38知识讲解_简单的逻辑联结词_提高

1、【学习目标】简单的逻辑联结词1.了解逻辑联结词或”、且”、2.会用逻辑联结词或”、且”、非”的含义；非”联结两个命题或改写某些数学命题，并判断命题的真假.且”【要点梳理】要点一、逻辑联结词一般地，用逻辑联结词 且”把命题P和q联结起来得到一个新命题，记作：P q，读作：“p且q ”。P q是假命题;P q是真命题。规定：当P , q两命题有一个命题是假命题时, 当P , q两命题都是真命题时， 要点诠释：P q的真假判定的理解:(1) 与物理中的电路类比我们可以从串联电路理解联结词且”的含义。若开关P, q的闭合与断开分别对应命题 P, q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题pA q的

2、真与假。(2) 与集合中的交集类比交集 AI B x|xA且x B中的 且”与逻辑联结词的 且”含义一样，理解时可参考交集的概念。要点二、逻辑联结词一般地，用逻辑联结词或”或”把命题P和q联结起来得到一个新命题，记作： P q ,读作：“P或q ”。规定：当P , q两命题有一个命题是真命题时，P q是真命题;当P , q两命题都是假命题时，P q是假命题。要点诠释：P q的真假判定的理解:(1) 与物理中的电路类比我们可以从并联电路理解联结词或”的含义。若开关P，q的闭合与断开对应命题的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题 的pV q的真与假。(2)与集合中的并集类比并集AUB x|x

3、 A或x B中的 或”与逻辑联结词的 或”含义一样，理解时可参考并集的概念。(3)或”有三层含义，以 “咸q”为例: P成立且q不成立; P不成立但q成立; P成立且q也成立。要点三、逻辑联结词一般地，对一个命题 P全盘否定得到一个新命题，记作:非”P，读作：非P或P的否定”。规定：当P是真命题时，P必定是假命题;当P是假命题时，P必定是真命题。要点诠释:(1)逻辑联结词中的 非”相当于集合中补集的概念，谈到补集必然要说全集， 谈论 非”时也应该弄清这件事是在一个什么样的范围中研究。(2)下面是一些常用词的否定:是等于属于有都是至少一个至多 一个一定x=1 或 x=2x1 且 XV3不是不等于

4、不属于没有不都是一个 都没 有至少两个一定不xMl且 xM2xWl或 x3(3)否命题与命题的否定之间的区别:否命题是对原命题的条件和结论分别做否定后得到的命题(否定二次)；命题的否定是只对原命题的结论做否定(否定一次)，即 P.如:命题P :若 x 1，则(X 1)(x 1)命题P的否命题：若X 1，则(X1)(x 1)0 .命题P的否定即P：若X 1，则(X 1)(x 1) 0 (4) 或”、且”联结的命题的否定形式:“戯q”的否定“诅q”的否定要点四、简单命题与复合命题(1)定义:简单命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题。复合命题：由简单命题与逻辑联结词或”、且”、非”构成的命题叫做复合

5、命题。(2) 复合命题的构成形式： P或q;记作： P q P且q;记作：P q 非P (即命题P的否定)；记作:(3) 复合命题的真假判断PqPP qP q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假要点诠释:当P、q同时为假时，“咸q”为假，其它情况时为真，可简称为一真必真”;同时为真时，“直q”为真，其它情况时为假，可简称为 当P、q 非P”与P的真假相反.一假必假”【典型例题】类型一：复合命题的构成分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题。(1)李明是老师，赵山也是老师;(2)1是合数或质数；(3)他是运动员兼教练员；【解析】1)这个命题是2)这个命题是3)这个命题是“P且q ”形式，其

