角坐标系中，已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(nN*)，满足向量AAn1与向量BnCn共线，且点Bn(n,g) (n，N*)都在斜率6的同一条直线上(1) 试用a1,b1与n来表示an;(2) 设a1 = a, d = -a，且12 ： a辽15，求数an中的最小值的项3.在公差为d (0

2、)的等差数列an和公比为q的等比数列bn中，已知a1=b1=1 , a2=b2, a8=b3.(1 )求数列an与b n的通项公式；(2)令cn = an bn，求数列cn的前n项和Tn.=3t4、在数列an中，a1 =1,其前n项和Sn满足关系式 3tS(2t 30=(t 0,n -2,3,)(1) 求证：数列an是等比数列；1(2) 设数列an得公比为 f(t),作数列bn,使 bi =1,bn 二 f( ),n =(2,3-),求 bbn_1(3) 求 bib2 - b2b3 b3b4 - b4 b5b2nJb2n b2nb2n 1 的值。5 设数列an的前n项和为Sn,且Sn =(1)

3、 - a,其中，=-1,0 ；(1 )证明：数列an是等比数列；1水(2)设数列an的公比 q = f (),数列bn满足b1 二？,bn 二 f (bnj)(n N*,n _ 2)求数列bn的通项公式；6. 已知定义在 R上的单调函数 y=f(x)，当x1，且对任意的实数 x、y R,有f(x+y)= f(x)f(y),(I)求f(0)，并写出适合条件的函数f(x )的一个解析式；1(n)数列an满足 a1=f(0)且f(an 1)(n N*),f(-2-a.)求通项公式an的表达式；1 a令 bn=(?)n,Snb1b2bn, Tna a 2a 2 a31an a n 1试比较S与4Tn的

4、大小，并加以证明31 2 137. 设Sn是正项数列an的前n项和，且Sn =an + 3n ,424(I)求数列an的通项公式；(n)已知 bn =2n,求Tn Ha！ a?b2 abn的值2 1&已知二次函数f(x)二ax bx满足条件：f(0) = f(1)；f(x)的最小值为.8(1) 求函数f (x)的解析式；f4f(n)(2) 设数列an的前n项积为Tn,且Tn = | ,求数列a.的通项公式；5J(3) 在的条件下，若5f (an)是bn与an的等差中项，试问数列bn中第几项的值最小？ 求出这个最小值。9、设等差数列an的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.(1 )若a11

5、=0,S14=98，求数列 an的通项公式；(2) 在(1)的条件下求Sn的表达式并求出Sn取最大值时n的值(3) 若a1 6, an 0, Sw 77,求所有可能的数列an的通项公式10、设%是公比大于 1的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知 S3 =7，且ai - 3, 3a2, a34构成等差数列.(I)求数列an的通项公式.(n)令 bn =ln a?. i, n =1,2,|(,求数列 g 的前 n 项和.11已知等比数列an中，a2,a3,a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且ai =64,公比 q = 1(I) 求 an；(n)设bn = log 2 an，求数列|

6、 bn|的前n项和T.12、已知 f (x) = log m x (m 为常数，m0 且 m = 1)设f(aj, f ), , f丽(n N )是首项为4，公差为2的等差数列.(I)求证：数列an是等比数列；(n)若bn=an f (an)，且数列bn的前n项和Sn,当 m2 时，求Sn；(川)若Cn= an lg an，问是否存在 m，使得cn中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.13.已知数列an的前n项和为Sn,且满足11a1,an 2SnSnJ =0( n _ 2) (i)判断一是否为等差数列？并证明你的结论;2Sn(H)求Sn 和an(川)求证：S2S

7、；S；乞1 一丄.2 4n14.已知数列an满足 an =2an2n -1(n 2),且a 5.a + Z(l)若存在一个实数,使得数列亠 为等差数列，请求出的值2(II )在(I)的条件下，求出数列 an的前n项和Sn.15.设数列 an的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an, n =1, 2, 3，. (I)求数列 an的通项公式；(n )若数列 bn满足b1=1，且bn 1二bn an，求数列 bn的通项公式; (川)设Cn = n(3 -bn)，求数列 Cn的前n项和Tn.参考答案bn12 - bnbn0(2七)5( 1)心46 一 7-5 - 6-4 - 5-63 一 4-,bh丄，

8、4-a1-bnn-12 b-+1bn1数列 是以一4为首项，一1为公差的等差数列 bn -1-4 -(n -1) - -n -3二 bnn4(n 4)1 1Sn =玄1玄2 3233n3n 1 二4 汇55 汉6 (n +3)(n+4)24asb_ an n2_(a-1)n(3a-6)n-8nn n 4 n3(n3)( n 4)由条件可知(a_1n + (a3 n)恒8成0立即可满足条件设2f(n) =(a -1)n3(a -2)n -8a = 1时，f (n) = -3n -8 ：0恒成立,a1时，由二次函数的性质知不可能成ai时，对称轴弓a丰-沽土厂0f(n)在(y,1为单调递减函数.f

