考研数学二分类模拟226

考研数学二分类模拟226选择题(下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.

设矩阵，则______．A.A与C相似，B与C相似B.A与C相似，B与C不相似C.A与C不相似，B与C相似D.A与C不相似，B与C不相似正确答案：B[考点]特征值、特征向量及二次型

[解析]由|λE-A|=0可知A的特征值为2，2，1．

因为

3-r(2E-A)=2

所以A可相似对角化，且．

由|λE-B|=0可知B的特征值为2，2，1．

因为

3-r(2E-B)=1

所以B不可相似对角化，显然C可相似对角化．

所以A～C，但B不相似于C．

综上所述，应选B．

2.

设A=(aij)3×3满足A*=2AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，如果a21=a22=a23＞0，则a22=______．

A．

B．

C．

D．正确答案：D[考点]矩阵、向量、方程组

[解析]因为A*=2AT，所以Aij=2aij(i，j=1，2，3)，|A*|=|2AT|，即

|A|2=23|AT|，|A|2=8|A|

从而|A|=0或|A|=8．

将行列式|A|按第2行展开，得

故．应选D

3.

已知四维向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则下列向量组中线性无关的是______．A.α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1B.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1C.α1+α2，α2+α3，α3-α4，α4-α1D.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1正确答案：D[考点]向量

[解析]解1：排除法．

A：(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0；

B：(α1+α2)-(α2+α3)+(α3+α4)-(α4+α1)=0；

C：(α1+α2)-(α2+α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0；

故A，B，C均是线性相关的向量组，应选D．

解2：利用分块矩阵的乘法．

两边取行列式，因α1，α2，α3，α4线性无关，则|α1，α2，α3，α4|≠0，又

故

|α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1|≠0

向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关，故选D．

4.

设f(x)是(-∞，+∞)上的连续函数，F(x)是f(x)的一个原函数，则______．A.当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数B.当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数C.当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数D.当f(x)单调递增时，F(x)必是单调递增的正确答案：A[考点]函数、极限

[解析]选项D错误．取f(x)=x，则f(x)为(-∞，+∞)上的单调递增函数，再取，而F(x)在(-∞，+∞)上不是单调递增函数．

选项C错误．取f(x)=1+cosx，则f(x)是周期为2π的周期函数，再取F(x)=x+sinx，则F(x)不是周期函数．下面用反证法证明F(x)=x+sinx不是周期函数．

若F(x)=x+sinx是周期函数，则存在T＞0，使得对任意的正整数n．F(x+nT)=F(x)，即(x+nT)+sin(x+nT)=x+sinx，整理得nT=sinx-sin(x+nT)≤|sinx|+|sin(x+nT)|≤2，而当n充分大时，nT必大于2，矛盾．

最后讨论选项A与B．因为F(x)是f(x)的一个原函数，所以由原函数存在定理，可设，其中C0为常数，于是

当f(x)为奇函数时，由式①知F(-x)=F(x)，所以F(x)是偶函数，故选项A正确．

当f(x)为偶函数，且C0≠0时，由式①得

即F(x)不是奇函数，故选项B错误．

再如，取f(x)=x2，，则F(x)是f(x)的一个原函数，但F(0)=10086≠0，故F(x)不是奇函数，所以选项B错误．

故正确答案为选项A．

5.

设A是三阶实对称矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个特征值，且满足m≤λ1≤λ2≤λ3≤n，如果矩阵λE-A是正定矩阵，则常数λ满足______．A.λ＜nB.λ＞nC.λ＜mD.λ＞m正确答案：B[考点]特征值、特征向量及二次型

[解析]由λ1，λ2，λ3是A的特征值知，λE-A的三个特征值分别为λ-λ1，λ-λ2，λ-λ3．λE-A是正定矩阵λE-A的三个特征值均大于零，即λ-λ1＞0，λ-λ2＞0，λ-λ3＞0．由m≤λ1≤λ2≤λ3≤n，得

-m≥-λ1≥-λ2≥-λ3≥-n

于是λ-n＞0，即λ＞n．应选B．

6.

