中考数学冲刺复习资料二次函数压轴题

1、中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1 如图，已知抛物线经过点 a （1 ，0 ）、b（3 ，0 ）、c （0 ，3 ）三点（1） 求抛物线的解析式（2） 点 m 是线段 bc 上的点（不与 b ，c 重合），过 m 作 mn y 轴交抛物线于 n ，若点m 的横坐标为 m ，请用 m 的代数式表示 mn的长（3 ）在（2 ）的条件下，连接 nb 、nc ，是否存在 m ，使bnc 的面积最大？若存在，求 m 的值；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：压轴题；数形结合分析：（1） 已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式（2） 先利用待

2、定系数法求出直线 bc 的解析式，已知点 m 的横坐标，代入直线 bc 、抛物线的解析式中，可得到 m 、n 点的坐标，n 、m 纵坐标的差的绝对值即为 mn的长（3 ）设mn交 x 轴于 d ，那么bnc 的面积可表示为：s =sbncmnc+smnb=mn （od+db ）=mn ob ，mn的表达式在（2 ）中已求得，ob 的长易知，由此列出关于 s bnc 、m 的函数关系式，根据函数的性质即可判断出bnc 是否具有最大值解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a （x+1 ）（x3 ），则： a （0+1 ）（03 ）=3 ，a= 1 ；抛物线的解析式：y= （x+1 ）（x3 ）=

3、 x2+2x+3 （2 ）设直线 bc 的解析式为：y=kx+b ，则有：，解得 ；故直线 bc 的解析式：y= x+3 已知点 m 的横坐标为 m ，mn y，则 m （m ，m+3 ）、n （m ，m故mn= m 2 +2m+3 （m+3 ）= m 2 +3m （0 m 3 ） （3 ）如图；2+2m+3 ）；s =sbncmnc+smnb=mn （od+db ）=mn ob ，s = （m bnc2+3m ）3= （m ）2+（0 m 3 ）；当m= 时，bnc 的面积最大，最大值为2 如图，抛物线的图象与 x 轴交于 a 、b 两点，与 y 轴交于 c点，已知 b 点坐标为（4 ，0

4、）（1） 求抛物线的解析式；（2） 试探究abc 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3 ）若点 m 是线段 bc 下方的抛物线上一点， mbc 点的坐标的面积的最大值，并求出此时 m考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：压轴题；转化思想分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将 b 点坐标代入解析式中即可（2 ）首先根据抛物线的解析式确定 a 点坐标，然后通过证明abc 是直角三角形来推导出 直径 ab 和圆心的位置，由此确定圆心坐标（3 ）mbc的面积可由 s =bc h 表示，若要它的面积最大，需要使 h 取最大值，即 mbc点 m 到直线 bc 的距离最大，若设一条平行于 b

5、c 的直线，那么当该直线与抛物线有且只 有一个交点时，该交点就是点 m 解答：解：（1）将 b （4 ，0 ）代入抛物线的解析式中，得：0=16a 4 2 ，即：a= ；抛物线的解析式为：y=x2x2 （2 ）由（1 ）的函数解析式可求得：a （1 ，0 ）、c （0 ，2 ）； oa=1 ，oc=2 ，ob=4 ，即：oc2=oa ob ，又：oc ab ，oac ocb ，得：oca= obc ；acb= oca+ ocb= obc+ ocb=90 ，abc 为直角三角形，ab 为abc 外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为 ab 的中点，且坐标为：（，0 ）（3 ）已求得：b （4 ，0

6、）、c （0 ，2 ），可得直线 bc 的解析式为：y=x 2 ；设直线 lbc ，则该直线的解析式可表示为：y=x+b ，当直线 l与抛物线只有一个交点时， 可列方程：x+b=x2x2 ，即： x22x 2 b=0 ，且；4 4（2 b ）=0 ，即 b= 4 ； 直线l：y=x 4 所以点 m 即直线 l和抛物线的唯一交点，有：，解得：过 m 点作 mn x 轴于 n ，即 m （2 ，3 ）s =sbmc梯形 ocmn+smnbs = 2（2+3 ）+ 23 24=4 ocb平行四边形类3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+mx+n经过点 a （3 ，0 ）、b（0 ，3 ），