9、(1) =(a -1)n2 (3a -6) n -8 =(a 一1) (3a -6) -8 =4a -15 ： 015.a. a1 时 4aSn ： b 恒成立4综上知：a 1时，4aSn 1 =a代入上式，2得 an = a - a(n -1)3(n -1)(n - 2) = 3n -(9 a)n 62a.12 : a 15, 7 ： 4，2 613分当n=4时，an取最小值，最小值为 a4 =182a.3.解：(1)由条件得:1 +d =q：1 +7d =q2_an = 5n - 4, bn = 6心(2)Tn = C1C2 C3 -Cn二玄袒 a?b2 asb3anbnanbn- 5Tn

10、=1561-5-(5n -4)6n=a2a?b3 *3匕4a./bnanbn 1：(1q)Tn 二aM1 db2 dbdbn dbn ab 1 二ab db2(1_q)七曲1q=(n - 1)6n 1 14 分4.解:(1)由已知 3tSn -(2t - 3)Sn4 =3t，即有2t +33t (a1a2) _ (2t 3)a = 3t 由 a1 = 1 解得 a?:3t所以a22t 3a13t当n _ 2时，有3tSn+1 -(2t3)Sn =3t3tSn -(2t3)Sn=3t得3ta n + 1 - (2t 3)an = 0an i _ 2t 3an 3t综上所述，知色=迤3 n _1a

11、n 3t因此an是等比数列；2t +3(2)由(1)知 f(t) =3t123则使b1 =1,bn 二一气2 bn3 3bn 42所以 bn bn二n =(2,3/ )21因此，bn是等差数列，且 th =1,bn 二 b (n- 1)d n3 3(3) Db2 -b2ba bgb4 -b4b5 b2n/b2n b2nb2n 1b2n) 一5 4n 1 n(3=b2(b1 -b3)b4(b3-b5)b2n(b2nv b 1 )4=(b2 b438 2 = n n935解：（1）由 Sn 二（1 ）一 an = Sn_, = （1 ）一乜心（n - 2）a儿相减得：an - -an an4, n

12、(n - 2),.数列a.是等比数列a1+九扎bn11(2) f ( 1 ). , 51 ,1+ 丸1估二bng 二.丄是首项为 丄=2,公差为1的等差数列=2 （ n 1） = n 1 bnDbnbn（3）时（2宀 Cnn（H）f ,11 1Tn =1 2(2)3(才2n(-)nJ2Tn =(1)Ng)2 酹)3n(n得：11、 J、2 八、3J、nJ、n2Tn 二1（2）（2 （2）（2 _n（2），1Tn（2）G）2（1）3E）n n（n vG门一 n（）n ,所以:1 1Tn =4(1-(2门-2 n(?)n14分6. 解：(I)由题意，令 y=0 , x0，得 f(x)1 f(0)=

13、0 , x1. 1 f(0)=0. f(0)=1. 2 分1 x适合题意的f(x)的一个解析式为f(x)=( ) 4分(II 由递推关系知f(an+1) f( 2 an)=1，即 f(an+1 2 aj=f(O).*八/ f(x)的 R 上单调， an+1 an=2 , (n N), 6 分又 a1=1，故 an=2 n 1. 7 分 bn=()an =(丄)2n,Sn = b1 + b2+bn=丄+( 1 )+ +( 1 f12 2 2 2 2知(扩2 21 )2Tn丄a a 27)-a2a3-a n an 1+丄2n -111+ + +1 3 3 5(2n -1)(2n 1)111)(1

14、)2 2n 12n 1Sn= fTnI-13心112113)=( )=2n 13 2n 1 4n24n -(2n1)(2n1) 4n4欲比较Sn与Tn的大小，只需比较 4n与2n+1的大小.3由=1 , 2, 3 代入可知 4n2n+1，猜想 4n2n+1. 10分下用数学归纳法证明1(i) 当 n=1 时，4 2X 1+1 成立(ii) 假设当n=k时命题成立，即4k2k+1当 n=k+1 时，4k+1=4 X 4k4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+12(k+1)+1，说明当n=k+1时命题也成立.由(i) (ii)可知，4n2n+1对于n N*都成立4故 Sn Tn 12分

15、3注：证明4n2n+1，除用数学归纳法证明以外，还可用其它方法证明，如：4n=(1+3)n=1+cn 3 c2 32cn 3n _1 3n 2n 1.1 2 137. 解(I)当 n = 1 时，at = $a1a1,解出 a1 = 3 , 1分4 24又 4sn = a n + 2a n 3当 n _2 时 4sn1 = an j + 2a n-1 32 2 2 2一 4an =an a - 2(aanJ),即 aanj -2(an - a.)=03分 (anan)(an -an- 2) = 0 , an an0 an - an=2 ( n 2)5分.数列an是以3为首项，2为公差的等差数列

