大数定律与中心极限定理(1).ppt

1、第四章 大数定律与中心极限定理,4.2 大数定律 1、伯努利大数定律 定义4.2.1 当n充分大时,频率un/n与概率p间的大偏差的概率很小。即对任意的0,有 这种收敛性称为依概率收敛。 定理4.2.1 (伯努利大数定理) 设un为n重伯努利试验中事件A发生的次数，p为每次试验中A出现的概率,则事件A发生的频率un/n依概率收敛于事件A发生的概率.,第四章 大数定律与中心极限定理,例4.2.1 (用蒙特卡洛方法计算定积分1) 设0f(x)1,求f(x)在区间0,1的积分值: 2、常用的几个大数定律 定义4.2.2 设有一随机变量序列Xn,对任意的0,有 则称该随机变量序列Xn服从大数定理。,第

2、四章 大数定律与中心极限定理,切比雪夫大数定律 定理4.2.2 设一个两两互不相关随机变量序列Xn, 若Xi的方差存在,且有共同的上界,即Var(Xi)c，i=1,2,则Xn服从大数定理. 例4.2.2 马尔可夫大数定律 定理4.2.3 对随机变量序列Xn, 若满足 则Xn服从大数定理。,第四章 大数定律与中心极限定理,例4.2.3 辛钦大数定律(平均观测值代替数学期望) 定理4.2.4 设Xn 为一独立同分布的随机变量序列,若Xi的数学期望存在，则Xn服从大数定理. 例4.2.4 (用蒙特卡洛方法计算定积分2) 设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布,则,作业,习题4.2 1、3、9、12*

3、,第四章 大数定律与中心极限定理,4.3 随机变量序列的两种收敛性 1. 依概率收敛 定义4.3.1 设Yn为一随机变量序列，Y为一随机变量.如果对任意的0,有 则称Yn依概率收敛于Y,记作 。 定理4.3.1 设Xn、Yn是两个随机变量序列,a、b是两个常数。如果 则有 ,第三章 多维随机变量及其分布,2. 按分布收敛、弱收敛 例4.3.1 极限分布不能点点收敛的例子。 定义4.3.2 设随机变量X,X1,X2,的分布函数分别为F(x),F1(x),F2(x),。若对F(x)的任一连续点x,都有 则称Fn(x)弱收敛于F(x),记作 也称Xn按分布收敛于X,记作 定理4.3.2 依概率收敛必

4、然按分布收敛。即,第四章 大数定律与中心极限定理,例4.3.2 按分布收敛不一定有依概率收敛 定理4.3.3 若c为常数，则 3. 判断弱收敛的方法 定理4.3.4 弱收敛的充要条件是对应的特征函数点点收敛。即,第四章 大数定律与中心极限定理,例4.3.3 若X服从参数为的泊松分布， 证明 辛钦大数定律的证明 若Xn独立同分布，且E(Xi)=a, i=1,2,作业,习题4.3 4、14,第四章 大数定律与中心极限定理,4.4 中心极限定理 1. 独立随机变量和 例4.4.1 、例4.4.2 2. 独立同分布下的中心极限定理 定理4.4.1 设Xn是独立同分布随机变量序列,且E(Xi)=,Var

5、(Xi)=20.i=1,2,则对任意实数y,有,第四章 大数定律与中心极限定理,以定理称为林德贝格-勒维中心极限定理 3. 二项分布的正态近似(棣莫弗-拉普拉斯定理) 定理4.4.2 设n重伯努利试验中,事件A在每次试验中出现的概率为p,记un为n次试验中事件A出现的次数，记 则对任意实数y，有,第四章 大数定律与中心极限定理,两点说明 二项分布正态近似的修正 P(k1unk2)= P(k1-0.5unk2+0.5) 应用举例 例4.4.5 例4.4.6 例4.4.7,第四章 大数定律与中心极限定理,4. 独立不同分布下的中心极限定理 设Xn是相互独立随机变量序列,且存在有限的数学期望和方差:E(Xi)=ui,Var(Xi)=i2 .i=1,2, 记 Bn2= 12 + 22 + n2 ,称下式为林德贝格条件：对任意的0，有,第四章 大数定律与中心极限定理,定理4.4.3 林德贝格中心极限定理 设相互独立随机变量序列Xn满足林德贝格条件,则对任意的x,有 若Xn是独立同分布随机变量序列，则随机变量和的标准化变量以标准正态分布为极限。,第