设向量组α1，α2，α3为方程组Ax=0的一个基础解系，下列向量组中也是方程组Ax=0的基础解系的是______．A.α1+α2，α2+α3，α3-α1B.α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3C.α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1D.α1+α2+α3，2α1-3α2+22α3，3α1+5α2-5α3正确答案：C[考点]线性方程组

[解析]选项A，B，D错误．

注意到，基础解系中的向量要线性无关，而A，B，D选项线性相关．

以A为例说明，B，D留给读者自己验证．

在选项A中，令β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3-α1，即

β1=α1·1+α2·1+α3·0

β2=α1·0+α2·1+α3·1

β3=α1·(-1)+α2·0+α3·1

亦即．由于α1，α2，α3线性无关，而，所以β1，β2，β3线性相关；也可由(α1+α2)-(α2+α3)+(α3-α1)=0，排除A．

选项C正确．因为．

由于α1，α2，α3线性无关，而，所以向量组α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1线性无关．又因α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1显然是齐次方程的解，故他们是基础解系．

7.

二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的规范形为______

A．

B．

C．

D．正确答案：B[考点]二次型

[解析]，其由．矩阵A的特征多项式为

由|λE-A|=0，得A的特征值为λ1=λ2=3，λ3=0，于是二次型f的正惯性指数p=2，负惯性指数为q=0，故二次型f的规范形为．应选B．

8.

设A，B是n阶矩阵：

命题1：A和AT有相同的特征值；

命题2：若A与B相似，则A，B有相同的特征值；

命题3：若A，B均是实对称矩阵，则AB和BA有相同的特征值；

命题4：若A是可逆矩阵，则AB和BA有相同的特征值．

上述命题正确的个数是______．A.1B.2C.3D.4正确答案：D[考点]特征值与特征向量

[解析]命题1，命题2显然正确．

命题3正确．若AT=A，BT=B，则

|λE-AB|=|(λE-AB)T|=|λE-BTAT|=|λE-BA|

即AB和BA有相同的特征值．

命题4正确．若A可逆，则

A-1(AB)A=(A-1A)BA=BA

即AB相似于BA，故它们有相同的特征值．

4个命题都正确，故应选D．

9.

设A为n阶矩阵，且(A-E)3=(A+E)3，其中E为n阶单位矩阵，则(A-2E)-1=______．

A．

B．

C．

D．正确答案：D[考点]矩阵、向量、方程组

[解析]因为(A-E)3=(A+E)3，所以

A3-3A2+3A-E=A3+3A2+3A+E

从而3A2+E=0，即，于是

故应选D．

10.

设，则______．A.f(x)在x=a处可导且f'(a)≠0B.f(a)为f(x)的极大值C.f(a)不是f(x)的极值D.f(x)在x=a处不可导正确答案：B[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

[解析]因为，所以由极限的保号性，存在充分小的δ＞0，当0＜|x-a|＜δ时，有，从而有f(x)＜f(a)，于是f(a)为f(x)的极大值，故选B．

设a=0，f(x)=-x2，则选项A、C错误．由于

而，故，即f'(a)=0，所以选项D错误．

11.

设其中g(x)为有界函数，则f(x)在x=0处______．A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导正确答案：D[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

12.

设A是m×n阶矩阵，下列命题正确的是______．A.若方程组Ax=0只有零解，则方程组Ax=b有唯一解B.若方程组Ax=0有非零解，则方程组Ax=b有无穷多个解C.若方程组Ax=b无解，则方程组Ax=0一定有非零解D.若方程组Ax=b有无穷多个解，则方程组Ax=0一定有非零解正确答案：D[考点]线性方程组

[解析]选项A错误．如只有零解，而无解；

选项B错误．如有非零解，而无解；

选项C错误．如无解，而只有零解；

选项D正确．若Ax=b有无穷多个解，则，从而r(A)＜n，故方程组Ax=0一定有非零解．

13.

设函数在(-∞，+∞)内连续，且，则常数a，b满足______．A.a＜0，b＜0B.a＞0，b＞0C.a≤0，b＞0D.a≥0，b＜0正确答案：D[考点]函数、极限

14.

已知函数y=y(x)在任意点x处的增量，且当Δx→0时，α是Δx的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于______．

A．2π

B．π

C．

D．正确答案：D[考点]常微分方程

[解析]由于．又当Δx→0时，α是Δx的高阶无穷小，故由微分的定义知．分离变量得，积分得ln|y|=arctanx+C1，即y=Cearctanx．由y(0)=π知C=π，故y(x)=πearctanx，于是，故选D．

15.

设f'(x0)=f"(x0)=0，f"'(x0)＞0，则下列正确的是______．A.f'(x0)是f'(x)的极大值B.f(x0)是f(x)的极大值C.f(x0)是f(x)的极小值D.(x0，f(x0))为y=f(x)的拐点正确答案：D[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

[解析]因为f"'(x0)＞0，所以存在δ＞0．当0＜|x-x0|＜δ时，，从而当x∈(x0-δ，x0)时，f"(x)＜0；当x∈(x0，x0+δ)时，f"(x)＞0，即(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点，故选D．

16.