16、.a3 2( n- 1)=2 nJ -7分(n) Tn=321522 山 (2n，1) 2n又 2Tn=322523W (2n -1) 2n - (2n1)2n19 分- Tn 二-3 21 -2(22 232n) (2n 1)2n 1 11 分=-6 8 -2 2n 1 (2n 1) 2n 1 13 分-(2n - 1)2n 12 14 分&解:(1)由题知:a b =0勺0b2 _ 1.4a 一 81a1 21,解得 2,故 f (x) x x b12 2b 二L2n2 -r(n J)2 Jnl): 2Tn j aia2 H f an J = l5丿(n -2),(n-2).anTn4Tn

17、 15n A(n N ).又ai =T| =1满足上式.所以4an :15丿1 2123 2从而 10(；anan)二bn an， 得d =5an -6an=5(an)-2 25=4nl5-3，即 n510分因为an当an(n N )是n的减函数，所以3(nN”)时，bn随n的增大而减小，此时最小值为ba；-4( n N ”)时，bn随n的增大而增大，此时最小值为b4.12分33aV6,知0, S14W 77 得:务 一6(1)y+10d：0(2)3分4分6分8分9分10分 若5f (an)是bn与an的等差中项，则2 5f (anHbn an,+91d 兰77 (3)(2) ( -14)得:

18、 -14a1 -140d0(4)(4)(3)得:d117(5)- (3)得:d -9112分(1) (-14)得:-14耳84(5):d Z,. d =T代入(2)、( 3)得：a1 10 1 0 : a1 -1214a1687a Z,. a1 =11 或 12.an =12 -n或 an =13 -n14分10解：（I）由已知得(ai 3) 3 4) 2=3a?.aa2a3 =7,设数列an的公比为q，由a： =2，可得& = 2, a2q . 4分q2又 S3 = 7，可知2 2q = 7 ,q即 2q2 _5q 2=0,1解得 q7) 212分12、解：(I)由题意 f (an) = 4

19、 2(n -1) = 2n 2, 即 logm an = 2n 2,二 m2n 2an 12(n 1) 2an2n 2 m/ m0且m1，二m2为非零常数，二数列an是以m4为首项，m2为公比的等比数列(n)由题意 bn 二 an f (an)二 m2n 2 log m m2n 2 = (2n 2) m2n 2 ,当 m = J2时，bn =(2n 2) 2n 1 = (n 1) 2n 2二 Sn= 22332442(n1)2n26 分 式两端同乘以2，得2Sn =2 243 25 4 26 n 2n 2 (n 1) 2n3 7 分 并整理，得Sn 八2 23 - 24 - 25 -26 -2

20、n 2 (n 1) 2n 3二 -23 -23 亠 24 亠 25 亠 亠 2n 2亠(n 亠 1) 2n 3 七一牡1)严1-2二-2323(1 2n) (n 1) 2n 3= 2n3 n10 分(川)由题意Cn=anlgan=(2 n+2)m2nlgm要使cn：cn对一切n 一 2成立,2n lgm：( n 1) m lg m 对一切 n_2 成立,当m1 时，n：(n 1)m2对n _ 2成立;12当0m1 时，n (n 1)m22m2对一切n _ 2成立，只需1 -m2m2： 2 ,1m解得:6、6m ：,33考虑到0m1 ,V6-0m.3综上，当0m13时,数列5 中每一项恒小于它后

21、面的项1413.解证：(I)S1 a1 -2丄=2S1an = Sn - Sn 4即 Sn - Sn 4 = 2Sn Sn 41 1SnSn J1=2故丄是以2为首项，以2为公差的等差数列.Sn(n)由(I)得丄=2 (n -1) 2=2n,SnSn2n当n 2时，an2n(n _1)(n =1)当n=1时，厲三an2心严2)(川)1当n=1时，S12 = 1 = 1成立4241 12假设n=k时，不等式成立，即S|2Sf. S|f -成立2 4k则当 n=k+1 时，s； +S； +. +s： +s 冷讣 +42 2111 111 k2 k 111 k2 k 1124 k (k 1)224

22、k(k 1)224 k(k 1)24(k 1)即当n=k+1时，不等式成立由1 , 2可知对任意 n N不等式成立.2 2 2 1 1 1 1(川)另证：S1S，. Sn = -22 - 七4(14 4汇24x34xn十(n _ 1)nn -11 14n14.解：（1）假设存在实数，符合题意,则弐寸-3nJnJ 必为与n无关的常数。2n2n -13门+丸 3门二+九 玄门一2an一丸 21 扎1 +九丁=1 nn -1nnn ，2 2 2 2 2要使aL厂-色是与n无关的常数，则厂=0,得 一1.2n2n -12故存在实数a +丸-1 .使得数列为等差数列.(II )由(1）可得2nan 1 an12n4= 1,. d =1,且首项为2-=2.22n=2 (n -1) = n 1,. an=(n 1)2n 1(n N )令bn =（n