第六章第二节

1、第二节二元一次不等式(组 )及简单的线性规划问题1 一元二次不等式(组 )表示的平面区域不等式表示区域Ax By C 0Ax By C 0不等式组直线 Ax By C 0 某一侧不包括边界直线的所有点组成的平面区域包括边界直线各个不等式所表示平面区域的公共部分2 确定二元一次不等式(组 )表示的平面区域的方法步骤以上简称为“直线定界，特殊点定域”.3 简单的线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量 x， y 组成的不等式 (组 )线性约束由变量 x， y 组成的一次不等式(组 )条件目标函数关于 x， y 的函数解析式，如z 2x 3y 等线性目标关于 x， y 的一次函数解析式函数可行解满

2、足线性约束条件的解 (x， y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题问题1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1) 不等式 Ax By C0 表示的平面区域一定在直线Ax By C 0 的上方 ()(2) 线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(3) 线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上()(4) 在目标函数z ax by(b 0)中， z 的几何意义是直线ax by z 0 在 y 轴上的截距()答案 ： (1)(2) (3) (4)2不等式组x 3y 60，表示的平面区域是

3、()x y 2 0解析：选Cx 3y 60 所表示的平面区域内， 则 m 的取值范围是_解析： 点 (m,1)在不等式2x 3y 50 所表示的平面区域内， 2m 3 50，即m1.答案 ： (1， )x 1 0，若实数x，y满足约束条件xy 0，则 x 2y 的最大值为 _6xy 6 0，解析： 画出可行域如图中阴影部分所示，令zx 2y，可知 z x 2y 在点 A(1,1)处取得最大值 1.答案：1考点一二元一次不等式 (组 )表示的平面区域基础送分型考点 自主练透二元一次不等式 组 表示的平面区域问题，高考主要考查：1 求平面区域的面积； 2已知平面区域求参数的取值或范围，一般以选择题

4、、填空题出现，难度不大.(一 )直接考 求平面区域的面积2x y 6 0，1不等式组x y 3 0，表示的平面区域的面积为()y 2A 4C 5B 1D无穷大2x y 6 0，解析： 选 B不等式组x y 3 0，y 2表示的平面区域如图所示 (阴影部分 )， ABC 的面积即所求 求出点 A，B， C 的坐标分别为 A(1,2) ，B(2，2)，C(3,0) ，则 ABC 的1面积为 S (2 1) 2 1.x y 5 0，2不等式组y 2，所表示的平面区域的面积为_0 x 2解析：如图，平面区域为直角梯形，易得A(0,2) ，B(2,2)，C(2,7)，D (0，5)，所以 AD 3，AB

5、 2， BC 5.故所求区域的面积为S 12 (3 5) 2 8.答案：8题型技法 解决求平面区域面积问题的方法步骤(1) 画出不等式组表示的平面区域；(2) 判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解(三角形(二 )迁移考 根据平面区域满足的条件求参数x 1，3已知约束条件x y 4 0，表示面积为1 的直角三角形区域，则实数k 的值为kx y 0()A 1C 0B 1D 2解析：选A作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，要使阴影部分为直角三角形，当 k 0 时，此三角形的

6、面积为 13 3 9 1，所以不成立，22所以 k0，则必有BC AB，因为 x y 4 0 的斜率为 1，所以直线kx y 0 的斜率为1，即 k 1，故选 A.x y 0，2x y 2，4若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数 a 的取值范围是y 0，x y a()4B (0,1A.3，C.1，4D (0,14，33xy 0，解析：选 D不等式组2x y 2，表示的平面区域如图中阴影部y0分所示由 y x，得 A2，2，2x y 2，3 3y 0，得 B(1,0)由2x y 2，x y 0，若原不等式组2x y 2，x y a 中 a 的表示的平面区域是一个三角形，则直线y 0，x