已知α=(1，k，1)T是的伴随矩阵A*的一个特征向量，则α对应的特征值为______．A.-4B.-1C.2D.4正确答案：D[考点]特征值、特征向量及二次型

[解析]|A|=4．

设A的伴随矩阵A*对应于特征向量α=(1，k，1)T的特征值为λ，则

A*α=λα

给等式两边同时左乘A，得

AA*α=λAα，即|A|α=λAα

即

所以

解得λ=1，k=1，λ=4，k=-2．应选D．

17.

设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题：

①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则r(A)≥r(B)；

②若r(A)≥r(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；

③若Ax=0与Bx=0同解，则r(A)=r(B)；

④若r(A)=r(B)，则Ax=0与Bx=0同解．

以上命题正确的有______．A.①②B.①③C.②④D.③④正确答案：B[考点]线性方程组

[解析]由于线性方程组Ax=0和Bx=0之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以②④显然不正确，利用排除法，可立即得到正确选项为B．

下面证明①③正确．

对于①，由Ax=0的解均是Bx=0的解可知，方程组Bx=0的基础解系可线性表示Ax=0的基础解系，从而n-r(A)≤n-r(B)，故r(A)≥r(B)．

对于③，由于A，B为同型矩阵，若Ax=0与Bx=0同解，则其解空间的维数(即基础解系包含解向量的个数)相同，即n-r(A)=n-r(B)，从而r(A)=r(B)．

18.

齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是______．A.|A|=0B.非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解C.A的列向量组线性相关D.A的行向量组线性相关正确答案：C[考点]线性方程组

[解析]设A是m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax=0有非零解的列向量组线性相关．应选C．

19.

设向量组α1，α2，…，αs的秩为r(r＜s)，则下列说法错误的是______．A.α1，α2，…，αs中至少有一组由r个向量组成的部分组线性无关B.α1，α2，…，αs中任何r个线性无关向量组成的部分组与α1，α2，…，αs是等价向量组C.α1，α2，…，αs中任何r个向量的部分组都线性无关D.α1，α2，…，αs中任何r+1个向量的部分组都线性相关正确答案：C[考点]向量

[解析]选项A正确．r(α1，α2，…，αs)=r，由定义α1，α2，…，αs中最大的线性无关的部分向量组中的向量个数是r个，故至少有一个包含r个向量的部分组线性无关．

选项B正确．向量组的极大线性无关组不一定是唯一的，任何包含r个向量的线性无关部分组均是极大线性无关组，均与原向量组等价．

选项C错误．取α1=(1，0)，α2=(2，0)，α3=(0，1)，r(α1，α2，α3)=2，但α1，α2是线性相关的，故选C．

选项D正确．因α1，α2，…，αs中最大的线性无关部分组的向量个数为r，所以任何r+1个向量的部分组都线性相关．

20.

下列命题中，正确的命题是______．

A．n元非齐次线性方程组Ax=β有唯一解|A|≠0

B．如果齐次线性方程组Ax=0只有零解，则非齐次线性方程组Ax=β有唯一解

C．如果齐次线性方程组Ax=0有非零解，则非齐次线性方程组Ax=β有无穷多解

D．如果非齐次线性方程组Ax=β有两个不同的解，则齐次线性方程组Ax=0有无穷多解正确答案：D[考点]矩阵、向量、方程组

21.

设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是______．A.若A，B可逆，则A+B可逆B.若A，B可逆，则AB可逆C.若A+B可逆，则A-B可逆D.若A+B可逆，则A，B都可逆正确答案：B[考点]矩阵

[解析]选项A错误．取，B=-A，可排除A；

选项B正确．若A，B可逆，则|A|≠0，|B|≠0，又因为|AB|=|A||B|，所以|AB|≠0，于是AB可逆；

选项C错误．取，可排除C；

选项D错误．取，可排除D．

22.

设矩阵A，B满足AB=E，其中E是单位矩阵，则______．A.A的行向量组线性无关，B的行向量组线性无关B.A的行向量组线性无关，B的列向量组线性无关C.A的列向量组线性无关，B的行向量组线性无关D.A的列向量组线性无关，B的列向量组线性无关正确答案：B[考点]矩阵、向量、方程组

[解析]设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，则E为m阶矩阵，于是

m=r(E)=r(AB)≤r(A)≤m

即r(A)=m，从而A的行向量组线性无关．

m=r(E)=r(AB)≤r(B)≤m

即r(B)=m，从而B的列向量组线性无关．应选B

23.