6、中P：李明是老师，q：赵山是老师。P 或 q ”形式，其中 P： 1 是合数， q： 1 是质数。“P且q ”形式，其中P：他是运动员，q：他是教练员。总结升华】正确理解逻辑联结词 “或”、 “且”、 “非”的含义是解题的关键。根据上述各 复合命题中出现的逻辑联结词或语句的意义确定复合命题的形式。举一反三：高清课堂： 简单的逻辑联结词 395484例 1】变式 1】例 1 将下列各组命题用“且”联结组成新命题：p：平行四边形的对角线互相平分，平行四边形的对角线相等；p：集合A 是 AI B 的子集，集合A是AUB的子集;p：x2q答案】34.(1) P A q：平行四边形的对角线互相平分且相等

7、；(2) pAq：集合A是AI B的子集，且是 AU B的子集;23) PA q： x2 1 1 ，且 34.变式 2】判断下列复合命题的形式，写出构成其的简单命题1) 1 是奇数或偶数;2) 梯形不是平行四边形;3) 2 是偶数也是质数 .答案】(1) P或q的形式，其中P ： 1是奇数，q ： 1是偶数;(2) 非P的形式，其中P :梯形是平行四边形；(3) P且q的形式，其中P : 2是偶数，q : 2是质数。例 2.判断下列命题中是否含有逻辑联结词或”、且”、“非”，若含有，请指出其中p、q的基本命题 .正方形的对角线垂直相等;2是 4和 6的约数;不等式 x2 5x 6 0 的解为

8、x解析】(1)是“ P且q ”形式的命题,其中P:正方形的对角线互相垂直；q：正方形的对角线相等 .2)是 “P 且 q ”形式的命题，其中 P：2是4的约数；q : 2是6的约数.3)是简单命题,而不是用“或 ”联结的复合命题总结升华】对于用逻辑联结词 “或”、“且 ”、“非”联结的新命题的结构特点不能仅从字 面上看它是否含有 “或”、“且”、“非 ”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结 词联结两个命题 .举一反三：变式】分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题。4)5)6)李明是老师,赵山也是老师；1 是合数或质数；他是运动员兼教练员；答案】1)这个命题是2)这个命题是3)这

9、个命题是“P且q ”形式，其中“P或q ”形式，其中P 且 q ”形式,其中P：李明是老师，q：赵山是老师。 p： 1 是合数, q： 1 是质数。P：他是运动员，q：他是教练员。(1)(2)(3)p：1 1,2, q：1 u 1,2例 3分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题,并指出复合命题的真假(1) 8 或 6 是 30的约数(2) 矩形的对角线互相垂直平分(3) 方程 x2+x+1=0 无实根【解析】或q”形式.p: 8 是 30 的约数, q: 6是 30 的约数,/ p假q真，.该复合命题为真.“且q”形式.P：矩形的对角线互相垂直，q:矩形的对角线互相平分,/ P假q真，.

10、该复合命题为假.非P”形式.P: 方程 x2+x+1=0 有实根, P假，.该复合命题为真.【总结升华】 先判断各简单命题的真假,再依据复合命题的构成形式写出复合命题, 最后判断复合命题的真假举一反三：【变式 1 】已知命题 p 、 q ,试写出 p 或 q 、 p 且 q 、非 p 的形式的命题并判断真假P :平行四边形的一组对边平行, q :平行四边形的一组对边相等p： 2 1,3,5,7 ，q： 2 2,4,6,8【答案】（1） p或q :平行四边形的一组对边平行或相等（真命题） P且q :平行四边形的一组对边平行且相等（真命题） 非 P :平行四边形的一组对边不平行（假命题） 。（2）

11、 p或 q : 2 1,3,5,7或 2 2,4,6,8，即 2 1,2,3,4,5,6,7,8（真命题）p 且 q : 21,3,5,7且 2 2,4,6,8（假命题）非 p: 21,3,5,7 （真命题）（3） P 或 q : 11,2或1 U 1,2（真命题）P 且 q : 1 1,2且1 U 1,2（真命题）非 p: 11,2（假命题）变式 2】已知命题 p 、 q ,写出P或q、P且q、非P的形式并判断真假。1） p:2x|x2 1,q:U x|x21.2） P:3 4, q:3 4答案】2（1） P 或 q :x|x22Ux|x2 1,即x|x2 1（真命题）,2p 且 q :x

