复习专题1--分段函数汇编

1、f(x),x(-,af2(x),xa,+)在r上是增函数，则f2x在a,+)上）；学习-好资料复习专题1分段函数专题不务正业收集、整理、点评知识点梳理一、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数。二、注意：1、分段函数是一个函数，而不是几个函数；2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集；3、分段函数的值域是各段函数值的并集。4、解决分段函数的方法：先分后合三、涉及的内容及相应的常用方法：1、求解析式：利用分段中递推关系，如平移、周期、对称关系，已知其中一段的解析式，得到整个定义域的解析式；2、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。不能确定时常需

2、要分情况讨论；3、单调性：各段单调（如递增）+连接处不等关系。f(x)在(-,a)上1（如f(x)=1()f1(a)f2(a)4、奇偶性：分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式，才有奇偶性，否则为非奇非偶函数；5、图像性质或变换等：作图、赋值等，注意变量的范围限制；6、最值：求各段的最值或者上下界再进行比较；7、图像：分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图；例题讲解：题型一、分段函数的图像。1.作出函数y=x(x+1)的图象2.函数y=elnx-|x-1|的图象大致是（d）y1y1y1y110更多精品文档ax-10bx0c1x0d1x学习-好资料题型二、分段函数的奇偶性x(1-x)(x0

3、).的奇偶性2、已知函数f(x)是定义在r上的奇函数,且当x0时,f(x)=x2-2x+3.求f(x)的解析式。题型三、分段函数的最值1、(2005上海高考题)对定义域分别是d,d的函数y=f(x),y=g(x).规定：函数h(x)=f(x),当xd且xd当xd且xdfgf(x)g(x),当xd且xd,fgfgg(x),gf（i）若函数f(x)=1,g(x)=x2，写出函数h(x)的解析式；x-1（ii）求问题（i）中函数h(x)的值域；题型四、与分段函数有关的不等式与方程1、已知f(x)=(x10)(x-10)，则不等式x+(x+2)f(x+2)5的解集是_,2x22、(2011年高考北京卷

4、理科13)已知函数f(x)=x若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则(x-1)3,x03、(2011年高考陕西卷理科11)设f(x)=ax+03t2dt,x0题型五、分段函数创新题，若f(f(1)=1，则a=x1、定义运算x*y=y(xy)(xy)，若m-1*m=m-1,则m的取值范围是（）a.m11b.m1c.m022,baa-1,2、(2011年高考天津卷理科8)对实数a与b，定义新运算“”：ab=b,a-b1.设函数f(x)=(x2-2)(x-x2),xr.若函数y=f(x)-c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）(-,-2-1,3(-,-2-1,-311-1,-

5、,+c-,+d.442444ab31log(x2-1),x2,2、已知f(x)=是（-，+）上的增函数，那么a的取值范围是（）logx,x1总结：1、分段函数是高考的一个热点，它可以考查函数的很多重要知识，如求值、作图、解方程、求解析式、求周期和最值、函数的定义域、单调性、奇偶性等。2、解分段函数的问题时，关键的是根据自变量的分段情况选择相应解析式。3、解不等式或求范围时应根据自变量的分段情况，转化为若干个不等式（组）求解，然后取这些不等式（组）解集的并集。4、研究分段函数的最值问题时，应先分段进行，再整体进行判断。课后作业：2ex-1,x2的解集为3(a)（1，2）（3，+）(b)（10，+

6、）(c)（1，2）（10，+）(d)（1，2）(3-a)x-4a,x1，a5(d)(1,3)（a）(1，+)（b）(-,3)(c)3，3)3、lgx-1,x1,4、设定义为r的函数f(x)=则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=00,x=1.有7个不同的实数解的充要条件是（）更多精品文档学习-好资料a.b0b.b0且c0c.b0,则f(2009)的值为（）7、求函数f(x)=x+3(01)a.-1b.0c.1d.26、4x+3(x0)8、(2011年高考湖北卷理科17)（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时

7、）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.()当0x200时，求函数v(x)的表达式；()当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f(x)=xv(x)可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）更多精品文档学习-好资料参考答案：题型一、分段函数的图像。1.作出函数y=x(x+1)的图象分析：原函数可化为：y=x(x+1),x0-x(x+1),x02.函数y=elnx-

8、|x-1|的图象大致是（d）y1y1y1y10a1x-10bx0c1x0d1xx+-1,x(0,1)，很明显，在x1,+)分析：原函数可化为：y=1,x1,+)1x时，图像是一条平等于x轴的射线，当x(0,1)时，是一个对勾函数的形状。所以选d。题型二、分段函数的奇偶性1、判断函数f(x)=x(1-x)(x0).的奇偶性分析：设x0，则f(-x)=(-x)1+(-x)=-x(1-x)=-f(x)，所以函数为奇函数。（注意：f(0)并不存在，如果存在，一定有f(0)=0）2、已知函数f(x)是定义在r上的奇函数,且当x0时,f(x)=x2-2x+3.求f(x)的解析式.分析：设x0。f(-x)=