7、点p 是直线 ab 上的动点，过点 p 作 x 轴的垂线交抛物线于点 m ，设点 p 的横坐标为 t（1） 分别求出直线 ab 和这条抛物线的解析式（2） 若点 p 在第四象限，连接 am 、bm ，当线段 pm 最长时，求abm的面积（3 ）是否存在这样的点 p ，使得以点 p 、m 、b 、o 为顶点的四边形为平行四边形？若存在， 请直接写出点 p 的横坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定菁优网版权所有 专题：压轴题；存在型分析：（1 ）分别利用待定系数法求两函数的

8、解析式：把 a（3 ，0）b（0，3）分别代入 y=x2+mx+n与 y=kx+b ，得到关于 m 、n 的两个方程组，解方程组即可；（2 ）设点 p 的坐标是（t，t3 ），则 m （t，t2 2t3 ），用 p 点的纵坐标减去 m 的纵坐标得到 pm 的长，即 pm= （t3 ）（t2 得到2t3 ）= t2+3t ，然后根据二次函数的最值当 t= = 时，pm 最长为 = ，再利用三角形的面积公式利用 sabm=sbpm+sapm计算即可；（3 ）由 pm ob ，根据平行四边形的判定得到当 pm=ob时，点 p 、m 、b 、o 为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当p 在第四象限：

9、pm=ob=3 ，pm 最长时只有，所以不可能；当p 在第一象限：pm=ob=3 ，（t22t3 ）（t3）=3；当p 在第三象限：pm=ob=3 ，t23t=3 ，分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t 的值解答：解：（1）把 a （3 ，0 ）b （0 ，3 ）代入 y=x2+mx+n ，得解得 ，所以抛物线的解析式是 y=x设直线 ab 的解析式是 y=kx+b ，22x 3 把 a （3 ，0 ）b （0 ，3 ）代入 y=kx+b ，得所以直线 ab 的解析式是 y=x 3 ；，解得 ，（2 ）设点 p 的坐标是（t，t3 ），则 m （t，t2 因为 p 在第四象限，2t3 ），

10、所以 pm= （t3 ）（t22t3 ）= t2+3t ，当 t= = 时，二次函数的最大值，即 pm 最长值为= ，则 s =sabmbpm+sapm= （3 ）存在，理由如下： pm ob ，当pm=ob时，点 p 、m 、b 、o 为顶点的四边形为平行四边形，1 当 p 在第四象限：pm=ob=3 ，pm 最长时只有，所以不可能有 pm=3 2 当 p 在第一象限：pm=ob=3 ，（t22t3 ）（t3 ）=3 ，解得 t =1（舍去），所以 p 点的横坐标是 ；，t =2当 p 在第三象限：pm=ob=3 ，t23t=3 ，解得 t =1（舍去），t = ，所 2以 p 点的横坐标是

11、所以 p 点的横坐标是或 4 如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为a （0 ，1 ），b（2 ，0 ），o（0 ， 0 ），将此三角板绕原点 o 逆时针旋转 90 ，得到bo（1） 一抛物线经过点 a 、b、b，求该抛物线的解析式；（2） 设点 p 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点 p ，使四边形 pb ab的面积 是bo面积 4 倍？若存在，请求出 p 的坐标；若不存在，请说明理由（3） 在（2 ）的条件下，试指出四边形 pb ab是哪种形状的四边形？并写出四边形 pb a b 的两条性质考点：二次函数综合题菁优网版权所有 专题：压轴题分析：（1 ）利用旋转的性质得出