12、| x 1且2Ux|x21（假命题）,非 P（ P）:x|x21 （真命题）,（2） P或q : 3 4或3 4，即3 4 （真命题），P且q : 3 4且3 4 （假命题），非 P （ P ）: 34 ,即 34 （假命题） .类型二:复合命题真假的判定例4.（2015辽宁）设a, b, c是非零向量，已知命题P：若a b = 0, be = 0,则a = 0；命题q：若a / b,b / G ,则a / c，则下列命题中真命题是（）A . PV qC.厂 P） AT q） 【答案】 B.B. pAqD . P V 厂 q）【解析】若a b = 0, be = 0，则a b = be，即(a

13、 c) b 0 ,则a c = 0不一定成立,故命题 p 为假命题，若a / b, b / c,，则a / c平行，故命题q为真命题，则pV q为真命题，pAq,厂p) Aq), pV厂q)都为假命题， 故选： A .【总结升华】 解答这类逻辑推理问题关键在于充分利用真值表进行分析，也就是由给出复合命题的真假情况， 利用真值表逆向思考， 从而推断出组成复合命题的简单命题的真值情况，再判断相关命题正确与否举一反三：高清课堂： 简单的逻辑联结词 395484 例 5】【变式1】已知命题P：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数,则下列命题为真命题的是(A) (?p) V q(B) P A

14、q(D (?p) A (?q)()C. pAqD . pAqx R,总有2x 0成立，即p为真命题, q 为假命题，(C) (?p)V(?q)【答案】 C【变式2】(2014 重庆)已知命题P：对任意x R，总有2x0; q： X 1 ”是“2” 的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是A . pAqB .p A q【解析】根据指数函数的性质可知，对任意X 1”是“ 2”的必要不充分条件，即 则pAq,为真命题， 故选： D .A 命题B 命题C.命题D .命题p 是真命题时，命题p q ”为真命题时， p q ”为假命题时， P 是假命题时，命题“p命题q ”一定是真命题 p 一定是真命题

15、p 一定是假命题q ”不一定是假命题【变式 3】以下判断中正确的是(1) p ：在整数范围内，a 、 b 都是偶数，则 a b 不是偶数(假命题) ；答案】类型三：命题的否定与否命题写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假p ：在整数范围内，a、b 都是偶数，则 a b 是偶数p ：若 x 0 且 y0，则 x y 0 .解析】P的否命题是：在整数范围内，若a、b不都是偶数，则 a b不是偶数（假命题）； P :若X 0且y 0,则X y0 （假命题）；P的否命题是：若x 0或y 0,则xy 0 （假命题）.【总结升华】X 0且y 0”的否定是X 0或y0 ”；“ a、b都是偶数”的否定为a、

16、b不都(1) P :若X20 ,则X, y全为零;(2) p :5，贝y X y 8.是偶数” 命题的否定和否命题是不一样的举一反三:【变式1】命题“ ABd直角三角形或等腰三角形的否定是【答案】 ABC既不是直角三角形，也不是等腰三角形.写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假【变式2】【答案】（1） P的否定:X2y20 ,则X , y不全为零（假命题）；P的否命题：若X20 ,则X,y不全为零（真命题）；（2） P的否定:X 3且y 5，则X y 8 （假命题）;P的否命题：若3或y 5，则X y 8 （假命题）.【变式3】X20 ”是指（填出符合条件的所有选项）A. X 0 且 y 0B. X 0或 y 0C.X ,y至少有一个不是 0D.X, y都不是0【答案】B、C、E. X ,y不都是0E；【解析】X2 y20是指X,y不同时为零，即X, y至少有一个不是0,亦即X,y不都类型四：复合命题的应用例6.已知命题P: X2 5x + 60;命题q： 0x4.若p是真命题，q是假命题，求实数 X 的取值范围.【解析】 由x2 5X+6A0得xA3或xc2.命题q为假， xWO或xA4.则x|xA3或 xc 2 nxW0或 x A4= x|x0或 x A4满足