第21讲 函数中三角形存在问题-2019年中考数学总复习巅峰冲刺28讲(原卷版)

1、2019年中考数学总复习巅峰冲刺专题21函数中三角形存在问题【难点突破】着眼思路，方法点拨,疑难突破；三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算主要思路为：由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；分类讨论，画图；建等式，对结果验证取舍对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为：从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形解决第一种情形能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观

2、察点的位置，考虑联立函数表达式求解分类讨论，类比解决其他情形分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题解题策略可以从以下几方面进行分析：直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线k值乘积为1；等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比

3、或勾股定理列方程有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别相交于点a、b、c，其坐标分别为a（3，0

4、），b（0，3），c（-1，0），直线y=kx+d经过a、b两点，点d为抛物线的顶点.（1）求此抛物线的解析式;（2）在x轴上是否存在点n使adn为直角三角形？若存在，确定点n的坐标；若不存在，请说明理由（3）是否存在点p,使以a,b,c,p为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由【原创2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+2x+c与x轴交于a（1，0），b（3，0）两点，与y轴交于点c，点d是该抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式和直线ac的解析式；（2）请在y轴上找一点，使bdm的周长最小，求出点m的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点p，使

5、以点a，p，c为顶点，ac为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由【典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三；【例题1】等腰三角形存在性问题如图，直线y3x3交x轴于点a，交y轴于点b，过a，b两点的抛物线交x轴于另一点c(3，0)(1)求点a，b的坐标(2)求抛物线对应的函数表达式(3)在抛物线的对称轴上是否存在点q，使abq是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点q的坐标；若不存在，请说明理由【例题2】直角三角形、全等三角形存在性问题如图，已知直线ykx6与抛物线yax2bxc相交于a，b两点，且点a(1，4)为抛物线的顶点，点b在x轴上(1)求抛

6、物线对应的函数表达式(2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点p，使pob与poc全等？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由(3)若点q是y轴上一点，且abq为直角三角形，求点q的坐标【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。1.如图，已知直线ykx6经过点a(1,4)，与x轴相交于点b若点q是y轴上一点，且abq为直角三角形，求点q的坐标2.已知抛物线c1的顶点为a(1，4)，与y轴的交点为d(0，3)，抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2.(1)求c2的解析式；(2)若c2与x轴正半轴交点记作b，试在x轴上求点，使pab为等腰三角形.3.如图1，在平面直角坐标系中，矩

7、形abco，抛物线yx2bxc经过矩形abco的顶点b(4，3)，a出发，沿线段ae以每秒13个单位长度的速度向终点e运动过点p作phoa，垂足为h,连结12c，d为bc的中点，直线ad与y轴交于e点，与抛物线交于第四象限的f点(1)求该抛物线解析式与f点坐标；(2)如图2，动点p从点c出发，沿线段cb以每秒1个单位长度的速度向终点b运动；同时，动点m从点2mp，mh.设点p的运动时间为t秒若pmh是等腰三角形，求出此时t的值4.如图，抛物线y=ax2+bx-4经过a（3，6），b（5，4）两点，与y轴交于点c，连接ab，ac，bc（1）求抛物线的表达式；（2）求证：ab平分cao；（3）抛物

8、线的对称轴上是否存在点m，使得dabm是以ab为直角边的直角三角形若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由5.如图，抛物线yax2bx6过点a(6，0)，b(4，6)，与y轴交于点c(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，直线l的解析式为yx，抛物线的对称轴与线段bc交于点p，过点p作直线l的垂线，垂足为点h，连接，求oph的面积；(3)把图1中的直线yx向下平移4个单位长度得到直线yx4，如图2，直线yx4与x轴交于点g，点p是四边形abco边上的一点，过点p分别作x轴，直线l的垂线，垂足分别为点e，f.是否存在点p，使得以p，e，f为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由6.如图1，抛物线yax2+bx+3交x轴于点a（1，0）和点b（3，0）（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点c，顶点为f，点d（2，3）在该抛物线上求四边形acfd的面积；点p是线段ab上的动点（点p不与点a、b重合），过点p作pqx轴交该抛物线于点q，连接aq、dq，当aqd是直角三角形时，求出所有满足条件的点q的坐标7.如图，在平面直角坐标系中，直