常微分方程--第六章 （6.4节）.ppt

1、6.4平面线性系统的奇点及相图,6.4.1 几个线性系统的计算机相图,6.4.2 平面线性系统的初始奇点,本节我们仍考虑被称为平面系统的二维自治系统,(6.4.1),其中 ， 在上 连续且满足解的,存在唯一性条件。,为了研究系统（6.4.1）的轨线的定性性态，,必须弄清其奇点及其邻域内的轨线分布。比如,上节我们已知系统的任何出发于常点的轨线，,不可能在任一有限时刻到达奇点。反过来如果系,统的某一解 ， 满足：,则点 一定是系统的奇点。,一般来说，奇点及其附近轨线的性态是比较,复杂的。又因为对于系统的任何奇点 均,可用变换,(6.4.2),把（6.4.1）变为：,(6.4.3),且(6.4.3)

2、的奇点 即对应于(6.4.1)的,移变换，所以不改变奇点及邻域轨线的性态。,奇点 。又因为变换(6.4.2)只是一个平,因此，我们可假设 是(6.4.1)的奇点，且,性态即可。所以设(6.4.1)中的右端函数满足：,(6.4.4),如果 均是 的线形函,数。我们称之为线性系统，即,只须讨论(6.4.1)的奇点 及其邻域的轨线,(6.4.5),6.4.1 几个线性系统的计算机相图,一个自治系统在奇点邻域的相图对奇点邻,域轨线的性态有很大的帮助。Maple可以方便地,画出其图形，给我们一个直观的形象。,Maple画轨线图时候先要调入微分方程的软,件包，接着定义方程，给出变量及其范围，指定,初值，再

3、给出步长、颜色等。看几个具体的例子。,例6.4.1 用Maple描出系统,(6.4.6),在奇点附近轨线的相图。,解 用Maple解得相图6.4。,则称 非为孤立奇点,而非孤立奇点充满一条直线，,是上边所说的实可逆矩阵，则系统 (6.4.5)变为:,(6.4.10),从 而变换的几种形式就能容易的得出,平面系统（6.4.10）的轨线结构，至于,原方程组(6.4.5)的奇点及附近的轨线结构只须,用变换 返回到就行了。,由于变换 不改变奇点的位置与类,型 ，因此我们只对线性系统的标准方程组给出,讨论。,记,设 的特征方程为：,则特征方程为 ，特征根为,(6.4.11),由特征根的不同情况分为四种情

4、况来讨论:,1. 特征根为不相等的同号实根,此时对应的标准型为,(6.4.12),容易求出其通解为,（6.4.13）,其中 是任意常数， 对应于零解，,对应的 轴正负半轴都是轨线；,对应的 轴正负半轴是轨线；,当 时候，再分两种情况讨论：,所以轨线均为以 顶点的抛物线，且,当 时由,我们可知：,当 时,即切线切 轴趋于 点。,当 时,即切线切 轴趋于 点。,且由于(6.4.14)知此时原点 是渐近稳定的，,所以系统在原点及附近的相图如下图所示：,图6.5(a),图6.5(b),我们把这样的奇点称为稳定结点。,这时关于(1)的讨论在此适用只需将,改为 所以此时的奇点称为不稳定结点，,轨线分布如图

5、6.5类似，仅是图上的箭头反向。,这时仍有(6.4.13)和(6.4.14)，所以两个坐标轴的,正负半轴仍为轨线，但是由于 ，奇点附近,的轨线成为双曲线的且,若 ，则当 时，,若 ，则当 时，,轨线均以 轴 轴为渐近线，系统在原点及,附近的轨线分布如:,图6.6(a),图6.6(b),这种奇点成为鞍点，它是不稳定奇点。,这时由Jordan块的不同分为两种：,且当 时，,即 是渐近稳定的；,反之，当 时 为不稳定的。此时的,奇点称为临界结点（星形结点），,(2)若Jordan块为二阶时，标准型为,(6.4.16),仍对应的是零件即奇点,对应的是 轴为轨线，但是 轴,不再是轨线 ， 时消去 得出：