9、(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3x222xx-xx0又f(x)是定义在r上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)，所以有：f(x)=-x+-2+3,3,0f(x)=-x2-2x-3,x01、(2005上海高考题)对定义域分别是更多精品文档d,dfg的函数y=f(x),y=g(x).规定：函数h(x)=f(x),当xd且xd当xd且xd学习-好资料f(x)g(x),当xd且xd,fgfgg(x),gf（i）若函数f(x)=1,g(x)=x2，写出函数h(x)的解析式；x-1（ii）求问题（i）中函数h(x)的值域；本题好像有点问题。题型四、与分段函数有关的不等式与方程1、已知f(x)=(

10、x10)(x-10)，则不等式x+(x+2)f(x+2)5的解集是_,2x22、(2011年高考北京卷理科13)已知函数f(x)=x若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则(x-1)3,x03、(2011年高考陕西卷理科11)设f(x)=a3t2dx,x0，若f(f(1)=1，则a=【答案】1【解析】f(f(1)=f(lg1)=f(0)=0+a3t2dt=t3|a=a3=1a=100a.a0b.0a1题型五、分段函数创新题x1、定义运算x*y=y(xy)(xy)，若m-1*m=m-1,则m的取值范围是（a）a.m11b.m1c.m0222、(2011年高考天津卷理科8)对实数a与b，定义

11、新运算“”：ab=设函数b,a-b1.a,a-b1,f(x)=(x2-2)(x-x2),xr.若函数y=f(x)-c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是更多精品文档a(-,-2-1,b(-,-2-1,-4学习-好资料（）323c-,+d.-1,-,+44【答案】b114431【解析】由题意知,若x2-2-(x-x2)1,即-1x32时,f(x)=x2-2;当x2-2-(x-x2)1,即x32时,f(x)=x-x2,要使函数y=f(x)-c的图像与x轴恰有两个公共点，只须方程f(x)-c=0有两个不log(x2-1),x2,logx,x1（a）(1，+)（b）(-,3)(c)35(d

12、)(1,3)相等的实数根即可,即函数y=f(x)的图像与直线y=c有两个不同的交点即可,画出函数y=f(x)的图像与直线y=c,不难得出答案b.总结：1、分段函数是高考的一个热点，它可以考查函数的很多重要知识，如求值、作图、解方程、求解析式、求周期和最值、函数的定义域、单调性、奇偶性等。2、解分段函数的问题时，关键的是根据自变量的分段情况选择相应解析式。3、解不等式或求范围时应根据自变量的分段情况，转化为若干个不等式（组）求解，然后取这些不等式（组）解集的并集。4、研究分段函数的最值问题时，应先分段进行，再整体进行判断。作业：2ex-1,x2的解集为（）3(a)（1，2）（3，+）(b)（10

13、，+）(c)（1，2）（10，+）(d)（1，2）答案：c分别对x进行讨论。当x2，得1x2得x1033(3-a)x-4a,x1，2、已知f(x)=是（-，+）上的增函数，那么a的取值范围是（）a，3)答案：d。3-a0a11a3(3-a)1-4alog1a更多精品文档0,x=1.则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0学习-好资料3、设定义为r的函数f(x)=lgx-1,x1,有7个不同的实数解的充要条件是（）a.b0b.b0且c0c.b0。画出图像是关键。从图像可以明显看出，当t0时，对应每一个t，x有4个不同的值与之对应，t=0时，有3个不同的x与之对应，本题要求是7个根，所以，必须

14、满足：其中一根t=0，另一根t0。则t*t=0=c；t+t=-b012124、定义在r上的函数f(x)满足f(x)=log(1-x),x0,2f(x-1)-f(x-2),x0,则f(2009)的值为（）a.-1b.0c.1d.2答案：c。分析：分别求出f(1)、f(2)、f(6)，观察可得周期为6或者：由f(x)=f(x-1)-f(x-2)，迭代得f(x+1)=f(x)-f(x-1)，由f(x+1)=-f(x-2)f(x)=-f(x-3)，令：x=x+3，则，f(x)=-f(x+3),所以：f(x+3)=f(x-3),令x=x+3，得出f(x)=f(x+6)5、求函数f(x)=x+3(01)4

15、x+3(x0)这几个分段函数全是线性函数，最值一定出现在“临界点”上。f(maxx)=4.更多精品文档学习-好资料6、(2011年高考湖北卷理科17)（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.()当0x200时，求函数v(x)的表达式；()当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f(x)=xv(x)可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）.本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力解析：（）由题意：当0x20时，v(x)=60；当20x200时，设v(x)=ax+ba=-,3，解得再由已知得200a+b=0,20a+b=60.1200b=.3当20x200时，f(x)=x(200-x)12=,60,0x20,故函数v(x)的表达式为v(x)=13(200-x),20x200