12、 a （1，0），b（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式 即可；（2 ）利用 s=s 四边形 pb ab+soa o+spob，再假设四边形 pb ab的面积 a bo面积的 4 倍，得出一元二次方程，得出 p 点坐标即可；（3 ）利用 p 点坐标以及 b 点坐标即可得出四边形 pb ab为等腰梯形，利用等腰梯形性质 得出答案即可解答：解：（1）bo是由abo 绕原点 o 逆时针旋转 90 得到的，又 a （0 ，1 ），b（2 ，0 ），o （0 ，0 ），a （1，0），b（0，2）方法一：设抛物线的解析式为：y=ax 2 +bx+c （a 0 ），抛物线经过点a 、b、b， ，解

13、得： ，满足条件的抛物线的解析式为y= x2 +x+2 方法二：a （1，0），b（0，2），b（2 ，0 ），设抛物线的解析式为：y=a （x+1 ）（x2 ）将 b （0，2）代入得出：2=a （0+1 ）（02 ），解得：a= 1 ，故满足条件的抛物线的解析式为 y= （x+1 ）（x2 ）= x2+x+2 ；（2 ）p 为第一象限内抛物线上的一动点，设 p （x，y ），则 x0 ，y0 ，p 点坐标满足 y= x2 连接 pb ，po ，pb ，+x+2 s=s 四边形 pb ab+soa o+spob，= 12+ 2x+ 2y ，=x+ （x2 +x+2 ）+1 ，= x2+2x+

14、3 a o=1 ，b o=2 ，ab o 面积为：12=1 ，假设四边形 pb ab的面积是bo面积的 4 倍，则 4= x2 +2x+3 ，即 x22x+1=0 ，解得：x =x =1 ，1 2此时 y= 1 2 +1+2=2 ，即 p （1 ，2 ）存在点p （1 ，2 ），使四边形 pb ab的面积是bo面积的 4 倍（3 ）四边形 pb ab为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意 2 个均可等腰梯形同一底上的两个内角相等；等腰梯形对角线相等；等腰梯形上底与下底平行；等腰梯形两腰相等（10 分） 或用符号表示：b ab=pba 或abp=bpb；pa=bb；bpab；ba=pb （10

15、 分）5 如图，抛物线 y=x 22x+c 的顶点 a 在直线 l：y=x 5 上（1） 求抛物线顶点 a 的坐标；（2） 设抛物线与 y 轴交于点 b ，与 x 轴交于点 c 、d （c 点在 d 点的左侧），试判 abd 的形状；（3） 在直线 l上是否存在一点 p ，使以点 p 、a 、b 、d 为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，求点 p 的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：压轴题；分类讨论分析：（1 ）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点 a 的横坐标，然后代入直线 l的 解析式中即可求出点 a 的坐标（2） 由 a 点坐标可确定抛物线的解

16、析式，进而可得到点 b 的坐标则 ab 、ad 、bd 三边 的长可得，然后根据边长确定三角形的形状（3） 若以点 p 、a 、b 、d 为顶点的四边形是平行四边形，应分ab 为对角线、ad 为对角线两种情况讨论，即ad列方程求出 p 点的坐标 解答：pb 、ab pd ，然后结合勾股定理以及边长的等量关系解：（1）顶点a 的横坐标为 x= 当x=1 时，y=1 5= 4 ， a （1 ，4 ）=1 ，且顶点 a 在 y=x 5 上，（2 ）abd 是直角三角形将 a （1 ，4 ）代入 y=x22x+c ，可得，1 2+c= 4 ，c= 3 ，y=x 2 2x 3 ，b （0 ，3 ）当 y

17、=0 时，x22x 3=0 ，x = 1 ，x =31 2c （1 ，0 ），d （3 ，0 ），bd 2 =ob2+od2=18 ，ab 2 = （4 3 ）2 +1 2 =2 ，ad 2 = （3 1 ）2 +4 2 =20 ，bd2+ab2=ad2，abd=90 ，即bd 是直角三角形（3 ）存在由题意知：直线 y=x 5 交 y 轴于点 e （0 ，5 ），交 x 轴于点 f （5 ，0 ） oe=of=5 ，又ob=od=3oef 与obd 都是等腰直角三角形bd l，即 pa bd则构成平行四边形只能是 padb 或 pabd ，如图，过点 p 作 y 轴的垂线，过点 a 作 x

