考研数学二模拟415

考研数学二模拟415一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.

设f"(x)在x=0处连续，且，则______．A.f(0)是f(x)的极大值B.f(0)是f(x)的极小值C.(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D.f(0)非f(x)的极值，(0，f(0))也非y=f(x)的拐点正确答案：C[解析]由得f"(0)=0，由极限保号性可知，存在δ＞0，当|x|＜δ时，．

当x∈(-δ，0)时，因为ln(1+x)＜0，所以f"(x)＜0；当x∈(0，δ)时，因为ln(1+x)＞0，所以f"(x)＞0，于是(0，f(0))为y=f(x)的拐点，选C.

2.

设y=x3+3ax2+3bx+c在x=-1处取最大值，又(0，3)为曲线的拐点，则______．A.a=1，b=-1，c=3B.a=0，b=-1，c=3C.a=-1，b=1，c=3D.a=1，b=1，c=3正确答案：B[解析]y'=3x2+6ax+3b，y"=6x+6a，则有解得a=0，b=-1，c=3，选B．

3.

设，其中F为可微函数，则为______．A.z-xyB.z+xyC.z-2xyD.z+2xy正确答案：B[解析]由得

选B.

4.

设D为xOy平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在D上连续，在D内可偏导且满足，若f(x，y)在D内没有零点，则f(x，y)在D上______．A.最大值和最小值只能在边界上取到B.最大值和最小值只能在区域内部取到C.有最小值无最大值D.有最大值无最小值正确答案：A[解析]因为f(x，y)在D上连续，所以f(x，y)在D上一定取到最大值与最小值，不妨设f(x，y)在D上的最大值M在D内的点(x0，y0)处取到，即f(x0，y0)=M≠0，此时，这与矛盾，即f(x，y)在D上的最大值M不可能在D内取到，同理f(x，y)在D上的最小值m不可能在D内取到，选A.

5.

曲线y=x2与所围成的图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积为______.

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]选C．

6.

设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x，则该微分方程为______．A.y'''-y"-y'+y=0B.y'''+y"-y'-y=0C.y'''+2y"-y'-2y=0D.y'''-2y"-y'+2y=0正确答案：A[解析]因为y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x为三阶常系数齐次线性微分方程的三个特解，所以其对应的特征方程的特征值为λ1=λ2=1，λ3=-1，其对应的特征方程为

(λ-1)2(λ+1)=0，即λ3-λ2-λ+1=0．

则微分方程为y'''-y"-y'+y=0，选A.

7.

设四阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，其中α1，α2，α3线性无关，而α4=2α1-α2+α3，则r(A*)为______．A.0B.1C.2D.3正确答案：B[解析]由α1，α2，α3线性无关，而α4=2α1-α2+α3。得向量组的秩为3，于是r(A)=3，故r(A*)=1，选B.

8.

设A为三阶矩阵，A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=3，对应的线性无关的特征向量为α1，α2，α3，令P1=(α1+α3，α2-α3，α3)，则．

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]令

选C．

二、填空题1.

正确答案：[解析]

2.

设y=f(x)与y=sin2x在(0，0)处切线相同，其中f(x)可导，则正确答案：[解析]由y=f(x)与y=sin2x在(0，0)处切线相同得f(0)=0，f'(0)=2．

由得

3.

正确答案：10π[解析]

4.

由方程所确定的函数z=z(x，y)在点(1，1，2)处的全微分dz=______．正确答案：[解析]两边对x求偏导得

则

两边对y求偏导得，

则，于是

5.

设函数y=y(x)在(0，+∞)上满足，则y(x)=______．正确答案：x(1-cosx)[解析]由可微的定义，函数y=y(x)在(0，+∞)内可微，且或，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得

由得C=1，所以y=x(1-cosx)．

6.