设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且|A|=2，|B|=6，则为______．A.24B.-24C.48D.-48正确答案：D[考点]矩阵、向量、方程组

24.

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩为1，A的各行元素之和均为2，则f在非退化的线性变换x=Py下的规范形为______．

A．

B．

C．

D．正确答案：D[考点]特征值、特征向量及二次型

[解析]因为A的各行元素之和均为2，所以

即A有一个特征值λ1=2，其对应的特征向量α1=(1，1，1)T．

由二次型

f(x1，x2，x3)=xTAx

的秩为1，知r(A)=1，从而A的另两个特征值λ2=λ3=0．由λ1=2＞0，知f的正惯性指数为1，故f在非退化的线性变换下的规范形．应选D．

25.

设A，B均为n阶对称矩阵，下列结论错误的是______．A.AB为对称矩阵B.设A，B可逆，则A-1+B-1为对称矩阵C.A+B为对称矩阵D.kA为对称矩阵正确答案：A[考点]矩阵

[解析]选项A错误．取，而不是对称矩阵，故选A；

选项B正确．由(A-1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=(AT)-1+(BT)-1=A-1+B-1，得A-1+B-1为对称矩阵；

选项C正确．因(A+B)T=AT+BT=A+B，得A+B为对称矩阵；

选项D正确．因(kA)T=kAT=kA，得kA为对称矩阵．

26.

设周期函数f(x)在(-∞，+∞)内可导，周期为4，又，则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为______．

A．

B．0

C．-1

D．-2正确答案：D[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

[解析]由已知，可得，即f'(1)=-2．再由导数的几何意义知，在点(5，f(5))处的切线斜率为f'(5)．又知f(x)是周期为4的可导函数，故

故选D．

27.

设A，B，C为n阶方阵，满足A=BC，将A，B按列分块，记为

(α1，α2，…，αn)=(β1，β2，…，βn)C

下列说法中正确的是______．A.将αi和αj互换后，应将βi，βj互换B.将βi和βj互换后，应将C的第i行和第j行互换C.将αi加到αj后，应将βi加到βjD.将βi加到βj后，应将C的第i行加到第j行正确答案：B[考点]矩阵

[解析]βi和βj互换后，应将C的第i行和第j行互换，因

其中Eij表示互换类初等矩阵，即单位矩阵交换第i行与第j行(交换第i列与第j列)之后所得到的矩阵．应选B．

[考点]矩阵

28.

设f(x)在x=0的邻域内有定义，且f(0)=0，则f(x)在x=0处可导的充分必要条件是______．

A．

B．

C．

D．正确答案：C[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

[解析]选项A错误．取显然，而f(x)在x=0处不连续，从而不可导．

选项B错误．取注意对任意的h都有1-cosh≥0，则

存在，但显然f(x)在x=0处不可导．

选项C正确．

选项D错误．取注意到对充分小的h＞0，h-tanh＜0，则f(h-tanh)=0，故

对充分小的h＜0，h-tanh＞0，则f(h-tanh)=h-tanh，故

所以存在，但显然f(x)在x=0处不可导．

29.

设，则A与B______．A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似D.不合同也不相似正确答案：C[考点]二次型

[解析]由

|λE-A|=0，|λE-B|=0

分别解得A的特征值为1，3，-5，B的特征值为1，1，-1，又A，B为实对称矩阵，且A与B的正、负惯性指数相同，所以合同．而|A|≠|B|，所以不相似．故选C．

30.

设α，β为四维非零列向量，且α⊥β，令A=αβT，则A的线性无关特征向量个数为______．A.1B.2C.3D.4正确答案：C[考点]特征值与特征向量

[解析]因为α，β为非零向量，所以r(A)=1且λ=0为A的四重特征根．又

因

r(0E-A)=r(A)=1

所以A的线性无关的特征向量个数为3，故选C．

31.

设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是______．A.AB=0当且仅当A=0或B=0B.AB≠0当且仅当A≠0且B≠0C.AB=0且r(A)=n，则B=0D.若AB≠0，则|A|≠0或|B|≠0正确答案：C[考点]矩阵

[解析]选项A，B错误．取，可同时排除A，B；

选项D错误．取，显然，但|A|=0且|B|=0；

选项C正确．由AB=0，得r(A)+r(B)≤n，因为r(A)=n，r(B)=0，所以B=0．

32.

设矩阵，矩