18、轴的垂线交过 p 且平行于 x 轴的直线于点 g 设 p （x ，x 5 ），则 g （1 ，x 5 ）1 1 1则 pg=|1 x |，ag=|5 x 4|=|1x |1 1 1pa=bd=3由勾股定理得：（1 x ）2 + （1 x ）2 =18 ，x 2 2x 8=0 ，x = 2 或 41 1 1 1 1p （2 ，7 ）或 p （4 ，1 ），存在点 p （2 ，7 ）或 p （4 ，1 ）使以点 a 、b 、d 、p 为顶点的四边形是平行四边形周长类6 如图，rt abo 的两直角边 oa 、ob 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，o 为坐标原点，a 、b 两点的坐标分别

19、为（3 ，0 ）、（0，4），抛物线 y=x 顶点在直线 x= 上（1 ）求抛物线对应的函数关系式；2+bx+c 经过点 b ，且（2 ）若把abo 沿 x 轴向右平移得 dce ，点 a 、b 、o 的对应点分别是 d 、c 、e ，当四边形 abcd是菱形时，试判断点 c 和点 d 是否在该抛物线上，并说明理由；（3） 在（2 ）的条件下，连接 bd ，已知对称轴上存在一点 p 使 pbd 的周长最小，求出 p 点的坐标；（4） 在（2 ）、（3）的条件下，若点 m 是线段 ob 上的一个动点（点 m 与点 o 、b 不重合），过点 m 作bd 交 x 轴于点 n ，连接 pm 、pn ，

20、设 om的长为 t，pmn的面积为 s ，求 s和 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围，s 是否存在最大值？若存在，求出最大值 和此时 m 点的坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有 专题：压轴题分析：（1）根据抛物线 y=经过点 b （0 ，4 ），以及顶点在直线 x= 上，得出 b ，c 即可；（2） 根据菱形的性质得出 c 、d 两点的坐标分别是（5 ，4 ）、（2，0），利用图象上点的性 质得出 x=5 或 2 时，y 的值即可（3） 首先设直线 cd 对应的函数关系式为 y=kx+b ，求出解析式，当 x= 时，求出 y 即可；（4 ）利用 mn bd

21、 ，得出omn obd ，进而得出，得到 on= ，进而表示出pmn解答：的面积，利用二次函数最值求出即可解：（1）抛物线y=顶点在直线x= 上， = 经过点 b （0 ，4 ）c=4 ，= ，b= ；所求函数关系式为 ；（2 ）在 rtabo 中，oa=3 ，ob=4 ，ab=，四边形abcd是菱形，bc=cd=da=ab=5 ，c 、d 两点的坐标分别是（5 ，4 ）、（2，0），当 x=5 时，y=当 x=2 时，y=点c 和点 d 都在所求抛物线上；，（3 ）设 cd 与对称轴交于点 p ，则 p 为所求的点，设直线 cd 对应的函数关系式为 y=kx+b ，则 ，解得： ， ，当 x

22、= 时，y=，p （ ），（4 ）mn bd ，omn obd ，即得 on= ，设对称轴交 x 于点 f ，则（pf+om ）of= （+t ），s = nf pf= （t）= pnfs=（= （0 t4 ），），a= 0 抛物线开口向下，s 存在最大值由 s = t2 pmn+t= （t ）2+ ，当t=时，s 取最大值是 ，此时，点 m 的坐标为（0 ，）等腰三角形类7 如图，点 a 在 x 轴上，oa=4 ，将线段 oa 绕点 o 顺时针旋转 120 至ob 的位置 （1 ）求点 b 的坐标；（2） 求经过点 a 、o 、b 的抛物线的解析式；（3） 在此抛物线的对称轴上，是否存在点p

