北航2014级硕士研究生应用数理统计答案B卷

1、北京航空航天大学研究生课程试卷B20142015学年第一学期期末试卷答案学号 姓名 成绩考试日期：2015年1月13日考试科目：应用数理统计（B层）、填空题（本题共16分，每小题4分）1 .设 X1,X2,L,X2n是来自正态总体N（,2）的简单样本，则c时,m统计量m(X2kX2k 1)cdn(x2kX2k 1)k m 1服从F分布。2.设 x, x2, L,Xn是来自正态总体N(0,2）的简单样本，用1 n2 I2nx (X) n i 1估计2，则均方误差E 2（?22)23.设总体X的密度函数为p（x;）22X,0,0,，其中0,0 , X1, X2,L ,Xn 是来自总体X简单样本，则

2、q(2的矩估计4x2或-5 -2Xi 4.在双因素方差分析中，总离差平方和 St的分解式为p q r2其中 Se(xijkxij ) ， xiji 1 j 1 k 1StSaSbSa bSepq(r 1)1 r 、- Xijk，则Se的自由度是 r k 1n pq，其中 n pqr1 -1、(本题12分)设总体X的密度函数为f(x;) 一 x , x (0,1)，其中 o,0, x (0,1)Xi,X2,L ,Xn是来自总体X的简单样本。(1)求 的极大似然估计? ；( 2 )求 的一致最小方差无偏估计；(3)问 的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证 明你的结论。解(1)似然函数为L()1

3、I0 x(1)X(n)1(x1,x2 丄对数似然函数为ln L( ) nln(-1)i 1In XiIn I0 x(1)s 1(X1,X2丄,Xn)求导，有In L( ) n12In xii 1令ln L()0，可得的极大似然估计为In xin i 1(2)因为f (为，X2丄，Xn；)n(Xi)i 11l0 X(1)X(n) 1(X1，X2 丄1 110 % x(n) 1(X1,X2,L ,Xn)exp(-n1) In Xii 1令c()】，h(x)0 )x(n)1(XI，X2 丄,Xn)， w()nIn Xi，由于 w()n的值域(0,)有内点，由定理2.2.4知T lnxi是完全充分统计

4、量。而i 111丄1E(ln Xi)dx所以nnE( In xi) E(ln xi) ni 1i 1因而In Xin既是完全充分统计量T In Xi的函数，又是i 1的无偏估计，由定理225知？nIn x是 一致最小方差无偏估计。n i 11(3)由于 Var( ?)Var (Inxj，而n2 2Var(In xjE(lnxj(E(lnxj)；(ln x)2x1dx所以Var( ?)又因为当X(0,1)时,2 In f(x;)12所以1(f(x；)2 )12从而Var ( ?()2nI()即信息不等式等号成立,In xi是的有效估计。三、（本题12分）设X1,X2, ,Xn是来自正态总体N（

5、, o）的简单样本，其中0是 已知常数，是未知参数。考虑假设检验问题H o ：oH1 ：o（1）求显著性水平 （01）下的似然比检验；（2）求犯第二类错误的概率。supp(X1，X2，L ,Xn； )0P(X1,X2 ,L ,Xn； o)oo解：（1 ）当 时，的极大似然估计为 ？ min ,刃似然比统计量为（0X2丄必），则(Xi,X2 丄,Xn)1,1 2exp；U ,2由于(Xi,X2,L ,Xn)1,1 2exp：U ,2(x-i, x2,L ,Xn)的最小值是1,所以当H0成立(X)远离1时拒绝H0，即(x) c拒绝Ho，只有在U0时才能获得，因而有Po (x) cPUCiU服从N(

6、0,1)，因此Ciu1 。故似然比检验的统计量可取为又由于H成立时,Ui 。o20n四、(本题10分)察交互作用(Ui0)，考虑某四因子二水平试验,除考察因子A,B,C,D外，还需考A C。今选用表L8(27)，表头设计及试验数据如表所示，所考虑指标是越小越好。试用极差分析方法指出因子的主次顺序和较优工艺条件。列号试验号、A BA B C ACD1234567实验数据北京航空航天大学研究生课程试卷111111111.02211122220.78312211221.06412222110.94521212121.12621221211.16722112210.85822121120.97K1j3.84.083.624.054.214.053.97K2j4.13.824.283.853.693.853.93Rj0.30.260.660.20.520.20.04因素影响主次A B，A C ；A，B，C ； D最优方案A B1C2D2B1B2A1.82A22.281.82C1C2A2.081.72A21.972.13五、（本题10分）随机向量（XX2，X3）的相关系数矩阵（1）根据主成分75%的选取标准，若只选取一个主成分，求满足的条件-6 -北京航空航天大学研究生课程试卷B（2）试求第一主成分。 解：（1求特征根1I I R|令 | I R| 0，可得 11 2 ，若只选取一