7、y a4取值范围是00，1不等式组y0，所表示的平面区域内的整点个数为()2x y6A 2B 3C 4D 5解析：选C由不等式2x y6 得y0，y0，则当x 1 时， 0y4 ，则y 1,2,3，此时整点有 (1,1)，(1,2)，(1,3)；当 x 2 时， 0y0， y0的平面区域有公共点，则k 的取值范围为 ()3A 0， )B. 0，23D.3，C. 0，22解析： 选 C 画出不等式组表示的可行域如图中阴影(不含 x 轴 )部分所示，直线y k(x 1)过定点 M ( 1， 0)，xy 4 0，x 1，由解得过点 M (1， 0)与 A(1,3)的直线3x y 0，y 3，33的斜

8、率是 ，根据题意可知0k .227点 ( 2， t)在直线2x 3y 6 0 的上方，则 t 的取值范围是 _解析：因为直线 2x 3y 6 0 的上方区域可以用不等式2x 3y 6 0 表示，所以由点2( 2， t)在直线2x 3y6 0 的上方得 4 3t 6 0，解得 t3.答案：2，3xy 0，全国卷)若x，y满足约束条件x y 2 0，则 z 3x 4y 的最小值为8 (2017y0，_解析： 作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l： 3x 4y 0，平移直线 l，当直线 z 3x 4y 经过点 A(1,1)时， z 取得最小值，最小值为3 4 1.答案： 1x 1

9、0，则 y的最大值为 _若，满足约束条件x y 0，9x yxx y 4 0，解析： 作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， y是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1,3) 与x原点连线的斜率最大，故y的最大值为3.x答案： 3|x| |y| 1，10 (2018 安质检西 )若变量 x， y 满足则 2x y 的取值范围为 _ xy 0，解析： 作出满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线 2x y 0，经过点 A(1,0) 时， 2x y 取得最大值 2 10 2，经过点 B( 1,0)时， 2x y 取得最小值2 ( 1) 0 2，所以 2x

10、y 的取值范围为 2,2答案： 2,2B 级 中档题目练通抓牢1 (2018 安庆二模 )若实数 x， y 满足： |x| y1，则 x2 y2 2x 的最小值为 ()11A. 2B 222C. 2D.21解析：选 B 作出不等式 |x| y 1表示的可行域如图中阴影部分所示x2 y2 2x ( x 1)2 y2 1， (x 1)2 y2 表示可行域内的点 (x，y)到点 ( 1,0)距离的平方， 由图可知， (x 1)2 y2 的最小值为点 ( 1,0)到直线 y x 的距离的平方，即为2 2 1，所以 x2 y2 2x 的最小值为1 1 1.2222x y 0，则 z y 2的最小值为 (

11、)2(2018 石家庄质检 )若 x，y 满足约束条件x y 0，x2 y24，x 3A 2B23122 4C 5D.7解析：选C作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z y 2表示区域内的点与点P( 3,2)连线的斜x3率由图知当区域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小设切线方程为 y 2 k(x 3)，即 kx y 3k 20，则有 |3k 2| 2，k2 1解得 k 12或 k 0(舍去 )，所以 z 12，故选 C.5min53某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50 亩，投入资金不超过54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表每亩年每亩年种植每吨

12、产量成本售价黄4 吨1.2 万元0.55瓜万元韭6 吨0.9 万元0.3 万菜元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入 总种植成本 )最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积 (单位：亩 )分别为 ()A 50,0B 30,20C 20,30D 0,50解析：选 B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，则总利润 z 4 0.55x 6 0.3yx y 50， 1.2x 0.9y x 0.9y.此时 x， y 满足条件1.2x 0.9y 54，x 0， y 0.画出可行域如图，得最优解为A(30,20)x y 2 0，4 (2018 家庄模拟石 )已知 x， y 满足约束条件x 2y 2 0，2x