23、 ，使得以点 p 、o 、b 为顶点的三角形是等腰三 角形？若存在，求点 p 的坐标；若不存在，说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：压轴题；分类讨论分析：（1） 首先根据 oa 的旋转条件确定 b 点位置，然后过 b 做 x 轴的垂线，通过构建直角三角 形和 ob 的长（即 oa 长）确定 b 点的坐标（2） 已知 o 、a 、b 三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式（3） 根据（2 ）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出p 点的坐标，而 o 、b 坐标已知，可先表示出opb 三边的边长表达式，然后分op=ob 、op=bp 、ob=bp 三种情况分类讨论，然后分

24、辨是否存在符合条件的 p 点解答：解：（1）如图，过 b 点作 bc x 轴，垂足为 c ，则bco=90 ，aob=120 ，boc=60 ，又oa=ob=4 ，oc=ob= 4=2 ，bc=ob sin60=4 =2 ，点b 的坐标为（2 ，2）；（2 ）抛物线过原点o 和点 a 、b ，可设抛物线解析式为y=ax2+bx ，将 a （4 ，0 ），b（2 2 ）代入，得，解得 ，此抛物线的解析式为y= x2+ x（3 ）存在，如图，抛物线的对称轴是直线 x=2 ，直线 x=2 与 x 轴的交点为 d ，设点 p 的坐标为（2 ，y ）， 若 ob=op ，则 22+|y|2=42，解得

25、y= 2，当 y=2时，在 rt pod 中，pdo=90 ，sinpod= ，pod=60 ，pob= pod+ aob=60 +120 =180 ， 即 p 、o 、b 三点在同一直线上，y=2不符合题意，舍去，点p 的坐标为（2 ，2）若 ob=pb ，则 42+|y+2|2=42，解得 y= 2 ，故点 p 的坐标为（2 ，2 ），若 op=bp ，则 22+|y|2=42+|y+2|2，解得 y= 2 ，故点 p 的坐标为（2 ，2），综上所述，符合条件的点 p 只有一个，其坐标为（2 ，2 ），8 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 abc 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，

26、且点 a （0 ，2 ），点 c （1 ，0 ），如图所示：抛物线 y=ax2+ax 2 经过点 b （1） 求点 b 的坐标；（2） 求抛物线的解析式；（3） 在抛物线上是否还存在点 p （点 b 除外），使acp 仍然是以 ac 为直角边的等腰直角 三角形？若存在，求所有点 p 的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1） 根据题意，过点 b 作 bd x 轴，垂足为 d ；根据角的互余的关系，易得 b 到 x、y 轴 的距离，即 b 的坐标；（2） 根据抛物线过 b 点的坐标，可得 a 的值，进而可得其解析式；（3 ）首先假设存在，分 a 、c

27、是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答 案解答：解：（1）过点 b 作 bd x 轴，垂足为 d ，bcd+ aco=90 ，aco+ cao=90 ，bcd= cao ，（1 分）又bdc= coa=90 ，cb=ac ，bcd cao ，（2 分）bd=oc=1 ，cd=oa=2 ，（3 分）点b 的坐标为（3 ，1 ）；（4分）（2 ）抛物线 y=ax2+ax 2 经过点 b （3 ，1 ），则得到 1=9a 3a 2 ，（5 分） 解得 a= ，所以抛物线的解析式为 y=x2+x 2 ；（7 分）（3 ）假设存在点 p ，使得acp 仍然是以 ac 为直角边的等腰直角三角

28、形： 若以点 c 为直角顶点；则延长 bc 至点 p ，使得 p c=bc ，得到等腰直角三角形acp ，（8 分）1 1 1过点 p 作 p m x 轴，1 1cp =bc ，mcp 11= bcd ，p mc= bdc=90 ，1c dbc （10 分） 1cm=cd=2 ，p m=bd=1 ，可求得点 p （1 ，1 ）；（11 分）1 1若以点 a 为直角顶点；则过点 a 作 ap ca ，且使得 ap =ac ，得到等腰直角三角形acp ，（12 分）2 2 2过点 p 作 p n y 轴，同理可 ap n cao ，（13 分）2 2 2np =oa=2 ，an=oc=1 ，可求得

