陕西省高中数学 第五章 数系的扩充与 数系的扩充与复数的概念教案 北师大版选修22

1、 数系的扩充与复数的概念 一、教学目标： i； 1、知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位 2、过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律； 3、 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。 二、教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件。 三、教学方法：阅读理解，探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、问题情境 1、情境：数的概念的发展：从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面 解决实际问题的需要由于计数的需

2、要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数) x?4?0有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；解方程的需要为了使方程2x?20?2?3x有就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程为了使方程有解，解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集 引进无理数以后，我们已经能使方程(a?0)22?a?axx0a?在实数时，方程永远有解但是，这并没有彻底解决问题，当(a?0)2a?x有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引范围内无解为了使方程44?x （可以以分解因式：为例）进新的数 、问题：实数

3、集应怎样扩充呢？2 、新课探析（二）0)a?(2a?x有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就1、为了使方程i1?，叫做虚数单位从引入平方等于的“新数”开始为此，我们引入一个新数imaginaryunit2i?1i进行四则运算，进行四；实数可以与（并作如下规定：） / 4 1 ib相乘，再同可以与实数则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立在这种规定下，abi?b?aai? 实数相加得由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成b,aR? (的形式)C 2、复数概念及复数集b,aCbia?R?一般用字母)(形如的数叫做复数。全体复数构成的集合叫做复数集， 来表示，?R?a,bzz?

4、a?Cbi?, 显然有N*N即ZQRC a,bbi?z?a?Rz)表示，即复数的表示：通常用字母，(3、复数的有关概念：1) a,ba,bbi?z?a?R)，当(分别叫做复数的实部与虚部；2）虚数和纯虚数：复数其中a,bab?bi?b?00z?aR?zz叫做虚数。就是实数复数时，( )时，当a?0b?0z?bi叫做纯虚数时， ，特别的，当4、复数集的分类 分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一根据上述原则，复数集的分类如下： 5、两复数相等 a,b,c,d?Rdia?bic?）的实部与虚部分别相等，我们就说这两如果两个复数与（a?c?a?bi?c?di?b?d?，个复数相等即（复数相等的

5、充要条件）， a?0?a?bi?0?b?00?的充要条件）特别地： （复数为复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径 6、两个复数不能比较大小：两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，不能比较它们的大小。 / 4 2 7、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 (三)、知识运用，能力提高 1、例题：例1写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数， 哪些是虚数，哪些是纯虚数 14 4,2?3i,0,?i,5?2i,6i 23 141 ,5,0?,6i4,2,0,?i

6、,5?2i4,2?3i,0,? 223 的实部分别是；解： 414 i,6?2i,?i,50,?3,0,2,62?3i 4,0323是实数；虚部分别是是虚数，其中6i是纯虚数 z?m(m?1)?(m?1)im是（1）实数？（例2、实数取什么值时，复数2）虚数？（3）纯虚数？ m(m?1)a?1bim?Rm?是实数、虚数和纯虚，可知根据复数分析：由都是实数，m的值。数的条件可以分别确定 m?1?0m?1m?1?0m?1z时，）当，即是实数；，即（1解：（）当2时，复数m(m?1)?0m?1?0m?0zz是纯虚数。时复数 ，即复数）当是虚数；（3，且m(m?2)2?2m?1)?z?(mi mR?m

7、1?m为何值时： ，当（变式引申）：已知，复数z?Rzz是纯虚数 32）（1）是虚数；（；（ 2m?1?20?m?2m?10?m?1z是实数；）当，即时， 且解：（1 2m?1?201?2m?mm?11?0m?z是虚数； ，即且2（）当且时，m(m?2)?0 2m?2m?1?0m?01?m?2z为纯虚数）当，即或（3且时， a?0z?a?bi为纯虚数的充分条件吗？思考：是复数 z?a?bia?0b?0a?0z?a?bi是复数时，因为当且所以不是，答：才是纯虚数， / 4 3 为纯虚数的必要而非充分条件 x,yi?y)x?5)?(3x(x?y)?x?2y)i?(2(的值，求实数3、已知 例x?y

8、?2x?5x?3?x?2y?3x?yy?2?，解得： 解：根据两个复数相等的充要条件，可得：ai4?4?1?2ai?a：已知 ，求复数（变式引申）a?x?yi(x,y?R)x?yi?1?2(x?yi)i?4?4i，则解：设 x?2y?1?4,?2x?y?4,i?4(2x?y)i?4?(x?2y1)? 由复数相等的条件， ?x?1,y?2,?a?1?2i 22z?k?3k?(k?5k?6)i(k?R)z?0k? 1）已知复数且，则 ，2练习：（ 2k?5k?6?0,(k?2)(k?3)?00Qz?Rz? 解：，则故虚部?k?23k?3z?0k?2或，不合题意，故舍去，故但时， 四回顾小结： 1、能够识别复数，并能说出复数在什么条件下是实数、虚数、纯虚数； 2、复数相等的充要条件。 （三）小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。 （四）、巩固练习： 1指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。 2?3i? ,0,7i2?2?9i1,8,8?4i?0i,6,i,? 32判断 两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大。 复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数。 x,