2018江苏高考数学试题与答案

1、个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途2018 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷 本试题卷分为非选择题 ( 第 1 题第 20 题，共 20 题本卷满分为 160 分，考试时间为120 分钟参考公式：(1 样本数据 x1，x2， xn 的方差 s2 1 n( xix)2 ，其中n i 11nxxi .n i 1(2 直棱柱的侧面积Sch，其中 c 为底面周长， h 为高(3 棱柱的体积 VSh，其中 S 为底面积， h 为高一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1已知集合 A 1，1，2，4 ，B 1，0，2 ，则 AB_.2函数 f(x log5(

2、2x 1的单调增区间是 _3设复数 z 满足 i(z 1 32i(i 为虚数单位 ，则 z 的实部是 _4根据如图所示的伪代码，当输入 a，b 分别为 2，3 时，最后输出的 m的值为 _5从 1，2，3，4 这四个数中一次随机地取两个数则其中一个数是另一个数的两倍的概率是_SjkbsIFcn16某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2_.SjkbsIFcn17已知 tan(x) ，则 tan x的值为 _42tan 2 x1 / 13个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途8在平面直角坐标系 xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数 f ( x)

3、2 的图象交于 P，Q两点，则线段 PQ长的最小值是x_SjkbsIFcn19函数 f(x Asin( x (A， 为常数， A0，0的部分图象如图所示，则 f(0 的值是 _SjkbsIFcn110已知 e1，e2 是夹角为 2的两个单位向量， ae12e2，b3ke1e2，若 ab0，则实数 k 的值为 _SjkbsIFcn111已知实数 a0，函数 f (x)=2xa, x1,x2a, x1.若 f(1 af(1 a，则 a 的值为 _12在平面直角坐标系 xOy中，已知 P是函数 f(x ex(x 0的图象上的动点，该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M.过点 P 作l 的垂

4、线交 y 轴于点 N.设线段 MN的中点的纵坐标为 t ，则 t 的最大值是 _SjkbsIFcn113设 1a1a2 a7，其中 a1，a3，a5，a7 成公比为 q的等比数列， a2， a4，a6 成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是_SjkbsIFcn114设集合 A(x ，y| m (x 22y2m2，x，yR，B2 (x ，y|2mxy2m1，x，yR，若 AB ，则实数 m的取值范围是 _SjkbsIFcn1二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，C2 / 13个人收集整理资

5、料，仅供交流学习，勿作商业用途(1 若 sin( A) 2cos A ，求 A 的值；6(2 若 cos A1 ，b3c，求 sin C 的值316如图，在四棱锥 PABCD中，平面 PAD平面 ABCD，ABAD， BAD60， E、F 分别是 AP、AD的中点 SjkbsIFcn1求证： (1 直线 EF平面 PCD；(2 平面 BEF平面 PAD17请你设计一个包装盒如图所示， ABCD是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 E ，F 在 AB上，是被切

6、去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设 AEFBx(cmSjkbsIFcn1(1 某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2最大，试问 x 应取何值？3 / 13个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途(2 某厂商要求包装盒的容积V(cm3最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值18如图，在平面直角坐标系xOy中， M，N分别是椭圆x2y2=1 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A 两点，其中点 P42在第一象限过 P作 x 轴的垂线，垂足为 C连结 AC，并延长交椭圆于点 B设直线 PA的斜率为 k.SjkbsIFcn1(1 若直线 PA平分线段 MN，求 k 的值；(

7、2 当 k2 时，求点 P到直线 AB的距离 d；(3 对任意的 k0，求证： PAPB19已知 a，b 是实数，函数 f(x x3ax，g(x x2bx，f (x 和 g(x 分别是 f(x 和 g(x 的导函数若f (xg (x 0在区间 I 上恒成立，则称f(x 和 g(x 在区间 I 上单调性一致 SjkbsIFcn1(1 设 a0，若 f(x 和 g(x 在区间 1， 上单调性一致，求 b 的取值范围；(2 设 a0 且 aB若 f(x 和 g(x 在以 a，b 为端点的开区间上单调性一致，求 |a b| 的最大值 SjkbsIFcn120设 M为部分正整数组成的集合，数列an 的首

8、项 a11，前 n 项的和为 S n，已知对任意的整数 kM，当整数 nk 时， SnkSnk2(Sn Sk都成立 SjkbsIFcn1(1 设 M1 ，a22，求 a5 的值；(2 设 M3 ，4 ，求数列 an 的通项公式21A选修 41：几何证明选讲如图，圆 O1与圆 O2内切于点 A，其半径分别为 r1 与 r2(r1 r2 4 / 13个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途圆 O1的弦 AB交圆 O2于点 C(O1不在 AB上求证： ABAC为定值B选修 42：矩阵与变换已知矩阵 A 11 ，向量 211 ，求向量 ，使得 A2 .2C选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标