29、点 p （2 ，1 ），（14 分）2 2经检验，点 p （1 ，1 ）与点 p （2 ，1 ）都在抛物线 y=x 2 +x 2 上（16 分）1 29 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点 a （0 ，2 ），点 c （1 ，0 ），如图所示，抛物线 y=ax2ax 2 经过点 b （1） 求点 b 的坐标；（2） 求抛物线的解析式；（3） 在抛物线上是否还存在点 p （点 b 除外），使acp 仍然是以 ac 为直角边的等腰直角 三角形？若存在，求所有点 p 的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：代数几何综合题；压轴题

30、分析：（1） 首先过点 b 作 bd x 轴，垂足为 d ，易证得bdc coa ，即可得 bd=oc=1 ， cd=oa=2 ，则可求得点 b 的坐标；（2） 利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（3） 分别从以 ac 为直角边，点 c 为直角顶点，则延长 bc 至点 p 使得 p c=bc ，得到1 1等腰直角三角形 acp ，过点 p 作 p m x 轴，若以 ac 为直角边，点 a 为直角顶点，1 1 1则过点 a 作 ap ca ，且使得 ap =ac ，得到等腰直角三角形 acp ，过点 p 作 p n y2 2 2 2 2轴，若以 ac 为直角边，点 a 为直角顶点，则过点

31、a 作 ap ca ，且使得 ap =ac ，得3 3到等腰直角三角形 acp ，过点 p 作 p h y 轴，去分析则可求得答案3 3 3解答：解：（1）过点 b 作 bd x 轴，垂足为 d ，bcd+ aco=90 ，ac0+ oac=90 ，bcd= cao ，又bdc= coa=90 ，cb=ac ，bdc coa ，bd=oc=1 ，cd=oa=2 ，点b 的坐标为（3 ，1 ）；（2 ）抛物线y=ax1=9a 3a 2 ，解得：a= ，2ax 2 过点 b （3 ，1 ），抛物线的解析式为y=x2x2 ；（3 ）假设存在点 p ，使得acp 是等腰直角三角形，若以 ac 为直角边

32、，点 c 为直角顶点，则延长 bc 至点 p 使得 p c=bc ，得到等腰直角三角形 acp ，过点 p 作 p m x 轴，如1 1 1 1 1图（1 ），cp =bc ，mcp 11= bcd ，p mc= bdc=90 ，1c dbc ，1cm=cd=2 ，p m=bd=1 ，1p （1 ，1 ），经检验点 p 在抛物线 y=x 1 12x2 上；若以 ac 为直角边，点 a 为直角顶点，则过点 a 作 ap ca ，且使得 ap =ac ，2 2得到等腰直角三角形 acp ，过点 p 作 p n y 轴，如图（2 ），2 2 2同理可证n cao ，2np =oa=2 ，an=oc=

33、1 ，2p （2 ，1 ），经检验 p （2 ，1 ）也在抛物线 y=x 2 22x2 上；若以 ac 为直角边，点 a 为直角顶点，则过点 a 作 ap ca ，且使得 ap =ac ，3 3得到等腰直角三角形 acp ，过点 p 作 p h y 轴，如图（3 ），3 3 3同理可证h cao ，3hp =oa=2 ，ah=oc=1 ，3p （2 ，3 ），经检验 p （2 ，3 ）不在抛物线 y=x 3 32x2 上；故符合条件的点有 p （1 ，1 ），p （2 ，1 ）两点1 2综合类10 如图，已知抛物线 y=x 2 +bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 b （5 ，0 ），另一

34、个交点为 a ，且与 y 轴交于点 c （0 ，5 ）（1） 求直线 bc 与抛物线的解析式；（2） 若点 m 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点，过点 m 作 mn y 轴交直线 bc 于点 n ，求 mn的最大值；（3 ）在（2 ）的条件下，mn取得最大值时，若点 p 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点，以 bc 为边作平行四边形 cbpq ，设平行四边形 cbpq 的面积为 s ，abn 的面积为 s ，1 2且 s =6s ，求点 p 的坐标1 2考点：二次函数综合题菁优网版权所有 专题：压轴题分析：（1）设直线 bc 的解析式为 y=mx+n ，将 b （5 ，0 ），c （0