设矩阵不可对角化，则a=______．正确答案：0或4[解析]由

得λ1=0，λ2=a，λ3=4．

因为A不可对角化，所以A的特征值一定有重根，从而a=0或a=4．

当a=0时，由r(0E-A)=r(A)=2得λ1=λ2=0只有一个线性无关的特征向量，则A不可对角化，a=0合题意；

当a=4时，

由r(4E-A)=2得λ2=λ3=4只有一个线性无关的特征向量，故A不可对角化，a=4合题意．

三、解答题共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.

设f(x)在[0，1]上可导，且f(0)=0，0＜f'(x)＜1，证明：正确答案：[解]令

再令，h(0)=0，h'(x)=2f(x)[1-f'(x)]．

由f(0)=0，0＜f'(x)＜1得f(x)＞0(0＜x≤1)，

则h'(x)=2f(x)[1-f'(x)]＞0(0＜x＜1)，

由得h(x)＞0(0＜x≤1)，从而φ'(x)＞0(0＜x＜1)，

再由得φ(x)＞0(0＜x≤1)，

于是φ(1)＞0，即．

2.

设抛物线y=ax2+bx+c过点(0，0)及(1，2)，其中a＜0，确定a，b，c，使抛物线与x轴所围成的面积最小．正确答案：[解]由抛物线y=ax2+br+c过点(0，0)及(1，2)得c=0，a+b=2或b=2-a，c=0.

因为a＜0，所以b＞0，由ax2+bx=0得x1=0，．

，令S'(a)=0得a=-4，从而b=6，故a=-4，b=6，c=0．

3.

设f(u)二阶连续可导，z=f(exsiny)，且，求f(x)．正确答案：[解]

由得e2xf"(exsiny)=e2xz+e3xsiny，

或f"-f=exsiny，于是有f"(x)-f(x)=x．

显然f(x)=C1e-x+C2ex-x．

4.

设L：(x≥0，y≥0)，过L上一点作切线，求切线与抛物线所围成面积的最小值．正确答案：[解]首先求切线与坐标轴围成的面积，

设M(x，y)∈L，过点M的L的切线方程为．

令Y=0，得，切线与x轴的交点为；

令X=0，得，切线与y轴交点为，

切线与椭圆围成的图形面积为

其次求最优解．

方法一：设

令

由，得λ=-1(λ=1舍去)，

代入①，得，再代入③，得于是最小面积为

方法二：由①，②，得，x=-2λy，

两式相除，得，或，代入③，得于是最小面积为

方法三：令

当时所围成的面积的最小，且最小值为

5.

已知微分方程，作变换u=x2+y2，其中ω=ω(u，v)，求经过变换后原方程化成的关于ω，u，v的微分方程的形式．正确答案：[解]ω=lnz-(x+y)两边关于x求偏导得

ω=lnz-(x+y)两边关于y求偏导得

解得

代入原方程整理得

6.

计算二重积分，其中区域D是由直线x=-2，y=0，y=2及曲线所围成的平面区域．正确答案：[解]设曲线与y轴围成的平面区域为D0，

则

所以

7.

当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状，若它在进入大气层开始燃烧的前3s内，减少了体积的，问此陨石完全燃尽需要多长时间?正确答案：[解]设陨石体积为V，表面积为S，半径为r，它们都是时间t的函数，

因为，S=4πr2，所以

由题设得，即，其中V0为燃烧前的体积．

解得，再由条件得

所以，令V=0，得t=6，即完全燃尽需要6s．

8.

设，问a，b，c为何值时，矩阵方程AX=B有解，有解时求出全部解．正确答案：[解]令X=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，矩阵方程化为A(ξ1，ξ2，ξ3)=(β1，β2，β3)，即

当a=1，b=2，c=-2时，矩阵方程有解，

此时

方程组Aξ1=β1的通解为

方程组Aξ2=β2的通解为

方程组Aξ3=β3的通解为

于是

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形，又A*α=α，其中α=(1，1，-1)T．9.

求矩阵A；正确答案：[解]显然A的特征值为λ1=2，λ2=-1，λ3=-1，|A|=2，伴随矩阵A*的特征值为μ1=1，μ2=-2，μ3=-2．由A*α=α得AA*α=Aα，即Aα=2α，即α=(1，1，-