9、系xOy 中，求过椭圆x5cos( 为参数 的y3sin右焦点，且与直线x42t (t 为参数 平行的直线的普通方y3t程 SjkbsIFcn1D选修 45：不等式选讲解不等式 x|2x 1| 3.5 / 13个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途22如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中， AA12，AB1，点 N是 BC的中点，点 M在 CC1上设二面角 A1DNM的大小为 .SjkbsIFcn1(1 当 90时，求 AM的长；(2 当 cos66时，求 CM的长23设整数 n4，P(a，b是平面直角坐标系xOy 中的点，其中 a，b1 ，2，3， n ，aBSjkbsIFcn1

10、(1 记 An为满足 ab3 的点 P的个数，求 An； (2 记 Bn为满足 1 (a b) 是整数的点 P 的个数，求 Bn.3参考答案1答案： 1，22答案： (1 ， 23答案： 14答案： 35答案： 16答案：7答案：3165498答案： 49答案：6210答案： 5 .411答案：3412答案： e2 +12e13答案： 3 314答案： 1 ，2 2 215解： (1 由题设知 sinAcos +cosAsin2cos A 从而 sinA 663 cos A ，cos A 0，所以 tan A 3 . 因为 0A，所以 A.SjkbsIFcn136 / 13个人收集整理资料，仅

11、供交流学习，勿作商业用途(2 由 cos A 1 ，b3c 及 a2b2c22bccos A ，得 a2b23 c2.故 ABC是直角三角形，且B. 所以 sin C cos A 1 .2316证明： (1 在 PAD中，因为 E，F 分别为 AP，AD的中点，所以 EFPD又因为 EF 平面 PCD，PD? 平面 PCD所以直线 EF平面 PCD(2 连结 BD因为 ABAD， BAD60，所以 ABD为正三角形因为 F 是 AD的中点，所以 BFAD因为平面 PAD平面ABCD，BF? 平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，所以 BF平面PADSjkbsIFcn1又因为 BF?

12、平面 BEF，所以平面 BEF平面 PAD17解：设包装盒的高为h(cm，底面边长为 a(cm由已知得a602x2(30 x) ， 30.2x ， h20 x(1S4ah8x(30 x 8(x 1521 800 ，所以当 x15 时，S 取得最大值(2Va2h 2 2( x3 +30x2），V 6 2x(20x) 由 V 0 得 x0( 舍或 x20.当 x(0 ，20时， V 0；当 x(20 ，30时， V 0.所以当 x20 时，V 取得极大值，也是最大值此时 h= 1. 即包装盒的高与底面边长的比值为1 .a227 / 13个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途18. 解： (1

13、 由题设知， a 2， b= 2 ，故 M(2，0，N(0，2 ，所以线段 MN中点的坐标为 ( 1，2 由于直线 PA平分2线段 MN，故直线 PA过线段 MN的中点，又直线 PA过坐标原点，所22 .SjkbsIFcn1以 k = 212(2 直线 PA的方程为 y2x，代入椭圆方程得x2+ 4 x2=1 ，解得 x2 ，因此P(2， 4 ，A(2， 4 于是42333330+ 4C( 2 ，0，直线 AC的斜率为3，故直线 AB的方程为 x y2=0.32+2=1333242因此， d 333 22 .12 +123(3 解法一：将直线 PA的方程 ykx 代入 x2+ y2=1 ，解得

14、 x4221+2k 22. 记 1+2k 2，则 P(， k，A(， k于是C(，0故直线 AB的斜率为0+kkk）代+2，其方程为 y （ x2入椭圆方程得 (2 k2x22k2x 2(3k2 20，解得 x3k2k22 或 x . 因此 B(3k222 ，k32 SjkbsIFcn122 k2 k8 / 13个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途k 3于是直线 PB的斜率 k12 k 2kk3k 2 k 213k223k22 2 k2k2k 2. 因此 k1k 1，所以 PAPB解法二：设 P(x1，y1，B(x2，y2，则 x10，x20，x1x2，A(x1， y1，C(x1，0设

15、直线 PB，AB的斜率分别为k1，k2. 因为 C在直线 AB上，所以 k2 0y1 y1 x1x12x1k .SjkbsIFcn12从而 k1k12k1k212 y2y1 y2( y1 ) 1x2x1x2( x1 )2y222y12x2 22y22x122y1222 122x2x1x2x144 x22x120. 因此 k1k 1，所以 PAPB19解： f (x 3x2a， g(x 2x B(1 由题意知 f (xg (x 0 在 1， 上恒成立因为a0，故 3x2a0，进而 2xb0，即 b2x 在区间 1， 上恒成立，所以 b2. 因此 b 的取值范围是 2 ， SjkbsIFcn1(2