13、 y 2 0，且 b 2x y，当 b 取得最大值时，直线 2x y b 0 被圆 (x 1)2 (y 2)2 25 截得的弦长为 _解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由图知，当直线 y 2x b 经过点 A( 2， 2)时， b 取得最大值，即 bmax 2 ( 2) ( 2) 6，此时直线方程为 2xy 6 0.因为圆心 (1,2)到|2 2 6|直线 2x y 6 0 的距离 d 25，所以直线被圆截得的弦222 1长 L2 52 2 5 22 5.答案：2 5y 1，河南六市联考)已知实数，满足 y 2x 1， 若目标函数 z x y 的最小5 (2018x yx ym

14、.值为 1，则实数 m _.解析： 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l： y x，平移 l 可知，当直线 l 经过 A 时符合题意，由y 2x 1，x 2，又 A(2,3)在直线 x ym解得y 3.x y 1，上，所以m 5.答案： 56.已知 D 是以点 A(4,1)，B( 1， 6)，C( 3,2)为顶点的三角形区域 (包括边界与内部 )，如图所示(1) 写出表示区域 D 的不等式组(2) 设点 B( 1， 6)， C( 3,2)在直线 4x 3ya 0 的异侧，求实数a 的取值范围解： (1)直线 AB，AC，BC 的方程分别为7x 5y 23 0，x 7y 11

15、0,4x y 10 0.7x 5y 23 0，原点 (0,0)在区域 D 内，故表示区域 D 的不等式组为x 7y 11 0，4x y 10 0.(2) 根据题意有4 (1) 3( 6) a4 ( 3) 32 a 0，即 (14 a)( 18 a) 0，解得 18 a 14.故实数 a 的取值范围是 ( 18,14)x4y 3 0，变量，满足 3x 5y 25 0，7x yx 1.(1) 设 z1 4x 3y，求 z1 的最大值；y(2) 设 z2 x，求 z2 的最小值；(3) 设 z3 x2 y2，求 z3 的取值范围解：作出可行域如图中阴影部分所示，易得 A 1，22，B(1,1)，5x

16、 4y 3 0，解得 C(5,2)，联立3x 5y 25 0，4z14x 至过点 C 时，z1(1) z1 4x3y? y x，易知平移直线y333最大，且最大值为 4 53 2 14.(2) z2 y表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC 斜率最小，故z2 的最x小值为 25.(3) z3 x2 y2 表示可行域内的点到原点距离的平方，而2 OB2OA20，f 1 0，解得 10则 3k1，3 k0，x 0，襄阳五中月考)已知x，y满足不等式组y 0，若 ax y 3 恒成立，2 (20182x y 2，则实数 a 的取值范围是_x 0，解析：满足不等式组y 0，的平面区域如图中

17、阴影部分所2x y 2示，由于对满足不等式组的任意实数x，y，不等式 axy 3 恒成立，3 0根据图形，可得斜率 a 0 或 0 a kAB 3，解得 a 3，则实数 a 的取值范围是( ，3答案： (， 3(二 )重点高中适用作业A 级 保分题目巧做快做1不等式 (x 2y 1)(x y 3) 0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()解析：选Cx 2y 1 0，或x 2y 1 0，(x 2y1)(x y 3) 0?结合图形x y 3 0x y 3 0.可知选 C.2x y 0，2.(2018日照一模)已知变量，y满足： x2y 3 0，则 z (2)2x y 的最大值为xx0，()A. 2B 22C 2D 4解析：选D作出满足不等式组的可行域如图中阴影部分所示，令m 2x y，则当 m取得最大值时， z (2) 2xy 取得最大值，由图知直线m 2x y 经过点 A(1,2)时， m 取得最21 2大值，所以 zmax ( 2) 4，故选 D.xy 4 0，3.(2018 郑州质量预测 )已知直线y k(x 1)与不等式组 3x y 0， 表示的平面区x0， y0域有公共点，则k 的取值范围为 ()A 0， )B.0，323D.3，C. 0，22解析：选 C画出不等式组表示的可行域如图中阴影(不含 x 轴 )部分所示，