35、，5 ）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线 bc 的解析式；同理，将 b （5 ，0 ），c（0 ，5 ）两点的坐标 代入 y=x 2 +bx+c ，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2 ）mn的长是直线 bc 的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于 mn的长和 m 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出 mn的最大值；（3 ）先求出abn 的面积 s =5 ，则 s =6s =30 再设平行四边形 cbpq 的边 bc 上的高2 1 2为 bd ，根据平行四边形的面积公式得出 bd=3 ，过点 d 作直线 bc 的平行线，交抛物线与点 p ，交 x 轴于点 e

36、，在直线 de 上截取 pq=bc ，则四边形 cbpq 为平行四边形证明ebd 为等腰直角三角形，则 be= bd=6 ，求出 e 的坐标为（1 ，0 ），运用待定系数法求出直线 pq 的解析式为 y= x1 ，然后解方程组，即可求出点 p 的坐标解答：解：（1）设直线 bc 的解析式为 y=mx+n ，将 b （5 ，0 ），c （0 ，5 ）两点的坐标代入，得 ，解得 ，所以直线 bc 的解析式为 y= x+5 ；将 b （5 ，0 ），c （0 ，5 ）两点的坐标代入 y=x 2 +bx+c ，得 ，解得 ，所以抛物线的解析式为 y=x 2 6x+5 ；（2 ）设 m （x，x26x+

37、5 ）（1x5 ），则 n （x，x+5 ），mn= （x+5 ）（x26x+5 ）= x2+5x= （x）2+，当x= 时，mn有最大值 ；（3 ）mn取得最大值时，x=2.5 ，x+5= 2.5+5=2.5 ，即 n （2.5，2.5）解方程 x26x+5=0 ，得 x=1 或 5 ，a （1 ，0 ），b（5 ，0 ），ab=5 1=4 ，abn 的面积 s = 42.5=5 ，2平行四边形cbpq 的面积 s =6s =30 1 2设平行四边形 cbpq 的边 bc 上的高为 bd ，则 bc bd bc=5 ，bc bd=30 ，bd=3 过点 d 作直线 bc 的平行线，交抛物线与

38、点 p ，交 x 轴于点 e ，在直线 de 上截取 pq=bc ， 则四边形 cbpq 为平行四边形bc bd ，obc=45 ，ebd=45 ，ebd 为等腰直角三角形，be=bd=6 ，b （5 ，0 ），e（1 ，0 ），设直线 pq 的解析式为 y= x+t ，将 e （1 ，0 ）代入，得 1+t=0 ，解得 t= 1直线pq 的解析式为 y= x1 解方程组 ，得 ， ，点p 的坐标为 p （2 ，3 ）（与点 d 重合）或 p （3 ，4 ）1 211 如图，抛物线 y=ax2+bx+c （a 0 ）的图象过点 c （0 ，1 ），顶点为 q （2 ，3 ），点 d在 x 轴正

39、半轴上，且 od=oc （1） 求直线 cd 的解析式；（2） 求抛物线的解析式；（3） 将直线 cd 绕点 c 逆时针方向旋转 45 所得直线与抛物线相交于另一点e，求证 ceq cdo ；（4） 在（3 ）的条件下，若点 p 是线段 qe 上的动点，点 f 是线段 od 上的动点，问：在 p点和 f 点移动过程中 pcf 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在， 请说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1） 利用待定系数法求出直线解析式；（2） 利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3） 关键是证明ceq 与cdo 均为等腰直角三角形；（4） 如答图所