6、,(6.4.18),所以有,因此所有轨线均切 轴于 点，这种奇点,称为退化结点 。且当 时为稳定的退化结点，,当 时为不稳定的退化结点。,4.,这时系统的标准型为,(6.4.19),取极坐标变换 ,(6.4.19)即,化为:,(6.4.20),下边分两种情况:,（1）,此时解(6.4.20)得出,其中 是任意常数，消去 得,这是一族对数螺线，这样的奇点称为焦点，,且当 时是稳定焦点， 时是不稳定焦点，,的正负决定了 增加时轨线是顺时针还是逆,时针绕原点旋转的。,(2),这时特征值是一对纯虚数,于是系统在极坐标下,的通解为：,为任意的常数且 。显然这是一族以原点,为中心的同心圆，这样的奇点称为中

7、心，,中心是稳定奇点但不是渐近稳定的。,归纳上边的讨论得出，系统(6.4.5)的奇点,是初等奇点时候根据它的系数矩阵 的,特征方程(6.4.11)有如下分类：,1）当 时， 为鞍点；,2）当 且 时是结点且 是稳,定的， 不稳定的；,3)当 且 时 是临界结点或退,化结点, 且 是稳定的， 是不稳定的；,4)当 时是 焦点且,为稳定的， 为不稳定的;,5)当 且 时， 是中心。,由此知道参数 平面，被 轴，正 轴,别对应于系统的鞍点区，焦点区，结点区，,及曲线 分成了几个区域，分,中心区，退化和临界结点区等等，,点。,但是 平面的 轴对应的是系统的高阶奇,例6.4.6 画出下面的线性系统的奇点

8、附近相图,解 容易算出,所以 是系统的鞍点。,我们求解如下：,(当 时 ),得到 .同样的可以分析画出奇点附,近的轨线分布如图6.7所表示。,x,y,O,6.5 二维自治微分方程组的周期,解和极限环,设 是系统,的一个极限环,如果存在着 的一个 邻域，,使从此邻域内出发的其他解均正向,趋近于 ，则称 为稳定的极限环。,如果其他解均负向于 趋近于 ，,则称 为不稳定的极限环。,如果从 的 邻域出发的其他轨线在 的,一侧正向趋近于 ，另一侧负向趋近于 ，,则称此 为半稳定的极限环。,定理6.7 Poincare-Bendixson环域定理,设区域 是由两条简单闭曲线 围成的,环形域并且满足下面条件

9、:,(1) 及其边界 上不含奇点;,(2)从G的边界 上各点出发的轨线都不能,离开(或进入) ;,(3) 均不是闭曲线.,周围在 内至少存在一个外稳定闭轨和一个内,稳定闭轨(一个外不稳定闭轨和一个内不稳定的闭,轨)，如果是惟一的闭轨,周围一定是一条稳定的,(不稳定的)极限环。,定理6.8 时的VanderPol方程,其等价方程组,至少有一个极限环。,定理6.9 设系统,的右端函数 ， 在某个单连域 内,连续可微,并且,在 内不变号,且在 的任何子域内不恒为零，,则方程组,在 内不存在任何闭轨线。,定理6.10 对于方程组,若在某个单连域 内存在一个连续可微函数,使得,不变号。且在 的任何子域中不恒为零，,则方程组不存在全部位于 内的闭轨线。,定理6.11 如果沿着系统,的极限环 有,则 是稳定(不稳定)的.其中 是 的周期。,定理6.12 给定微分方程,(6.5.18),其等价方程组为：,其中,(2) ;,(3) 在 内分别单调不减，,则上述方程组至多存在一个极限环，若存在它,必定为稳定的。,6.5.2 例题,例6.5.1 证明平面二次系统,(6.5.17),当 时无闭轨线。,证明 由系统的第一个方程得到,故轨线与直线 相交时候只能从它的一侧向,向另一侧,因此系统若有闭轨线.它只能位于直线,的一侧,在这一侧取Dulac函数,容易算出,当 时它是