16、 令 f (x 0，解得 xa .3若 b0，由0，所以函数 f(x b0.SjkbsIFcn1a0 得 0(a ，b又因为 f (0g (0 ab和 g(x 在(a ， b上单调性不一致因此现设 b0. 当 x( ， 0时， g(x 0；当 x( ，a 时， f (x 0. 因此，当 x( ，a 时，3a 且 31 f (xg (x 0. 故由题设得 aa ，从而b3a0，于是1 1330.因此|ab|，且当 a1 ， 0时等号成b3b33立 SjkbsIFcn1又当 a13，b0 时， f (xg (x 6x(x21 ，从而当9x( 1，时(xg(x，故函数f(x和g(x在(1 ，上30

17、f030单调性一致因此 |a b| 的最大值为 1.SjkbsIFcn139 / 13个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途20解： (1 由题设知，当 n2 时， Sn 1Sn12(SnS1，即 (Sn1Sn(SnSn 12S1.从而 an1an2a12. 又 a22. 故当 n2 时， ana22(n 22n2.所以 a5 的值为 8.(2 由题设知，当 kM3 ，4 且 nk 时， SnkSnk2Sn2Sk 且 Sn1kSn1k2Sn12Sk，两式相减得 an1kan1k 2an1，即 an1kan 1an1an 1k.所以当 n8 时， an6，an3，an，an3，an6 成等

18、差数列，且 an6，an2，an2，an6 也成等差数列 SjkbsIFcn1 从而当 n8 时， 2anan 3an3an6an6，(*且 an6an6an2an2，所以当 n8 时， 2anan2an2，即 an2ananan2，于是当 n9 时， an3，an1，an1，an 3 成等差数列，从而 an3an3an1an1，故由 (* 式知 2anan1an1，即 an 1ananan1，当 n9 时，设 danan1.SjkbsIFcn1当 2m8 时， m68，从而由 (* 式知 2am6amam12，故 2am7am1am13.SjkbsIFcn1从而 2(am7am6am1am(

19、am13am12，于是am1am2ddDSjkbsIFcn1因此， an1and 对任意 n2 都成立又由 SnkSnk 2Sn2Sk(k 3 ，4 可知 (Sn kSn(Sn Snk2Sk，故9d2S3 且 16d2S4.解得 a47 d ，从而 a23 d ， a1d222. 因此，数列an 为等差数列由 a11 知 d2.SjkbsIFcn1所以数列 an 的通项公式为 an2n1.21选做题A选修 41：几何证明选讲10 / 13个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途证明：连结 AO1，并延长分别交两圆于点 E 和点 D连结 BD，CE.因为圆 O1与圆 O2内切于点 A，所以点

20、 O2在 AD上故 AD，AE分别为圆 O1，圆 O2的直径 SjkbsIFcn1从而 ABD ACE.2所以BDCE，于是 AB AD 2r1 r1 .ACAE2r2r2所以 ABAC为定值B选修 42：矩阵与变换解： A2 1111 32 .212143设 x . 由 A2，得 32x 1，从而 3x2y1,y43y24x3y2.解得 x 1，y2，所以 1 .2C选修 44：坐标系与参数方程解：由题设知，椭圆的长半轴长a5，短半轴长 b3，从而 c a2 b2 4，所以右焦点为 (4 ，0将已知直线的参数方程化为普通方程： x2y20.SjkbsIFcn1故所求直线的斜率为1 ，因此其方

21、程为 y 1 ( x 4) ，即 x2y422 0.D选修 45：不等式选讲解：原不等式可化为2 x1 0或 2x1 0x(2 x 1)3x(2 x 1) 3解得 1x4 或 2 x1 .23211 / 13个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途所以原不等式的解集是 x | 2 x4 322解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 设 CMt(0 t 2，则各点的坐标为A(1，0，0，A1(1，0，2，N( 1 ，uuur2uuuur1，0，M(0，1，t 所以 DN (1 ，1，0， DM (0 ，1，t ，uuuur2DA1 (1 ，0，2设平面 DMN的法向量为 n1(x1 ，y1，z1，则uuuruuuurn1 DN 0，n1 DM 0. 即 x12y10，y1tz1 0，令 z11，则 y1 t ，x12t. 所以 n1(2t， t ，1是平面 DMN的一个法向量 SjkbsIFcn1uuuur设平面