40、示，作点 c 关于直线 qe 的对称点 c ，作点c 关于 x 轴的对称点 c ，连接 c c，交od 于点 f ，交 qe 于点 p ，则pcf 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴 对称的性质可知，pcf 的周长等于线段 c c的长度利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此 pcf 的周长最小如答图所示，利用勾股定理求出线段 c c的长度，即cf 周长的最小值解答：解：（1）c （0 ，1 ），od=oc ，d 点坐标为（1 ，0 ）设直线 cd 的解析式为 y=kx+b （k 0 ），将 c （0 ，1 ），d （1 ，0 ）代入得：解得：b=1 ，k= 1 ，直线cd 的解析式为：

41、y= x+1 ，（2 ）设抛物线的解析式为 y=a （x2 ）2+3 ，将 c （0 ，1 ）代入得：1=a （2 ）2+3 ，解得 a=y=（x2 ）2+3= x2+2x+1 （3 ）证明：由题意可知，ecd=45 ，oc=od ，且 oc od ，ocd 为等腰直角三角形，odc=45 ，ecd= odc ，ce x 轴，则点 c 、e 关于对称轴（直线 x=2 ）对称， 点e 的坐标为（4 ，1 ）如答图所示，设对称轴（直线 x=2 ）与 ce 交于点 m ，则 m （2 ，1 ），me=cm=qm=2 ，qme与qmc均为等腰直角三角形，qec= qce=45 又ocd 为等腰直角三角

42、形，odc= ocd=45 ， qec= qce= odc= ocd=45 ，ceq cdo （4 ）存在如答图所示，作点 c 关于直线 qe 的对称点 c 作，点c 关于 x 轴的对称点 c ，连接c c，交 od 于点 f ，交 qe 于点 p ，则pcf 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性 质可知，pcf 的周长等于线段 c c的长度（证明如下：不妨在线段 od 上取异于点 f 的任一点 f ，在线段qe 上取异于点 p 的任一 点 p ，连接fc，fp，pc由轴对称的性质可知，cf的周长=fc+fp+pc；而 f c+fp+pc是点c，c之间的折线段，由两点之间线段最短可知：

43、f c+fp+pccc，即cf的周长大 pce的周长）如答图所示，连接 c e，c ，c 关于直线qe 对称，qce 为等腰直角三角形，e为等腰直角三角形，cec 为等腰直角三角形，点c 的坐标为（4，5）；c ，c 关于x 轴对称，点c 的坐标为（0，1 ）过点 c 作cny 轴于点 n ，则 nc =4，nc =4+1+1=6 ，在 rt nc 中，由勾股定理得：cc= = = 综上所述，在 p 点和 f 点移动过程中 pcf 的周长存在最小值，最小值为12 如图，抛物线与 x 轴交于 a （1 ，0 ）、b（3 ，0 ）两点，与 y 轴交于点 c （0 ，3 ）， 设抛物线的顶点为 d

44、（1） 求该抛物线的解析式与顶点 d 的坐标（2） 试判断bcd 的形状，并说明理由（3） 探究坐标轴上是否存在点 p ，使得以 p 、a 、c 为顶点的三角形与bcd 相似？若存在， 请直接写出点 p 的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1） 利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2） 利用勾股定理求得bcd 的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；（3） 分 p 在 x 轴和 y 轴两种情况讨论，舍出 p 的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等 即可求解解答：解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax 2 +bx+c由抛物线与 y 轴交于

45、点 c （0 ，3 ），可知 c=3 即抛物线的解析式为 y=ax2+bx+3 把点 a （1 ，0 ）、点 b （3 ，0 ）代入，得抛物线的解析式为y= x2 2x+3 解得 a= 1 ，b= 2y= x22x+3= （x+1 ）2+4顶点d 的坐标为（1 ，4 ）；（2 ）bcd 是直角三角形理由如下：解法一：过点 d 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 e 、f 在rtboc 中，ob=3 ，oc=3 ，bc2=ob2+oc2=18在 rt cdf 中，df=1 ，cf=of oc=4 3=1 ， cd 2 =df 2 +cf 2 =2在 rt bde 中，de=4 ，be=ob oe=3 1=2